2022年高等代数-第一学期期末试卷答案 .pdf

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1、2009 级数学与应用数学专业高等代数I(A 卷)第 1 页 共 6 页1在 F x里一定能整除任意多项式的多项式是【B】A零多项式B零次多项式C本原多项式D不可约多项式2设()1g xx是6242()44f xxk xkxx的一个因式，则k【C】A4 B3 C2 D1 3A,B是n阶方阵，则下列结论成立的是【C】A.ABOAO且BOB.0AAOC0ABAO或BOD.1|AIA4设n阶矩阵A满足220AAI，则下列矩阵哪个不可逆【B】A.2AIB.AICAID.A5设A为 3 阶方阵，且1)(Ar，则【A】A.0)(*ArB.1)(*ArC2)(*ArD.3)(*Ar6设*A为n阶方阵A的伴随

2、矩阵，则AA*=【D】A.2|nAB.|nAC2|nnAD.21|nnA7下列对于多项式的结论正确的是【D】A.如果)()(,)()(xfxgxgxf，那么)()(xgxfB.如果多项式在有理数域上可约,则它一定存在有理根C.每一个多项式都有唯一确定的次数D.奇数次实系数多项式必有实根8 方程组为bAX，且rArAr，则和原方程组同解的方程组为【A】A.PbPAX（P为可逆矩阵）B.bQAX（Q为初等矩阵）CbXATD.原方程组前r个方程组成的方程组1把5)(4xxf表成1x的多项式是4)1(4)1(4)1(4)1(234xxxx；2设42()f xxxaxb，2()2g xxx，若(),()

3、()f xg xg x，则a 6 ，b 8 ；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 6 页 -2009 级数学与应用数学专业高等代数I(A 卷)第 2 页 共 6 页3当 k=5 ，l=4 时，5 阶行列式D的项53431212aaaaalk取“负”号；4.设4122011121113101A，则44342414AAAA -20 ；5设 n 2,naaa,.,21为互不相等的常数，则线性方程组1.1.1.132211232222111321211nnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax的解是(1,0,0)；601000020.0001000nnLLL

4、L=!)1(1nn.三计算题（本大题共 4 个小题，共 34 分.请写出必要的推演步骤和文字说明）.1111111111111111xxDyy.得分评卷人1（本小题6 分）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 6 页 -2009 级数学与应用数学专业高等代数I(A 卷)第 3 页 共 6 页:分分分解第一列第二列第三列第四列第二行第一行第四行第三行60140001100001012001111001111:222)1()1()1()1(yxyyxyyxxyyyxxx2（本小题 8 分）k为何值时，齐次线性若方程组0300321321321xxxxkxxxxkx有非零解，

5、并求出它的一般解.解:组有非零解01131111kk，得1k-2 分对系数矩阵施行行初变换如下:00021102101113111111-6 分故一般解为323121,21xxxx(3x为自由未知量)-8 分3（本小题 8 分）设A=321011330，BAAB2，求B.得分评卷人得分评卷人名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 6 页 -2009 级数学与应用数学专业高等代数I(A 卷)第 4 页 共 6 页解:易知AIAB1)2(-2 分而212121232121232321121011332)2(11IA-6 分故01132133032101133021212123

6、2121232321B-8 分4（本小题 12 分）取何值时，线性方程组123123123(1)0(1)3(1)xxxxxxxxx有唯一解？无解？有无穷多解？并在有解时写出解.解:对增广阵施行行初变换如下:)3)(1()3(0030111)1()2(0301110111311111130111111111A-4 分易知1)当0)3(,即30且时,3)()(ArAr,组有唯一解1,2,1321xxx-8 分得分评卷人名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 6 页 -2009 级数学与应用数学专业高等代数I(A 卷)第 5 页 共 6 页2)当3时,2)()(ArAr未知量个

7、数,组有无穷多解,2,13231xxxx(3x为自由未知量)-10 分3)当0时,2)()(1ArAr,组无解-12 分四证明题：（本大题共2 个小题，共 18 分.证明须写出必要的推演步骤和文字说明）.1（本小题 10 分）证明：一个秩为r 的矩阵总可以表为r 个秩为 1 的矩阵的和.证:设 A 为 m n 矩阵且秩 A=r，则存在 m 阶可逆矩阵p 及 n 阶可逆矩阵Q，使AIPAQr000-2 分又rrEEEA2211-4 分rrrBBBQEpQEPQEPA211112211111-8 分由于秩 Bk=秩（P-1ErrQ-1）=秩 Ekk=1 所以 A 可表成 r 个秩为 1 的矩阵之和

8、.-10 分2（本小题 8 分）设)(xf是一个整系数多项式，证明：若)0(f与)1(f都是奇数，则)(xf不能有整数根.证明:用反证法假设)(xf有整数根,则)()()(xgxxf,其中)(xg为整系数多项式,-3 分于是)1()1()1(),0()0(gfgf-5 分即)1(|)1(),0(|ff但)0(f与)1(f都是奇数,而1,不同为奇数,因而矛盾.-7 分得分评卷人得分评卷人名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -2009 级数学与应用数学专业高等代数I(A 卷)第 6 页 共 6 页故)(xf不能有整数根-8 分名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -