2022年高中数学函数知识点总结 3.pdf

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1、专业.专注高中数学函数知识点总结1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的确定性、互异性、无序性2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。女口：集合A x|x2 2x 3 0，B x|ax 1 若 B A，则实数 a 的值构成的集合为_ 3.注意下列性质：(1).集合 a1,a2,an的所有子集的个数是2n;要知道它的来历：若B 为 A 的子集，则对于元素a1来说，有 2 种选择(在或者不在)an,都有 2 种选择，所以，总共有2n种选择，即集合A 有2n个子集。非空真子集个数为2n(2

2、)若 ABA(3)德摩根定律：4.你会用补集思想解决问题吗？(排除法、间接法)女口：已知关于x 的不等式粵0 的解集为M，若 3 M 且 5 M，求实数 ax a 的取值范围。Cu A B CuA CuB，CU A B CuA CuB 有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂。同样，对于元素a2,a3,当然，我们也要注意到，这2n种情况之中，包含了这 n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为2n1，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 18 页 -专业.专注7.对映射的概念了解吗？映射f:ATB,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对

3、应 能构成映射？（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。）注意映射个数的求法。如集合A 中有 m 个元素，集合B 中有 n 个元素，则从A 到 B 的映射个数有女口：若A 1,2,3,4，B a,b,c;问：A到B的映射有_ 个，B到A的映射有_ 个；数有 _ 个，若A 1,2,3，则A到B的一一映射有_ 个。函数y（x）的图象与直线x a交点的个数为_ 个。8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致（两点必须同时具备）9.求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数 y V罕的定义域是lg x 3 函数定义域求法分式中的

4、分母不为零偶次方根下的数（或式）大于或等于零；10.如何求复合函数的定义域？nm个。A到B的函名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 18 页 -专业.专注例：y x2x 1 x 1(x+1)2(x+1)+1 x 1(x+1)12 11 x 1 如：函数 f(x)的定义域是a,b,b a 0,则函数 F(x)f(x)f(x)的定义域是 _ 11、函数值域的求法1 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到1 例求函数 y=的值域x 2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。2例、求函数 y=x-2x+5，x-1，2的值域。3、判别式法对二次函数或者分式

5、函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简不必拘泥在判别式上面x n 法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉若函数yf(x)的定义域为1,2，则的定义域为a.y b.y K二型：直接用不等式性质k+x2bx x 型,先化简，再用均值不等式mx n 例:x 1+x21 1 丄 1 2 x+x c.y d.y 2x x2 mx n x2mx n mx n型通常用判别式名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 18 页 -专业.专注5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性三角函

6、数的单调性。6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数 y=x+x 1的值域。8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。求函数 y=(x+(X 8)2的值域。，最常用的就是名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 18 页 -专业.专注倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过

7、来之后，你会发现另一番境况例求函数 y=仝2的值域x 3 12.求一个函数的解析式时，注明函数的定义域了吗？切记：做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商误，与到手的满分失之交臂女口：f vx 1 ex x，求 f（x）.15.如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：，不要犯我当年的错名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 18 页 -专业.专注(1)定义法：根据定义，设任意得X1,X2,找出 f(Xl),f(X2)之间的大小关系f(X|)f(x2)f(x-i)可以变形为求1-的正负号或者-与 1 的关

8、系X1 X2f(X2)(2)参照图象：若函数 f(X)的图象关于点(a，b)对称，函数f(X)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性；(特例：奇函数)若函数 f(X)的图象关于直线X=a 对称，贝 V 函数 f(X)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单调性。(特例：偶函数)利用单调函数的性质：函数 f(x)与 f(x)+c(c 是常数)是同向变化的 函数 f(x)与 cf(x)(c 是常数),当 C0 时，它们是同向变化的；当CV 0 时，它们是反向变化的。如果函数 f1(x),f2(x)同向变化，贝恼数f1(x)+f2(x)和它们同向变化；(函数相加)如果正值函数f1(x),f2

9、(x)同向变化，贝V 函数 f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与 f2(x)同向变化，则函数 f1(x)f2(x)和它们反向变化；(函数相乘)函数 f(x)与在 f(x)的同号区间里反向变化。若函数 U=0(x),X a,3与函数 y=F(U),u?0(a,0(B)或 u?0(a)同向变化，则在a,3上复合函数y=F0(X)是递增的；若函数U=0(x),xa,3 与函数y=F(U),U?0(a),0(3)或 u?0(?,0(a)反向变化，则在a,3上复合函数y=F 0(x)是递减的。(同增异减)若函数 y=f(x)是严格单调的，则其反函数x=广1(y)也是严格单调的，而

10、且，它们的增减性相同。f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 18 页 -专业.专注增增增增增增减减/减增减/减减增减减17.函数 f(x)具有奇偶性的条件是什么？(f(x)定义域关于原点对称)若 f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称若 f(x)f(x)总成立 f(x)为偶函数函数图象关于 y 轴对称注意如下结论：(1)在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。(2)若 f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。(3

11、)f(x)是定义域在 (-6,0),(0,6)上的奇函数，若x 0 时 f(x)=求 xv 0 时 f(x)判断函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的必要条件?若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数?名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 18 页 -专业.专注，计算f(X),然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况告诉你 f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来f(x)f(x t)0 推导：f(x t)f(x 2t)0奇偶函数定义法这种方法可以做如下变形f

12、(x)+f(-x)=0 f(x)-f(-x)=0 f(x)f(-x)f(x)f(-x)奇函数偶函数偶函数奇函数复合函数奇偶性f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶18.(若存在实数 T(T 0)，在定义域内总有f x T f(x)，则 f(x)为周期函数，T 是一个周期。)女口：若f x a f(x)，贝 U _ 同时可能也会遇到这种样子f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思函数 f(x)关于直线对在给定函数的定义域关于原点对称的前提下这时说这个函数周期2t.f(x)f(

13、x 2t)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 18 页 -专业.专注称，对称轴可以由括号内的2 个数字相加再除以2 得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线 x=a 对称。又如：若 f(x)图象有两条对称轴x a,x b 即 f(a x)f(a x)，f(b x)f(b x)令 t 2a x,则 2b x t 2b 2a,f(t)f(t 2b 2a)即 f(x)f(x 2b 2a)所以，函数 f(x)以 2|b a|为周期(因不知道 a,b 的大小关系,为保守起见，我加了一个绝对值19?你掌握常用的图象变换了吗？f(

14、x)与 f(x)的图象关于 y 轴 对称联想点(x,y),(-x,y)f(x)与 f(x)的图象关于 X 轴 对称联想点(x,y),(x,-y)f(x)与 f(x)的图象关于原点 对称联想点(x,y),(-x,-y)f(x)f(2a x)f(x)f(2b x)f(2a x)f(2b x)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 18 页 -专业.专注f(x)与 f 1(x)的图象关于直线 y x 对称联想点(x,y),(y,x)f(x)与 f(2a x)的图象关于直线 x a 对称联想点(x,y),(2a-x,y)f(x)与 f(2a x)的图象关于点(a,0)对称联想点(

15、x,y),(2a-x,0)将 y f(x)图象左移 a(a 0)个单位y f(xa)右移 a(a 0)个单位y f(xa)上移 b(b 0)个单位y f(x a)b下移 b(b 0)个单位y f(x a)b注意如下翻折”变换：f(x)|f(x)|把 x 轴下方的图像翻到上面f(x)f(|x|)把 y 轴右方的图像翻到上面19.x0(k 为斜率，b 为直线与 y 轴的交点)(1)一次函数：ykx b k(2)反比例函数:0 推广为 y k 0 是中心 O(a,b)的双曲线。(3)二次函数 y2 ax bx c a 0 a b 2a 警图象为抛物线4ac b2顶点坐标为，2a 4a，对称轴 xb

16、2a 开口方向：a 0,向上，函数y min4ac b24a 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 18 页 -专业.专注ax2 bx c（一般式）a（x m）2 n（顶点式，（m,n）为顶点a（x xj（x x2）（x.|,x2是方程的2 个根）f(x)a(x xj(x x2)h(函数经过点(xh)(x2,h)应用：三个二次”二次函数、二次方程、二次不等式）的关系一一二次方程ax2 bx c 0，0 时，两根 x1 x2为二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴求闭区间 m,n上的最值。也可以比较 m,n 和对称轴的关系，距离越远，值越大（只讨论 a 0 的

17、情况）求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题4ac b24a 根的关系：xb V2ax1x2b,xiac.x2,|xiaa 0，向下，ymaxX2I二次函数的几种表达形式:V|a|的两个交点，也是二次不等式ax2 bx c 0（0）解集的端点值如：二次方程ax2 bx c 0 的两根都大于k b 2a f(k)f(x)f(x)f(X)区间在对称轴左边（n区间在对称轴右边（m区间在对称轴2 边（n4ac b2rf min,f max 4a 2a b 2a f max f max m)f(m),f min f(n),f min max(f(m),f(n)f(n)f(m)

18、名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 18 页 -专业.专注一根大于 k，一根小于 k在区间(m，n)内有 2 根0mb n 2af(m)0f(n)0在区间(m，n)内有 1 根f(m)f(n)0f(k)0(4)指数函数:axa 0，a 1 k(6)“对勾函数”y x kk 0 x 利用它的单调性求最值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 18 页 -专业.专注21.如何解抽象函数问题？(赋值法、结构变换法)女如:(1)x R,f(x)满足 f(x y)f(x)f(y)，证明 f(x)为奇函数 (先令 x y 0 f(0)0 再令 y x，)

19、(2)x R，f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)，证明 f(x)是偶函数。(先令 x y t f(t)(t)f(t?t)?f(t)f(t)f(t)f(t)?-f(t)f(t)(3)证明单调性：f(x2)f x2X!x2.(对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了1、代 y=x，2、令 x=0 或 1 来求出 f(0)或 f(1)3、求奇偶性，令y=x;求单调性：令x+y=x 1名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 18 页 -专业.专注几类常见的抽象函数1.正比例函数型的抽象函数f(x)=kx(k 丸)-f(x y)=f(x)f(y)2.幕函数型的抽

20、象函数f(x)=xa-f(xy)=f(x)f(y);f(-)=y f(y)例 1 已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x0 时，f(x)0,f(1)=2 求f(x)在区间 2,1上的值域.例 2 已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)+2=f(x)+f(y),且当x0 时，f(x)2,f(3)=5,求不等式f(a2 2a 2)3 的解.例 3 已知函数f(x)对任意实数x、y 都有f(xy)=f(x)f(y),且f(1)=1,f(27)=9,当 0 x0 且f(a+1)0,x?N:f(a+b)=f(a)f(b),a、b?N:f名师资料总结-精品资

21、料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 18 页 -专业.专注(2)=4?同时成立？若存在，求出f(x)的解析式，若不存在，说明理由.例 6 设f(x)是定义在(0,+)上的单调增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,求:(1)f(1)；(2)若f(x)+f(x 8)1,求证:(1)当x 0 时，0 v f(x)v 1；(2)f(x)在x?R 上是减函数?练习题：1.已知：f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数x、y都成立，则()(A)f(0)=0(B)f(0)=1(C)f(0)=0 或 1(D)以上都不对名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共

22、 18 页 -专业.专注2.若对任意实数x、y总有f(xy)=f(x)+f(y),贝U下列各式中错误的是()1(A)f(1)=0(B)f()=f(x)x x(C)f()=f(x)-f(y)(D)f(xn)=nf(x)(n?N)y 3.已知函数f(x)对一切实数x、y满足：f(0)工 0,f(x+y)=f(x)f(y),且当xv 0 时，f(x)1,则当x 0 时，f(x)的取值范围是()(A)(1,+m)(B)(-m,1)(C)(0,1)(D)(-1,+)4.函数f(x)定义域关于原点对称，且对定义域内不同的X1、X2都有f(xj f(x2)f(X1 x2)=-，则f(x)为()1 f(Xjf

23、(X2)(A)奇函数非偶函数(B)偶函数非奇函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)非奇非偶函数5.已知不恒为零的函数f(x)对任意实数x、y满足f(x+y)+f(xy)=2f(x)+f(y),贝U函数f(x)是()(A)奇函数非偶函数(B)偶函数非奇函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)非奇非偶函数函数1.函数的奇偶性(1)若 f(x)是偶函数，那么f(x)=f(x)=J；(2)若 f(x)是奇函数，0 在其定义域内，则(可用于求参数)；(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)=0 或厕(f(x)丰;0)(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；名师资料总结-精品资料欢迎

24、下载-名师精心整理-第 16 页，共 18 页 -专业.专注(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；2.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知八)的定义域为 a,b，其复合函数 fg(x)的定义域由不等式a0)恒成立，则 y=f(x)是周期为2a 的周期函数；(2)若 y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则 f(x)是周期为 2|a 丨的周期函数；(3)若 y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则 f(x)是周期为 4 丨 a 丨的周期函数;(4)若 y=f(x)关于点(a,O),(b,O)对称，则 f(x)

25、是周期为 2 如_创 的周期函数；(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a 祠称,贝 U 函数 y=f(x)是周期为2引 的周期函数;L(6)y=f(x)对 x?R 时，f(x+a)=f(x)(或 f(x+a)=八,则 y=f(x)是周期为 2 彳 的周期函数；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 18 页 -专业.专注5?方程 k=f(x)有解 O k?D(D 为 f(x)的值域);6.a f(x 恒成立 C a f(x)max,；a 0,a 工 1,b0,nR+);2)l og a N=松(a0,a 工 1,b0,b 工 1);I og a b 的符号由

26、口诀同正异负”记忆；a log a N=N(a0,a丰1,N0);8.判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A 中元素必须都有象且唯一；(2)B 中元素不一定都有原象，并且A 中不同元素在 B 中可以有相同的象；9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。10.对于反函数，应掌握以下一些结论：(1)定义域上的单调函数必有反函数；(2)奇函数的反函数也是奇函数；(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；(4)周期函数不存在反函数；(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性；y=f(x)与 y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A,值域为B,则有 ff-1(x)=x(x?B),f-1f(x)=x(x?A).11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系12.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：/(町帆城 J 0(或(或)；13.恒成立问题的处理方法：(1)分离参数法；(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 18 页 -