2022年南京市届高三第三次模拟考试数学试题及答案 .pdf

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1、学习资料收集于网络，仅供参考学习资料南京市 2017 届高三年级第三次模拟考试数学2017.05参考公式：方差 s21n(x1 x)2(x2 x)2(xn x)2，其中x 为 x1，x2，xn的平均数柱体的体积公式：VSh，其中 S为柱体的底面积，h 为柱体的高锥体的体积公式：V13Sh，其中 S为锥体的底面积，h 为锥体的高一、填空题：本大题共14 小题，每小题5分，共 70分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知全集U1，2，3，4，集合 A1，4，B3，4，则?U(AB)2甲盒子中有编号分别为1，2 的 2 个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6 的 4 个乒乓球现分别从两个盒子中随

2、机地各取出1 个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为3若复数z 满足 z2z32i，其中 i 为虚数单位，z为复数 z 的共轭复数，则复数z 的模为4执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为 1，则输入 x 的值为5如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为6在同一直角坐标系中，函数ysin(x3)（x0，2）的图象和直线y12的交点的个数是7在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x22m2y23m1 的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是8已知函数f(x)是定义在R 上且周期为4 的偶函数当x 2，

3、4 时，f(x)|log4(x32)|，7 7 9 0 8 9 4 8 1 0 3 5 甲乙（第 5 题图）（第 4 题图）Read xIf x0 Then y2x 1Else y 2x2End If Print y名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 14 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料则 f(12)的值为9若等比数列an的各项均为正数，且a3a12，则 a5的最小值为10如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，BB13，ABC90，点 D 为侧棱 BB1上的动点当ADDC1最小时，三棱锥 DABC1的体积为11若函数f(x)ex(x22xa

4、)在区间 a，a1上单调递增，则实数a 的最大值为12在凸四边形ABCD 中，BD2，且 ACBD0，(ABDC)?(BCAD)5，则四边形ABCD 的面积为13.在平面直角坐标系xOy 中，圆 O：x2y21，圆 M：(xa3)2(y2a)21(a 为实数)若圆 O 与圆 M 上分别存在点P，Q，使得 OQP30，则 a 的取值范围为14已知 a，b，c 为正实数，且a2b8c，2a3b2c，则3a8bc的取值范围为二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分15（本小题满分14 分）如图，在三棱锥ABCD 中，E，F 分别为棱 BC，CD 上的点，且BD平面 AEF（1）求证：EF平面 AB

5、D；（2）若 BDCD，AE平面 BCD，求证：平面AEF平面 ACD16（本小题满分14 分）已知向量a(2cos，sin2)，b(2sin，t)，(0，2)（1）若 ab(25，0)，求 t 的值；（2）若 t1，且 a?b1，求 tan(2 4)的值A C B A1B1C1D（第 10 题图）A B C F E D（第 15 题图）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 14 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料17在一水域上建一个演艺广场演艺广场由看台，看台，三角形水域ABC，及矩形表演台 BCDE 四个部分构成（如图）看台，看台是分别以AB，AC 为直径的

6、两个半圆形区域，且看台的面积是看台的面积的3 倍；矩形表演台BCDE 中，CD10 米；三角形水域ABC 的面积为4003平方米设 BAC（1）求 BC 的长（用含的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3 万元，求表演台的最低造价18如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x2a2y2b21(ab0)的右顶点和上顶点分别为A，B，M 为线段 AB 的中点，且 OMAB32b2（1）求椭圆的离心率；（2）已知 a2，四边形 ABCD 内接于椭圆，ABDC记直线AD，BC 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2为定值19已知常数p0，数列 an 满足 an1|pan|2 anp，nN*（

7、1）若 a1 1，p1，求 a4的值；求数列 an的前 n 项和 Sn（2）若数列 an中存在三项ar，as，at(r，s，tN*，rst)依次成等差数列，求a1p的取值范围20已知 R，函数 f(x)exex(xlnxx1)的导函数为g(x)（1）求曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程；（2）若函数g(x)存在极值，求的取值范围；（3）若 x1 时，f(x)0 恒成立，求的最大值CBA水域看台表演台看台D E（第 17 题图）xyOC B D M A（第 18 题图）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 14 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料南京市 201

