2022年高考江苏数学试题及答案 .pdf

《2022年高考江苏数学试题及答案 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考江苏数学试题及答案 .pdf（7页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学 参考公式：圆柱的体积公式：Vsh圆柱，其中 s为圆柱的表面积，h为高圆柱的侧面积公式：=Scl圆柱，其中 c 是圆柱底面的周长，l为母线长一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计 70 分 请把答案填写在答题卡相应位置上（1）【2014 年江苏，1，5 分】已知集合 21 3 4A，1 2 3B，则ABI_【答案】1 3，【解析】由题意得 1,3ABI（2）【2014 年江苏，2，5 分】已知复数2(52i)z(i为虚数单位)，则 z的实部为 _【答案】21【解析】由题意22(52i)25252i(2i)2120iz，其实部为2

2、1（3）【2014 年江苏，3，5 分】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 _【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式220n的最小整数解220n整数解为5n，因此输出的5n（4）【2014 年江苏，4，5 分】从 1 2 3 6，这 4 个数中一次随机地取2 个数，则所取2 个数的乘积为6 的概率是 _【答案】13【解析】从1,2,3,6这 4 个数中任取2 个数共有246C种取法，其中乘积为6 的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163P（5）【2014 年江苏，5，5 分】已知函数cosyx与sin(2)(0)yx，它们的图象有一个横坐标为3的交点，则的值是 _【答案】6【

3、解析】由题意cossin(2)33，即21sin()32，2(1)36kk，()kZ，因为 0，所以6（6）【2014 年江苏，6，5 分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60 株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间80 130，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60 株树木中，有株树木的底部周长小于100 cm【答案】24【解析】由题意在抽测的60 株树木中，底部周长小于100cm的株数为(0.0150.025)106024 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 本试卷共 4 页，包含填空题（第1 题第 14 题）、解答题（第15 题第

4、20 题）本卷满分160 分，考试时间为120 分钟考试结束后，请将答题卡交回2 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚4 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗5 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 7 页 -（7）【2014 年江苏，7，5 分】在各项均为正数的等比数列na中，若

5、21a，8642aaa，则6a的值是 _【答案】4【解析】设公比为q，因为21a，则由8642aaa得6422qqa，4220qq，解得22q，所以4624aa q（8）【2014 年江苏，8，5 分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12SS，体积分别为12V V，若它们的侧面积相等，且1294SS，则12VV的值是 _【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11rh、，22rh、，则1 12222r hr h，1221hrhr，又21122294SrSr，所以1232rr，则222111111212222222221232Vr hrhrrrVr hrhrrr（9）【2014 年江苏

6、，9，5 分】在平面直角坐标系xOy 中，直线230 xy被圆22(2)(1)4xy截得的弦长为 _【答案】2 555【解析】圆22(2)(1)4xy的圆心为(2,1)C，半径为2r，点C到直线230 xy的距离为2222(1)33512d，所求弦长为2292 5522455lrd（10）【2014 年江苏，10，5 分】已知函数2()1f xxmx，若对任意1xm m，都有()0f x成立，则实数 m 的取值范围是 _【答案】202，【解析】据题意222()10(1)(1)(1)10f mmmf mmm m，解得202m（11）【2014 年江苏，11，5 分】在平面直角坐标系xOy 中，若

7、曲线2byaxx(a b，为常数)过点(25)P，且该曲线在点P 处的切线与直线7230 xy平行，则ab的值是 _【答案】3【解析】曲线2byaxx过点(2,5)P，则 452ba，又22byaxx，所以7442ba，由解得11ab，所以2ab（12）【2014 年江苏，12，5 分】如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85ABAD，32CPPDAP BPuu u ruu u ruuu ru uu r，则 AB ADuuu r uuu r的值是 _【答案】22【解析】由题意，14APADDPADABu uu ruuu ru uu ru uu ruuu r，3344BPBCCPBCCDADA

