2022年高一基本初等函数复习教案 .pdf

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1、基本初等函数一【课标要求】1指数函数（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型2对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型

2、所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3知道指数函数xay与对数函数xyalog互为反函数（a0，a1）。4.幂函数（1）了解幂函数的概念（2）结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=x21,y=x1的图象，了解它们的变化情况二【命题走向】指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、

3、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。预测 2010 年对本节的考察是：1题型有两个选择题和一个解答题；2题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大三【要点精讲】1指数与对数运算（1）根式的概念：定义：若一个数的n次方等于),1(Nnna且，则这个数称a的n次方根。即若axn，则x称a的n次方根)1Nnn且，1）当n为奇数时，na的次方根记作na；2）当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作)0(aan名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页

4、，共 15 页 -性质：1）aann)(；2）当n为奇数时，aann；3）当n为偶数时，)0()0(|aaaaaan。（2）幂的有关概念规定：1）naaaan(N*；2）)0(10aa；n 个3）paapp(1Q，4）maaanmnm,0(、nN*且)1n性质：1）raaaasrsr,0(、sQ）；2）raaasrsr,0()(、sQ）；3）rbababarrr,0,0()(Q）。（注）上述性质对r、sR均适用。（3）对数的概念定义：如果)1,0(aaa且的 b 次幂等于 N，就是Nab，那么数b称以a为底 N的对数，记作,logbNa其中a称对数的底，N 称真数1）以 10 为底的对数称常用

5、对数，N10log记作Nlg；2）以无理数)71828.2(ee为底的对数称自然对数，Nelog，记作Nln；基本性质：1）真数 N 为正数（负数和零无对数）；2）01loga；3）1logaa；4）对数恒等式：NaNalog。运算性质：如果,0,0,0,0NMaa则1）NMMNaaaloglog)(log；2）NMNMaaalogloglog；3）nMnMana(loglogR）换底公式：),0,1,0,0,0(logloglogNmmaaaNNmma名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 15 页 -1）1loglogabba；2）bmnbanamloglog。2指数

6、函数与对数函数（1）指数函数：定义：函数)1,0(aaayx且称指数函数，1）函数的定义域为R；2）函数的值域为),0(；3）当10a时函数为减函数，当1a时函数为增函数。函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x轴为渐近线（当10a时，图象向左无限接近x轴，当1a时，图象向右无限接近x轴）；3）对于相同的)1,0(aaa且，函数xxayay与的图象关于y轴对称函数值的变化特征：（2）对数函数：定义：函数)1,0(logaaxya且称对数函数，1）函数的定义域为),0(；2）函数的值域为R；3）当10a时函数为减函数，当1a时函数为增函数；4）对

7、数函数xyalog与指数函数)1,0(aaayx且互为反函数函数图像：10a1a100yx时，10yx时，10yx时10yx时，10yx时，100yx时，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 15 页 -1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以y轴为渐近线（当10a时，图象向上无限接近y轴；当1a时，图象向下无限接近y轴）；4）对于相同的)1,0(aaa且，函数xyxyaa1loglog与的图象关于x轴对称。函数值的变化特征：（3）幂函数1）掌握 5 个幂函数的图像特点2）a0 时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a0 时过（0，0）

8、4）幂函数一定不经过第四象限四【典例解析】题型 1：指数运算例 1（1）计算：25.02121325.0320625.0)32.0()02.0()008.0()945()833(；（2）化简：5332332323323134)2(248aaaaabaaabbbaa。10a1a01yx时，01yx时，010yx时.01yx时，01yx时，100yx时.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 15 页 -解：（1）原式=41322132)10000625(102450)81000()949()278(922)2917(211024251253794；（2）原式=5131212

9、1323131231313123133133131)()(2)2()2()()2()(aaaaababbaabaa23231616531313131312)2(aaaaaabaabaa。点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。例 2（1）已知11223xx，求22332223xxxx的值解：11223xx，11222()9xx，129xx，17xx，12()49xx，2247xx，又331112222

10、()(1)3(71)18xxxxxx，223322247231833xxxx。点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。题型 2：对数运算（2）.(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数()yf x 的图象经过点1(2,)8，则满足()f x 27 的x的值是 .名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 15 页 -答案13例 3计算（1）2(lg 2)lg 2 lg 50lg 25；（2）3948(log 2log 2)(log3log 3)；（3）1.0lg21036.0lg21600lg)2(lg8000lg5lg23解：（1）原式2

11、2(lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5(1 1)lg 22lg52(lg 2lg5)2；（2）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 23lg 2 5lg 352lg 3 6lg 24；（3）分子=3)2lg5(lg2lg35lg3)2(lg3)2lg33(5lg2；分母=41006lg26lg101100036lg)26(lg；原式=43。点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟

12、练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧例 4设a、b、c为正数，且满足222abc（1）求证：22log(1)log(1)1bcacab；（2）若4log(1)1bca，82log()3abc，求a、b、c的值。证明：（1）左边222logloglog()abcabcabc abcabab22222222222()22loglogloglog 21abcaabbcabccababab；解：（2）由4log(1)1bca得14bca，30abc名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 15 页 -由82log()3abc得2384abc由得2ba由得3cab，代入2

13、22abc得2(43)0aab，0a，430ab由、解得6a，8b，从而10c。点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。题型 3：指数、对数方程例 5(江西师大附中2009 届高三数学上学期期中)已知定义域为R的函数abxfxx122)(是奇函数.（1）求a,b的值；（2）若对任意的Rt，不等式0)2()2(22ktfttf恒成立，求k的取值范围.解（1）因为)(xf是 R 上的奇函数，所以1,021,0)0(babf解得即从而有.212)(1axfxx又由aaff1121412)1()1(知，解得2a（2）解法一：由（1）知,1212

14、12212)(1xxxxf由上式易知)(xf在 R上为减函数，又因)(xf是奇函数，从而不等式0)2()2(22ktfttf等价于).2()2()2(222ktfktfttf因)(xf是 R 上的减函数，由上式推得.2222kttt即对一切,0232kttRt有从而31,0124kk解得解法二：由（1）知,2212)(1xxxf又由题设条件得0221222121221222222ktkttttt即0)12)(22()12)(22(2222212212ktttttkt整理得12232ktt，因底数21，故0232ktt上式对一切Rt均成立，从而判别式.31,0124kk解得例 6（2008 广东

15、 理 7）设aR，若函数3axyex，xR有大于零的极值点，则（B）A3aB3aC13aD13a【解析】()3axfxae，若函数在xR上有大于零的极值点，即()30axfxae有名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 15 页 -正根。当有()30axfxae成立时,显然有0a,此时13ln()xaa，由0 x我们马上就能得到参数a的范围为3a.点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。题型 4：指数函数的概念与性质例 7设1232,2()(2)log(1)2.xexfxffxx，则的值为，（）A

16、0 B1 C 2 D3 解：C；1)12(log)2(23f，eeff22)2(10。点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值例 8已知)1,0()(log1aaxxxfa且试求函数f(x)的单调区间。解：令txalog，则 x=ta，tR。所以taatf)(即xxaaxf)(，（xR）。因为 f(x)=f(x)，所以 f(x)为偶函数，故只需讨论f(x)在0，+）上的单调性。任取1x，2x，且使210 xx，则)()(12xfxf)()(1122xxxxaaaa212121)1)(xxxxxxaaaa（1）当 a1 时，由210 xx，有210 xxaa，121xxa，所以0)()(

17、12xfxf，即 f(x)在0，+上单调递增。（2）当0a1时，由210 xx，有210 xxaa，121xxa，所 以0)()(12xfxf，即 f(x)在0，+上单调递增。综合所述，0，+是 f(x)的单调增区间，（，0）是 f(x)的单调区间。点评：求解含指数式的函数的定义域、值域，甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。特别是分10,1aa两种情况来处理。题型 5：指数函数的图像与应用例 9若函数myx|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（）Am 1 B1m0 Cm1 D0m1 解：)1(2)1()21()21(11|1|xxyxxx，画图象可知1m1

18、时，函数y=logax 和 y=(1a)x 的图象只可能是()名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 15 页 -A1oyxB1oyxC1oyxD1oyx解：当 a1 时，函数y=logax 的图象只能在A 和 C 中选，又 a1 时，y=(1a)x 为减函数。答案：B点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性例 14设 A、B 是函数 y=log2x 图象上两点,其横坐标分别为a 和 a+4,直线 l:x=a+2 与函数 y=log2x 图象交于点C,与直线 AB 交于点 D。

19、（1）求点 D 的坐标；（2）当 ABC的面积大于1 时,求实数 a的取值范围解：（1）易知 D 为线段 AB的中点,因 A(a,log2a),B(a+4,log2(a+4)，所以由中点公式得D(a+2,log2)4(aa)。（2）SABC=S梯形AACC+S梯形CCBB-S梯形AABB=log2)4()2(2aaa,其中 A,B,C为 A,B,C在 x 轴上的射影。由 SABC=log2)4()2(2aaa1,得 0 a222。点评：解题过程中用到了对数函数性质，注意底数分类来处理，根据函数的性质来处理复杂问题。题型 8：指数函数、对数函数综合问题例 15在 xOy 平面上有一点列P1(a1