8、7 届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，计 70 分.）1 2 23835 41 56.8 62 7 32 81298 101311152123 1365，0 1427，30 二、解答题（本大题共6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15（本小题满分14 分）证明：（1）因为 BD平面 AEF，BD平面 BCD，平面 AEF平面 BCDEF，所以BDEF3 分因为 BD平面 ABD，EF平面 ABD，所以EF平面 ABD6分（2）因为 AE平面 BCD，CD平面 BCD，所以AECD8 分因为BDCD，BD EF

9、，所以CDEF，10 分又 AEEFE，AE平面 AEF，EF平面 AEF，所以CD平面 AEF12 分又 CD平面 ACD，所以 平面 AEF平面 ACD14 分16（本小题满分14 分）解：（1）因为向量a(2cos，sin2)，b(2sin，t)，且 ab(25，0)，所以 cos sin 15，tsin2 2 分由 cos sin 15得(cos sin)2125，即 12sin cos 125，从而 2sin cos 2425名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 14 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料所以(cos sin)212sin cos 492

10、5因为 (0，2)，所以 cos sin 755分所以 sin(cos sin)(cos sin)235，从而 tsin2 9257 分（2）因为 t1，且 a?b1，所以 4sin cos sin2 1，即 4sin cos cos2 因为 (0，2)，所以 cos 0，从而 tan 149 分所以 tan2 2tan1tan281511 分从而 tan(2 4)tan2 tan41tan2tan48151181523714 分17（本小题满分14 分）解：（1）因为看台的面积是看台的面积的3 倍，所以AB3AC在ABC 中，SABC12AB?AC?sin 4003，所以 AC2800sin

11、3 分由余弦定理可得BC2AB2AC22AB?AC?cos，4AC223AC2 cos(42 3cos)800sin，即 BC(423cos)?800sin4023cossin所以BC4023cossin，(0，)7 分（2）设表演台的总造价为W 万元因为 CD10m，表演台每平方米的造价为0.3 万元，所以 W3BC12023cossin，(0，)9 分记 f()23cossin，(0，)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 14 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料则 f()32cossin211 分由 f()0，解得 6当 (0，6)时，f()0；当 (6，

12、)时，f()0故 f()在(0，6)上单调递减，在(6，)上单调递增，从而当 6时，f()取得最小值，最小值为f(6)1所以 Wmin120(万元)答：表演台的最低造价为120 万元14 分18（本小题满分16 分）解：（1）A(a，0)，B(0，b)，由 M 为线段 AB 的中点得 M(a2，b2)所以OM(a2，b2)，AB(a，b)因为OMAB32b2，所以(a2，b2)(a，b)a22b2232b2，整理得 a24b2，即 a2b3 分因为 a2b2c2，所以 3a24c2，即3a2c所以椭圆的离心率eca325 分（2）方法一：由 a2 得 b1，故椭圆方程为x24y21从而 A(2

13、，0)，B(0，1)，直线 AB 的斜率为127分因为 ABDC，故可设 DC 的方程为 y12xm设 D(x1，y1)，C(x2，y2)联立y12xm，x24y21，消去 y，得 x22mx2m220，所以 x1 x22m，从而 x12mx29 分直线 AD 的斜率 k1y1x1212x1mx12，直线 BC 的斜率 k2y21x212x2m1x2，11 分名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 14 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料所以 k1k212x1mx1212x2m1x214x1x212(m1)x112mx2m(m1)(x12)x214x1x212m(

14、x1x2)12x1m(m1)x1x22x214x1x212m2m12(2mx2)m(m1)x1x22x214x1x212x2x1x22x214，即 k1k2为定值1416 分方法二：由 a2 得 b1，故椭圆方程为x24y21从而 A(2，0)，B(0，1)，直线 AB 的斜率为127 分设 C(x0，y0)，则x024y021因为 ABCD，故 CD 的方程为 y12(xx0)y0联立y12(xx0)y0，x24y21，消去 y，得 x2(x02y0)x2x0y00，解得 xx0（舍去）或x2y0所以点 D 的坐标为(2y0，12x0)13 分所以 k1k212x02y02y01x014，即