8、Buuu ru uu ruuu ruu u ru uu ruuu ruuu r，所以13()()44AP BPADABADABuu u r uuu ruu u ru uu ruuu ru uu r2213216ADADABABuuu ru uu r uuu ruu u r，即1322564216ADABu uu ruuu r，解得22ADABuuu ruu u r（13）【2014 年江苏，13，5 分】已知()f x 是定义在 R 上且周期为3 的函数，当03)x，时，21()22f xxx若函数()yf xa 在区间 3 4，上有 10 个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 _【答案

9、】102，【解析】作出函数21()2,0,3)2f xxxx的图象，可见1(0)2f，当1x时，1()2f x极大，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 7 页 -7(3)2f，方程()0f xa在 3,4x上有 10 个零点，即函数()yf x 和图象与直线ya在 3,4 上有 10 个交点，由于函数()f x 的周期为 3，因此直线ya与函数21()2,0,3)2f xxxx的应该是 4 个交点，则有1(0,)2a（14）【2014 年江苏，14，5 分】若ABC的内角满足 sin2sin2sinABC，则cosC的最小值是 _【答案】624【解析】由已知sin2s

10、in2sinABC及正弦定理可得22abc，2222222()2cos22abababcCabab2232222 62 262884abababababab，当且仅当2232ab，即23ab时等号成立，所以cosC的最小值为624二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（15）【2014 年江苏，15，14 分】已知2，5sin5（1）求 sin4的值；（2）求 cos26的值解：（1）5sin25，22 5cos1sin5，210sinsincoscossin(cossin)444210（2）2243sin 22sin

11、coscos2cossin55，33143 34cos2coscos2sinsin2666252510（16）【2014 年江苏，16，14 分】如图，在三棱锥PABC中，DEF，分别为棱 PCACAB，的中点已知6PAACPA，8BC，5DF（1）求证：直线PA平面 DEF；（2）平面 BDE平面 ABC解：（1）DE，为 PCAC，中点 DEPAPA平面 DEF，DE平面 DEFPA平面 DEF（2）DE，为 PCAC，中点，132DEPA EF，为 ACAB，中点，142EFBC，222DEEFDF，90DEF，DEEF，/DEPA PAAC，DEAC，ACEFEI，DE平面 ABC，D

12、E平面 BDE，平面BDE平面 ABC（17）【2014 年江苏，17，14 分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，12FF，分别是椭圆22221(0)yxabab的左、右焦点，顶点 B 的坐标为(0)b，连结2BF并延长交椭圆于点A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点C，连结1FC（1）若点 C 的坐标为4133，且22BF，求椭圆的方程；（2）若1FCAB，求椭圆离心率e 的值解：（1）4133C，22161999ab，22222BFbca，22(2)2a，21b，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 7 页 -椭圆方程为2212xy（2）设焦点12(0)(0

13、)()FcF cC x y，A C，关于 x 轴对称，()A xy，2B FA，三点共线，bybcx，即0bxcybc1FCAB，1ybxcc，即20 xcbyc联立方程组，解得2222222caxbcbcybc2222222a cbcCbcbc，C 在椭圆上，222222222221a cbcbcbcab，化简得225ca，55ca,故离心率为55（18）【2014 年江苏，18，16 分】如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆，且古桥两端O 和 A 到该圆上任意一

14、点的距离均不少于80m经测量，点A 位于点 O 正北方向60m 处，点 C 位于点 O正东方向 170m 处(OC 为河岸)，4tan3BCO（1）求新桥 BC 的长；（2）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解：解法一：（1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy由条件知A(0,60)，C(170,0)，直线 BC 的斜率43BCktanBCO又因为 ABBC，所以直线AB 的斜率34ABk设点 B 的坐标为(a,b)，则 kBC=041703ba，kAB=60304ba，解得 a=80，b=120所以 BC=22(17080)(0120)150 因此新

