2022年高中数学函数解题技巧方法总结-学生版 .pdf

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1、高中数学函数知识点总结一、.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致(两点必须同时具备)二、.求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数的定义域是yxxx432lg函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数xytankkxRx,2,且当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。三、.如何求复合函数的定义域？的定，则函数，的定义域是如：函数)()

2、()(0)(xfxfxFabbaxf义域是 _。复合函数定义域的求法：已知)(xfy的定义域为nm,，求)(xgfy的定义域，可由nxgm)(解出 x 的范围，即为)(xgfy的定义域。例若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为。四、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数 y=x1的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数 y=2x-2x+5，x-1，2 的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面名师资料

3、总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 14 页 -.112.22222222ba y型：直接用不等式性质k+xbxb.y型,先化简，再用均值不等式xmxnx1例：y1+xx+xxmxnc y型 通常用判别式xmxnxmxnd.y型xn法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉xx1（x+1）（x+1）+1 1例：y（x+1）1211x1x1x14、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数 y=6543xx值域。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函

4、数的单调性。例 求函数 y=11xxee，2sin11siny，2sin11cosy的值域。6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数 y=25xlog31x（2x10）的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数 y=x+1x的值域。8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例：已知点 P（x.y）在圆 x2+y2=1上，名师

5、资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 14 页 -2,(2),2(,20,(1)的取值范围(2)y-2的取值范围解:(1)令则是一条过(-2,0)的直线.d为圆心到直线的距离,R为半径)(2)令y-2即也是直线 d dyxxykyk xxR dxbyxbR例求函数 y=)2(2x+)8(2x的值域。例求函数 y=1362xx+542xx的值域9、不等式法利用基本不等式 a+b2ab，a+b+c3abc3（a，b，cR），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：33()13()32x(3-2

6、x)(0 x1.5)xx+3-2x =xx(3-2x)(应用公式abc时，应注意使3者之和变成常数）abc10.倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例求函数 y=32xx的值域332(0)11113333222x =xx (应用公式a+b+c时，注意使者的乘积变成常数）xxxxxxabc名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 14 页 -2320121112202222012时，时，=00 xyxxxxyyxxxyy多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函

7、数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。五、.如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：根据定义，设任意得x1,x2，找出 f(x1),f(x2)之间的大小关系可以变形为求1212()()fxfxxx的正负号或者12()()f xf x与 1 的关系(2)参照图象：若函数 f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数 f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）若函数 f(x)的图象关于直线xa 对称，则函数 f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）(3)利用单调函数的性质：

8、函数 f(x)与 f(x)c(c 是常数)是同向变化的函数 f(x)与 cf(x)(c是常数)，当 c0 时，它们是同向变化的；当c0 时，它们是反向变化的。如果函数 f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；（函数相加）如果正值函数 f1(x)，f2(x)同向变化，则函数 f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数 f1(2)与 f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）函数 f(x)与1()fx在 f(x)的同号区间里反向变化。若函数 u(x)，x，与函数 yF(u)，u()，()或 u(),()同向变化，则在 ，上复合

9、函数 yF(x)是递增的；若函数u(x),x，与函数 yF(u)，u()，()或 u()，()反向变化，则在 ，上复合函数 yF(x)是递减的。（同增异减）如：求的单调区间yxxlog1222f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正数增增增增增增减减/减增减/减减增减减名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 14 页 -六、.如何利用导数判断函数的单调性？在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于abfxf x()()0零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？fx()0如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大af xxaxa013(

10、)值是（）七、函数 f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxf xf x()()()若总成立为偶函数函数图象关于轴对称fxf xf xy()()()注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0如：若为奇函数，则实数f xaaaxx()2221又如：为定义在，上的奇函数，当，时，f xxf xxx()()()()1101241求在，上的解析式。f x()11八.判断函数奇偶性的方法1、定义

11、域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.2、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)(xf，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 14 页 -这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x)=0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x)1 偶函数f(-x)f(x)1 奇函数f(-x)3、复合函数奇偶性九、.你熟悉周期函数的定义吗？（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期TTf xTf xf x0()()函数，T是

12、一个周期。）如：若，则f xaf x()我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期 2t.推导：()()0()(2)()(2)0fxfxtfxfxtfxtfxt，同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的2 个数字相加再除以2 得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。如：()()()()()()(2)(2)(2)()(2)2,222,()(22)