15、 k1k2为定值1416 分19（本小题满分16 分）解：（1）因为 p1，所以 an1|1an|2 an1 因为a1 1，所以a2|1a1|2 a111，a3|1a2|2 a213，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 14 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料a4|1a3|2 a3193 分 因为 a21，an1|1an|2 an1，所以当 n2 时，an1，从而 an1|1an|2 an1an12 an13an，于是有an3n2(n2)5 分当 n1 时，S11；当 n2 时，Sn1a2a3 an 113n1133n132所以Sn1，n1，3n132，n2，

16、nN*，即 Sn3n132，nN*8 分（2）因为 an1an|pan|anppananp2 p0，所以 an1an，即 an单调递增10 分（i）当a1p1 时，有 a1p，于是 ana1p，所以 an1|pan|2 anpanp2 anp3an，所以 an3n1a1若 an 中存在三项ar，as，at(r，s，tN*，rst)依次成等差数列，则有2 asarat，即 23s13r13t1（*）因为 s t1，所以 23s1233s3t13r13t1，即（*）不成立故此时数列 an中不存在三项依次成等差数列12 分（ii）当 1a1p1 时，有 pa1p此时 a2|pa1|2 a1ppa12

17、 a1pa12 pp，于是当 n2 时，ana2p，从而 an1|pan|2 anpanp2 anp3an所以 an3n2a23n2(a12p)(n2)若 an 中存在三项ar，as，at(r，s，tN*，rst)依次成等差数列，同（i）可知，r1，于是有 23s2(a12 p)a13t2(a12p)因为 2st1，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 14 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料所以a1a12 p23s23t2293s133t10因为 23s23t2是整数，所以a1a12 p 1，于是 a1 a12p，即 a1 p，与 pa1p 相矛盾故此时数列

18、an中不存在三项依次成等差数列14 分（iii）当a1p 1 时，则有 a1 pp，a1p0，于是 a2|pa1|2a1ppa12 a1pa12p，a3|pa2|2a2p|pa1|2a15ppa12a15pa14p，此时有 a1，a2，a3成等差数列综上可知：a1p116 分20（本小题满分16 分）解：（1）因为 f(x)exe lnx，所以曲线yf(x)在 x1 处的切线的斜率为f(1)0，又切点为(1，f(1)，即(1，0)，所以切线方程为y02 分（2）g(x)exe lnx，g(x)exx当 0 时，g(x)0 恒成立，从而g(x)在(0，)上单调递增，故此时 g(x)无极值4 分当

19、 0 时，设 h(x)exx，则 h(x)exx20 恒成立，所以 h(x)在(0，)上单调递增6分当 0 e 时，h(1)e 0，h(e)eee0，且 h(x)是(0，)上的连续函数，因此存在唯一的x0(e，1)，使得 h(x0)0当 e 时，h(1)e 0，h()e10，且 h(x)是(0，)上的连续函数，因此存在唯一的x01，)，使得 h(x0)0故当 0 时，存在唯一的x00，使得 h(x0)08 分名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 14 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料且当 0 xx0时，h(x)0，即 g(x)0，当 xx0时，h(x)0，即

20、g(x)0，所以 g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，因此 g(x)在 xx0处有极小值所以当函数g(x)存在极值时，的取值范围是(0，)10 分（3）g(x)f(x)exe lnx，g(x)exx若 g(x)0 恒成立，则有 xex恒成立设 (x)xex(x1)，则(x)(x1)ex0 恒成立，所以 (x)单调递增，从而(x)(1)e，即 e于是当 e 时，g(x)在1，)上单调递增，此时 g(x)g(1)0，即 f(x)0，从而 f(x)在1，)上单调递增所以 f(x)f(1)0 恒成立13 分当 e时，由（2）知，存在x0(1，)，使得 g(x)在(0，x0)上单调

21、递减，即 f(x)在(0，x0)上单调递减所以当 1xx0时，f(x)f(1)0，于是 f(x)在1，x0)上单调递减，所以f(x0)f(1)0这与 x1 时，f(x)0 恒成立矛盾因此 e，即 的最大值为e16 分名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 14 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料南京市 2017 届高三第三次模拟考试数学附加参考答案及评分标准21【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做2 题，每小题10 分，共计20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲证明：连结 BE因为 AD 是边 B