15、桥BC 的长是 150 m（2）设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM=d m,(0 d60)由条件知，直线BC 的方程为4(170)3yx，即 436800 xy，由于圆 M 与直线 BC 相切，故点M(0，d)到直线 BC 的距离是r，即|3680|680355ddr因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于80 m，所以80(60)80rdrd，即68038056803(60)805dddd，解得1035d故当 d=10 时,68035dr最大，即圆面积最大所以当 OM=10 m 时，圆形保护区的面积最大解法二：（1）如图，延长 OA,CB 交于点 F因为 tanBCO=43

16、所以 sinFCO=45，cosFCO=35因为 OA=60,OC=170，所以 OF=OC tanFCO=6803CF=850cos3OCFCO，从而5003AFOFOA因为OAOC，所以cosAFB=sin FCO=45，又因为ABBC，所以 BF=AFcosAFB=4003，从而 BC=CFBF=150因此新桥BC 的长是 150 m名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 7 页 -（2）设保护区的边界圆M 与 BC 的切点为 D，连接 MD，则 MDBC，且 MD 是圆 M 的半径，并设 MD=r m，OM=d m(0 d60)因为 OAOC，所以 sinCFO

17、=cosFCO，故由（1）知，sinCFO=368053MDMDrMFOFOMd所以68035dr因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于80 m，所以80(60)80rdrd，即68038056803(60)805dddd，解得1035d，故当 d=10 时，68035dr最大，即圆面积最大所以当OM=10 m 时，圆形保护区的面积最大（19）【2014 年江苏，19，16 分】已知函数()eexxf x其中 e 是自然对数的底数（1）证明：()f x 是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式()e1xmf xm在(0)，上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在

18、01)x，使得3000()(3)f xaxx成立试比较1ea与e 1a的大小，并证明你的结论解：（1）xR，()ee()xxfxf x，()f x 是R上的偶函数（2）由题意，(ee)e1xxxmm，即(ee1)e1xxxm，(0)x，ee10 xx，即e1ee1xxxm对(0)x，恒成立令e(1)xtt，则211tmtt对任意(1)t，恒成立2211111(1)(1)113111tttttttt，当且仅当2t时等号成立，13m（3）()eexxfx，当1x时()0fx()f x 在(1)，上单调增，令3()(3)h xaxx，()3(1)h xax x，01ax，()0h x，即()h x

19、在(1)x，上单调减，存在01)x，使得3000()(3)f xaxx，1(1)e2efa，即11e2eae-1e 111lnlnln e(e1)ln1eaaaaaa，设()(e1)ln1m aaa，则e1e1()1am aaa，11e2ea当11ee12ea时，()0m a，()m a 单调增；当e1a时，()0m a，()m a 单调减，因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0mm，当ea时，()0m a，e 11eaa；当11ee2ea时，()0m a，e 11eaa；当ea时，()0m a，e 11eaa（20）【2014 年江苏，20，16 分】设数列na的前 n 项和为nS

20、 若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得nmSa，则称na是“H 数列”（1）若数列na的前 n 项和2()nnSnN，证明：na是“H 数列”；（2）设na是等差数列，其首项11a，公差0d若na是“H 数列”，求 d 的值；（3）证明：对任意的等差数列na，总存在两个“H 数列”nb和nc，使得()nnnabc nN成立解：（1）当2n时，111222nnnnnnaSS，当1n时，112aS，1n时，11Sa，当2n时，1nnSa，na是“H 数列”（2）1(1)(1)22nn nn nSnadnd，对nN，mN使nmSa，即(1)1(1)2n nndmd，取2n得 1(1)dmd，12

21、md，0d，2m，又mN，1m，1d（3）设na的公差为d，令111(1)(2)nbanan a，对nN，11nnbba，1(1)()ncnad，对nN，11nnccad，则1(1)nnnbcanda，且 nnbc，为等差数列nb的前 n 项和11(1)()2nn nTnaa，令1(2)nTm a，则(3)22n nm名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 7 页 -当1n时1m；当2n时1m；当3n时，由于 n 与3n奇偶性不同，即(3)n n非负偶数，mN因此对n，都可找到mN，使nmTb成立，即nb为“H 数列”nc的前项和1(1)()2nn nRad，令1(1)(