20、,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn)，对每个自然数n 点 Pn位于函数y=2000(10a)x(0a1)的图象上，且点 Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形。(1)求点 Pn的纵坐标bn的表达式；(2)若对于每个自然数n，以 bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围；(3)设 Cn=lg(bn)(nN*),若 a 取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列 Cn前多少项的和最大？试说明理由解：(1)由题意知：an=n+21,bn=2000(10a)21n。(2)函数 y=2000(10a)x(0abn+1bn+2。则以 bn,b

21、n+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1bn，即(10a)2+(10a)10，解得 a5(51)。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 15 页 -5(51)a10。(3)5(51)a10，a=7 bn=2000(107)21n。数列 bn 是一个递减的正数数列，对每个自然数n2,Bn=bnBn1。于是当 bn1 时，BnBn1，当 bn1 时，BnBn1，因此数列 Bn的最大项的项数n 满足不等式bn1且 bn+11，由 bn=2000(107)21n1 得：n20。n=20。点评：本题题设从函数图像入手，体现数形结合的优越性，最终还是根

22、据函数性质结合数列知识，以及三角形的面积解决了实际问题。例 16已知函数1,0)(log)(aaxaxxfa为常数）（1）求函数f(x)的定义域；（2）若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性（3）若函数y=f(x)是增函数，求a 的取值范围。解：（1）由axxxax得0a0，x 0 22210axxaxxf(x)的定义域是),1(2ax。（2）若 a=2，则)2(log)(2xxxf设4121xx，则0 1)(2)()()(2)2()2(212121212211xxxxxxxxxxxx)()(21xfxf故f(x)为增函数。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页

23、，共 15 页 -（3）设1121221xaxaaxx则0 1)()()()()()(212121212211xxaxxxxxxaxaxxax2211xaxxaxf(x)是增函数，f(x1)f(x2)即)(log)(log2211xaxxaxaa联立、知a1，a(1，+)。点评：该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可题型 9：课标创新题例 17对于在区间nm,上有意义的两个函数f(x)与 g(x)，如果对任意的xnm,，均有1)()(xgxf，则称 f(x)与 g(x)在nm,上是接近的，否则称 f(x)与 g(

24、x)在nm,上是非接近的，现有两个函数)3(log)(1axxfa与)1,0(1log)(2aaaxxfa，给定区间3,2 aa。（1）若)(1xf与)(2xf在给定区间3,2 aa上都有意义，求a 的取值范围；（2）讨论)(1xf与)(2xf在给定区间3,2 aa上是否是接近的。解：（1）两个函数)3(log)(1axxfa与)1,0(1log)(2aaaxxfa在给定区间3,2 aa有意义，因为函数axy3给定区间3,2 aa上单调递增，函数在axy1给定区间3,2 aa上恒为正数，故有意义当且仅当1003)2(10aaaaa；（2）构造函数)3)(log)()()(21axaxxfxfx

25、Fa，对于函数)3)(axaxt来讲，显然其在2,(a上单调递减，在),2 a上单调递增。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 15 页 -且tyalog在其定义域内一定是减函数由于10a，得2220aa所以原函数在区间 3,2aa内单调递减，只需保证1|)23(3log|)3(|1|)1(4log|)2(|aaFaaFaaaaaaa1)23(31)1(4当125790a时，)(1xf与)(2xf在区间3,2 aa上是接近的；当12579a时，)(1xf与)(2xf在区间3,2 aa上是非接近的点评：该题属于信息给予的题目，考生首先理解“接近”与“非接近”的含义，再对

26、含有对数式的函数的是否“接近”进行研究，转化成含有对数因式的不等式问题，解不等式即可。例 18设1x，1y，且2log2log30 xyyx，求224Txy的最小值。解：令logxty，1x，1y，0t。由2log2log30 xyyx得2230tt，22320tt，(21)(2)0tt，0t，12t，即1log2xy，12yx，222244(2)4Txyxxx，1x，当2x时，min4T。点评：对数函数结合不等式知识处理最值问题，这是出题的一个亮点。同时考察了学生的变形能力。例 19.（2009 陕西卷文）设曲线1*()nyxnN在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为nx,则12nx

27、xxL的值为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 15 页 -A.1nB.11nC.1nnD.1 答案B 解析对1*()(1)nnyxnNynx求导得,令1x得在点（1，1）处的切线的斜率1kn,在点（1，1）处的切线方程为1(1)(1)(1)nnyk xnx,不妨设0y,1nnnx则1212311.23411nnnxxxnnnL,故选B.五【思维总结】1bNNaaNabnlog,（其中1,0,0aaN）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应

28、化为同底；2要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；3解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；4指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12 个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析；5含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1 或小于 1 分类；6在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 15 页 -