13、()(22),()2|(,f xxaxbf axf axf bxf bxf xfaxfaxfbxf xfbxtaxbxtba f tf tbaf xf xbaf xbaa b又如：若图象有两条对称轴，即，令则即所以 函数以为周期 因不知道的大小关系为保守起见 我加了一个绝对值十.你掌握常用的图象变换了吗？f xfxy()()与的图象关于轴 对称联想点（x,y）,(-x,y)f xf xx()()与的图象关于轴 对称联想点（x,y）,(x,-y)f xfx()()与的图象关于 原点 对称联想点（x,y）,(-x,-y)f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶

14、非 奇 非偶奇偶奇偶非 奇 非偶奇偶偶偶偶偶名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 14 页 -f xfxyx()()与的图象关于 直线对称1联想点（x,y）,(y,x)f xfaxxa()()与的图象关于 直线对称2联想点（x,y）,(2a-x,y)f xfaxa()()()与的图象关于 点，对称20联想点（x,y）,(2a-x,0)将图象左移个单位右移个单位yf xa aa ayf xayf xa()()()()()00上移个单位下移个单位b bb byf xabyf xab()()()()00注意如下“翻折”变换：()|()|x()(|)yf xf xf xfx把

15、轴下方的图像翻到上面把 轴右方的图像翻到上面如：f xx()log21作出及的图象yxyxloglog2211y y=log2x O 1 x 十一、你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？(k0)y=b O(a,b)O x x=a（）一次函数：10ykxb k(k 为斜率，b 为直线与 y 轴的交点)（）反比例函数：推广为是中心，200ykxkybkxakO ab()的双曲线。（）二次函数图象为抛物线30244222yaxbxc aa xbaacba顶点坐标为，对称轴baacbaxba24422名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 14 页 -开口方向：，向上，函数ayac

16、ba0442minayacba0442，向下，max1212122,|bxabcxxxxxxaaaVV根的关系：2212121212()()()()(mn()()()(,2()()()(,)(,)f xaxbxcf xa xmnf xa xxxxxxf xa xxxxhx hx h二次函数的几种表达形式：一般式顶点式，（，）为顶点是方程的个根）函数经过点（应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程axbxcxxyaxbxcx212200，时，两根、为二次函数的图象与轴的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。axbxc200()求闭区间 m，n上的最值。2max(),mi

17、n()2max(),min()2224min,maxmax(),()4m,n0bnff mff nabmff nff mabnmacbafff mf naa区间在对称轴左边（）区间在对称轴右边（）区间在对称轴边（）也可以比较和对称轴的关系，距离越远，值越大(只讨论的情况）求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。如：二次方程的两根都大于axbxckbakf k20020()y(a0)O k x1x2x 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 14 页 -y O x kk一根大于，一根小于kkf k()00mn22()0()0mn()()0bmna

18、f mf nf m f n在区间（，）内有 根在区间（，）内有 1根（）指数函数：，401yaaax（）对数函数，501yx aaalog由图象记性质！（注意底数的限定！）y y=ax(a1)(0a1)1 O 1 x(0a0 且 a1）-f（xy）f（x）f（y）；f（yx）f（x）f（y）5.三角函数型的抽象函数f（x）t gx-f（xy）)()(1)()(yfxfyfxff（x）cot x-f（xy）)()(1)()(yfxfyfxf例 1 已知函数 f（x）对任意实数 x、y 均有 f（xy）f（x）f（y），且当 x0时，f(x)0，f(1)2 求 f(x)在区间 2,1 上的值域.分

19、析：先证明函数 f（x）在 R上是增函数（注意到f（x2）f （x2x1）x1 f（x2x1）f名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 14 页 -（x1）；再根据区间求其值域.例 2 已知函数 f（x）对任意实数 x、y 均有 f（xy）2f（x）f（y），且当 x0 时，f(x)2，f(3)5，求不等式f（a22a2）0,xN；f（ab）f（a）f（b），a、bN；f（2）4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.分析：先猜出f（x）2x；再用数学归纳法证明.例 6 设 f（x）是定义在（0，）上的单调增函数，满足f（xy）f（x）f（y），f