22、)nmcmadR，则(1)12n nm对nN，(1)n n是非负偶数，mN，即对nN，都可找到mN，使得nmRc成立，即 nc为“H 数列”，因此命题得证数学【选做】本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤（21-A）【2014 年江苏，21-A，10 分】（选修 4-1：几何证明选讲）如图，AB 是圆 O 的直径，C、D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点证明：OCB=D解：因为B，C 是圆 O 上的两点，所以OB=OC故 OCB=B又因为C,D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点，故 B，

23、D 为同弧所对的两个圆周角，所以B=D因此 OCB=D（21-B）【2014 年江苏，21-B，10 分】（选修 4-2：矩阵与变换）已知矩阵121xA，1121B，向量2y，xy，为实数，若A=B，求xy，的值解：222yxyA，24yyB，由A=B得22224yyxyy，解得142xy，（21-C）【2014 年江苏，21-C，10 分】（选修 4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为212222xtyt，(t 为参数)，直线 l 与抛物线24yx交于 A B，两点，求线段AB 的长解：直线 l：3xy代入抛物线方程24yx并整理得21090 xx，交点

24、(1 2)A，(96)B，故|8 2AB（21-D）【2014 年江苏，21-D，10 分】（选修 4-5：不等式选讲）已知0 x，0y，证明：22119xyxyxy 解：因为x0,y0,所以 1+x+y22330 xy，1+x2+y2330 x y，所以(1+x+y2)(1+x2+y)223333xyx y=9xy【必做】第22、23 题，每小题10 分，计 20 分请把答案写在答题卡的指定区域内（22）【2014 年江苏，22，10 分】盒中共有9 个球，其中有4 个红球，3个黄球和2 个绿球，这些球除颜色外完全相同（1）从盒中一次随机取出2 个球，求取出的2 个球颜色相同的概率P；（2）

25、从盒中一次随机取出4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123xxx，随机变量X 表示123xxx，中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X解：（1）一次取 2 个球共有29C36种可能情况，2 个球颜色相同共有222432CCC10种可能情况，取出的2个球颜色相同的概率1053618P注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用本试，21 题有 A、B、C、D 4 个小题供选做，每位考生在 4 个选做题中选答2 题若考生选做了3 题或 4 题，则按选做题中的前2 题计分第22、23 题为必答题每小题10 分，共 40 分考

26、试时间30 分钟考试结束后，请将答题卡交回2 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚4 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 7 页 -（2）X 的所有可能取值为4 3 2，则4449C1(4)C126P X；3131453639C CC C13(3)C63P X；11(2)1(3)(4)14P XP XP X X 的概率分

27、布列为：X 2 3 4 P 111413631126故 X 的数学期望1113120()23414631269E X（23）【2014 年江苏，23，10 分】已知函数0sin()(0)xfxxx，设()nfx为1()nfx的导数，nN（1）求122222ff的值；（2）证明：对任意的nN，等式124442nnnff成立解：（1）由已知，得102sincossin()()xxxfxfxxxx，于是21223cossinsin2cos2sin()()xxxxxfxfxxxxxx，所以12234216(),()22ff，故122()()1222ff（2）由已知，得0()sin,xf xx等式两边分

28、别对x 求导，得00()()cosfxxf xx，即01()()cossin()2fxxfxxx，类似可得122()()sinsin()f xxf xxx，2333()()cossin()2fxxfxxx，344()()sinsin(2)fxxf xxx下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2nnnnfxxfxx对所有的n*N都成立（i）当 n=1 时，由上可知等式成立（ii）假设当n=k 时等式成立,即1()()sin()2kkkkfxxfxx因为111()()()()()(1)()(),kkkkkkkkfxxf xkfxfxxfxkfxfx(1)sin()cos()()sin2222kkkkxxxx，所以1(1)()()kkkfxfx(1)sin2kx所以当 n=k+1 时,等式也成立综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2nnnnfxxfxx对所有的n*N都成立令4x，可得1()()sin()44442nnnnff(n*N)所以12()()4442nnnff(n*N)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 7 页 -