22、C 上的高，AE 是 ABC 的外接圆的直径，所以 ABE ADC904分AEBACD，6 分所以 ABEADC，8分所以ABADAEAC即 ABACADAE10 分B选修 42：矩阵与变换解：（1）AX2 xy2 11x22y2 分因为 AX12，所以x21，2y2，解得 x3，y04 分（2）由（1）知 A2 30 2，又 B1 10 2，所以 AB 2 30 21 10 22 40 46 分设(AB)1 abcd，则2 40 4abcd1 00 1，即2a4c2b4d4c4d1 00 18 分所以2a4c1，4c0，2b4d0，4d1，解得 a12，b12，c0，d14，即(AB)112

23、120 1410 分（说明：逆矩阵也可以直接使用公式求解，但要求呈现公式的结构）A B C D E（第 21(A)图）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 14 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料C选修 44：坐标系与参数方程解：由于2 x2y2，cos x，所以曲线C 的直角坐标方程为x2y28x150，即(x4)2+y21，所以曲线C 是以(4，0)为圆心，1 为半径的圆3 分直线 l 的直角坐标方程为yx，即 xy06 分因为圆心(4，0)到直线 l 的距离 d|40|22 218 分所以直线l 与圆相离，从而 PQ 的最小值为d122110 分D选修

24、45：不等式选讲证明：因为 x0，所以 x32 x311 33x311 3x，当且仅当x31，即 x1 时取“”4 分因为 y212y(y1)20，所以 y212y，当且仅当y1 时取“”8 分所以(x32)(y21)3x2y，即 x3y233x2y，当且仅当xy1 时，取“”10 分【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10 分）解：（1）设 P(x，y)为曲线 C 上任意一点因为 PS l，垂足为 S，又直线 l：x1，所以 S(1，y)因为 T(3，0)，所以 OP(x，y)，ST(4，

25、y)因为 OPST0，所以 4xy20，即 y24x所以曲线C 的方程为 y24x3 分（2）因为直线PQ 过点(1，0)，故设直线PQ 的方程为 xmy1P(x1，y1)，Q(x2，y2)联立y24x，xmy1，消去 x，得 y24my40名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 14 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料所以 y1y24m，y1y2 45 分因为 M 为线段 PQ 的中点，所以M 的坐标为(x1x22，y1y22)，即 M(2m21，2m)又因为 S(1，y1)，N(1，0)，所以 SM(2m22，2my1)，NQ(x21，y2)(my22，y2

26、)7 分因为(2m22)y2(2my1)(my22)(2m22)y22m2y2my1y24m2y12(y1y2)my1y24m8m4m4m0所以向量 SM与NQ共线10 分23（本小题满分10 分）解：（1）由题意，当n2 时，数列 an 共有 6 项要使得 f(2)是 2 的整数倍，则这6项中，只能有0 项、2 项、4 项、6 项取 1，故 T2C06C26C46C6625323 分（2）TnC03nC33nC63n C3n3n4 分当 1kn，kN*时，C3k3n3C3k3n2C3k 13n2C3k 13n1C3k3n1C3k 13n1C3k23n12C3k13n1C3k3n1C3k 23

27、n12(C3k13nC3k 23n)C3k 13nC3k3nC3k33nC3k23n3(C3k13nC3k 23n)C3k3nC3k33n，6 分于是 Tn1C03n3C33n3C63n3 C3n33n3C03n3C3n 33n33(C13nC23nC43nC53n C3n 23nC3n13n)TnC03nTnC3n3n2 Tn3(23nTn)38nTn8 分下面用数学归纳法证明Tn138n2(1)n名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 14 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料当 n1 时，T1C03C33213812(1)1，即 n1 时，命题成立假设 nk(k1，kN*)时，命题成立，即Tk138k2(1)k则当 nk1 时，Tk138kTk38k138k2(1)k1398k8k2(1)k138k12(1)k1，即 nk1 时，命题也成立于是当 nN*，有 Tn138n2(1)n名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 14 页 -