2022年实数_知识点+题型归纳,推荐文档 .pdf

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1、第六章 实数知识讲解+题型归纳知识讲解一、实数的组成1、实数又可分为正实数，零，负实数2.数轴：数轴的三要素原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应二、相反数、绝对值、倒数1.相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。数a 的相反数是-a。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零.性质：互为相反数的两个数之和为0。2.绝对值：表示点到原点的距离，数a 的绝对值为3.倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数。非 0 实数 a 的倒数为1a.0 没有倒数。4.相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是非负数（0 和正数）；倒数是它本身的数是 1.三、平方根与立方根1.平方根：如果

2、一个数的平方等于a，这个数叫做 a 的平方根。数 a 的平方根记作（a=0）特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。正数 a 的正的平方根也叫做a 的算术平方根，零的算术平方根还是零。开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为 a 立方根。数 a 的立方根用3a表示。任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。四、实数的运算有理数的加法法则：a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；b)异号两数相加。绝对

3、值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.任何数与零相加等于原数。2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。3.乘法法则：a|a名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 42 页 -a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零b）几个不为 0 的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正c）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为 0 4.有理数除法法则：a）两个有理数相除（除数不为0）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何非 0 实数都

4、得 0。b）除以一个数等于乘以这个数的倒数。5.有理数的乘方:在 an中，a 叫底数，n 叫指数a）正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；0的任何次幂都是 0 b）a0=1（a 不等于 0）6.有理数的运算顺序：a）同级运算，先左后右b）混合运算，先算括号内的，再乘方、开方，接着算乘除，最后是加减。五实数大小比较的方法1）数轴法：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数2）比差法：若 a-b0 则 ab；若 a-b0 则 a1 则 ab；a/b1 则 a1 则 ab；a/bb C.一正一负时，正数 负数4）平方法：a、b 均为正数时，若 a2b2，则有 ab；均为负数时

5、相反5)倒数法：两个实数，倒数大的反而小（不论正负）题型归纳经典例题类型一有关概念的识别1下面几个数：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 42 页 -0.23，1.010010001，3，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 42 页 -，其中，无理数的个数有（）A、1B、2C、3 D、4 解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001，3，是无理数故选 C 举一反三：【变式 1】下列说法中正确的是（）A、的平方根是 3B、1 的立方根是 1C、=1 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 42

6、页 -D、是 5 的平方根的相反数【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，=9，9 的平方根是 3，A 正确1 的立方根是1，=1，是 5 的平方根，B、C、D都不正确【变式 2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点 A名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 42 页 -表示的数是（）A、1B、1.4C、D、【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系正名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 42 页 -方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=

7、，A 表示数为，故选 C【变式 3】【答案】=3.1415，9310 因此 3-90，3-100 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 42 页 -类型二计算类型题2设，则下列结论正确的是（）A.B.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 42 页 -C.D.解析：（估算）因为，所以选 B 举一反三：【变式 1】1）1.25 的算术平方根是 _；平方根是 _.2）-27立方根是 _.3）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 42 页 -_，_，_.【答案】1）；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共

8、42 页 -.2）-3.3），【变式 2】求下列各式中的名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 42 页 -（1）（2）（3）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 42 页 -【答案】（1）（2）x=4或 x=-2（3）x=-4 类型三数形结合3.点 A 在数轴上表示的数为，点 B 在数轴上表示的数为，则 A，B 两点的距离为_ 解析：在数轴上找到A、B 两点，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 42 页 -举一反三：【变式 1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点 B关于点 A 的对称点为C，则点 C表示的

9、数是（）A1 B1名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 42 页 -C2D2【答案】选C 变式 2 已知实数、名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 42 页 -、在数轴上的位置如图所示：化简名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 42 页 -【答案】：类型四实数绝对值的应用4化简下列各式：(1)|-1.4|(2)|-3.142|(3)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 42 页 -|-|(4)|x-|x-3|(x3)(5)|x2+6x+10|分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的

10、数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。解：(1)=1.414 1.4名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 42 页 -|-1.4|=1.4-(2)=3.14159 3.142|-3.142|=3.142-名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 42 页 -(3),|-|=名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 42 页 -(4)x3,x-30,|x-|x-3|=|x-(3-x)|=|2x-3|=说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。

11、(5)|x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|(x+3)20,(x+3)2+10 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 42 页 -|x2+6x+10|=x2+6x+10 举一反三：【变式 1】化简：【答案】=+-名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 42 页 -=类型五实数非负性的应用5已知：=0，求实数 a,b 的值。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 42 页 -分析：已知等式左边分母不能为 0，只能有0，则要求 a+70，分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0

12、 且 a2-49=0，由此得不等式组从而求出 a,b 的值。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 24 页，共 42 页 -解：由题意得由(2)得 a2=49 a=7 由(3)得 a-7，a=-7 不合题意舍去。只取 a=7 把 a=7 代入(1)得 b=3a=21 a=7,b=21 为所求。举一反三：【变式 1】已知(x-6)2+|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。解：(x-6)2+|y+2z|=0 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 25 页，共 42 页 -且(x-6)20,0,|y+2z|0,几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。解这个方程组得(

13、x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65【变式 2】已知那么 a+b-c 的值为 _【答案】初中阶段的三个非负数：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 26 页，共 42 页 -，a=2,b=-5,c=-1;a+b-c=-2 类型六实数应用题6有一个边长为11cm 的正方形和一个长为13cm，宽为 8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。解：设新正方形边长为xcm，根据题意得x2=112+138 x2=225 x=15 边长为正，x=-15 不合题意舍去，只取 x=15(cm)答：新的正方形边长应取15cm。举一反三：【变式

14、 1】拼一拼，画一画：请你用 4 个长为 a，宽为 b 的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。（4 个长方形拼图时不重叠）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 27 页，共 42 页 -（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm 时，大正方形的面积就比小正方形的面积多24cm2，求中间小正方形的边长.解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：，所以面积为=大正方形的面积名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 28 页，共 42 页 -=，一个长方形的面积=。所以，答：中间的小正方

15、形的面积名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 29 页，共 42 页 -，发现的规律是：（或）(2)大正方形的边长：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 30 页，共 42 页 -，小正方形的边长：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 31 页，共 42 页 -，即，又大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm2 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 32 页，共 42 页 -所以有，化简得：将代入，得：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 33 页，共 42 页 -cm答：中间小正方形的边长2.5 cm。类型七易错题7判断下列说法是

16、否正确（1）的算术平方根是-3；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 34 页，共 42 页 -（2）的平方根是 15.（3）当 x=0 或 2 时，（4）是分数解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 35 页，共 42 页 -（2）表示 225 的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15 的平方根，故的平方根是.（3）注意到，当x=0 时，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 36 页，共 42 页 -=，显然此式无意义，发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x0，所以当 x=2 时，x=

17、0.（4）错在对实数的概念理解不清.形如分数，但不是分数，它是无理数.类型八引申提高名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 37 页，共 42 页 -8（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求 a2-b2的值.（2）把下列无限循环小数化成分数：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 38 页，共 42 页 -（1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分解：由得的整数部分a=5,的小数部分名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 39 页，共 42 页 -，（2）解：(1)设 x=名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 40 页，共 42 页 -则-得9x=6.(2)设则-，得99x=23 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 41 页，共 42 页 -.(3)设则-，得999x=107，.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 42 页，共 42 页 -