20、（3）1，求：（1）f（1）；（2）若 f（x）f（x8）2，求 x 的取值范围.分析：（1）利用 313；（2）利用函数的单调性和已知关系式.例 7 设函数 y f（x）的反函数是 yg（x）.如果 f（ab）f（a）f（b），那么 g（ab）g（a）g（b）是否正确，试说明理由.分析：设 f（a）m，f（b）n，则 g（m）a，g（n）b，进而 m nf（a）f（b）f（ab）f g（m）g（n）.例 8 已知函数 f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：x1、x2是定义域中的数时，有f（x1x2）)()(1)()(1221xfxfxfxf；f（a）1（a0，a 是定义域中的一个

21、数）；当 0 x2a 时，f（x）0.试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由；（2）在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.分析：（1）利用 f （x1x2）f （x1x2），判定 f（x）是奇函数；（3）先证明 f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 14 页 -问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.例 9 已

22、知函数 f（x）（x0）满足 f（xy）f（x）f（y），（1）求证：f（1）f（1）0；（2）求证：f（x）为偶函数；（3）若 f（x）在（0，）上是增函数，解不等式f（x）f（x21）0.分析：函数模型为：f（x）lo ga|x|（a0）（1）先令 xy1，再令 xy 1；（2）令y 1；（3）由 f（x）为偶函数，则 f（x）f（|x|）.例 10 已知函数 f（x）对一切实数 x、y 满足 f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且当 x0时，f（x）1，求证：（1）当 x0 时，0f（x）1；（2）f（x）在 xR上是减函数.分析：（1）先令 xy0 得 f（0）1，再令 yx；（3

23、）受指数函数单调性的启发：由 f（xy）f（x）f（y）可得 f（xy）)()(yfxf，进而由x1x2，有)()(21xfxff（x1x2）1.练习题：1.已知：f（xy）f（x）f（y）对任意实数 x、y 都成立，则（）（A）f（0）0 （B）f（0）1 （C）f（0）0 或 1 （D）以上都不对2.若对任意实数 x、y 总有 f（xy）f（x）f（y），则下列各式中错误的是（）（A）f（1）0 （B）f（x1）f（x）（C）f（yx）f（x）f（y）（D）f（xn）nf（x）（nN）3.已知函数 f（x）对一切实数 x、y 满足：f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且当 x0 时，f

24、（x）1，则当 x0 时，f（x）的取值范围是（）（A）（1，）（B）（，1）（C）（0，1）（D）（1，）4.函数 f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有f（x1x2）)()(1)()(2121xfxfxfxf，则 f（x）为（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数 x、y 满足 f（xy）f（xy）2 f（x）f（y），则函数 f（x）是（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数函数典型考题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-

25、第 12 页，共 14 页 -1.若函数)127()2()1()(22mmxmxmxf为偶函数，则m的值是（）A.1B.2C.3D.42已知函数()f x是定义域在R上的偶函数，且在区间(,0)上单调递减，求满足22(23)(45)fxxfxx的x的集合3.若 f(x)是偶函数，它在0,上是减函数,且 f（lgx）f(1),则 x 的取值范围是（）A.(110，1)B.(0，110)U(1，)C.(110，10)D.(0，1)U(10，)4.若 a、b 是任意实数，且ab,则（）A.a2b2B.ab0 D.12a12b5.设 a,b,c都是正数，且346abc，则下列正确的是（）(A)111c

26、ab (B)221Cab (C)122Cab (D)212cab6对于函数21fxaxbxb（0a）（）当1,2ab时，求函数()f x的零点；（）若对任意实数b，函数()f x恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围6.二次函数2yaxbxc中，0a c，则函数的零点个数是（）A 0 个B 1 个C 2 个D 无法确定8若函数baxxxf2的两个零点是2 和 3,则函数12axbxxg的零点是（）A1和2B1和2C21和31D21和319下面四个结论：偶函数的图象一定与y 轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于y 轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是()f x0（xR），其中正确命题的个数是（）A 4B 3 C 2 D 1 10.已知函数 f(x2-3)=lg622xx,(1)f(x)的定义域；(2)判断 f(x)的奇偶性；(3)求 f(x)的反函数;(4)若 f)(x=lgx,求)3(的值。11.下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同的函数是（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 14 页 -（A）y=2xxee（B）y=lgxx11（C）y=-x3（D）y=x名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 14 页 -