2022年高中数学数列讲义二轮复习精华 .pdf

《2022年高中数学数列讲义二轮复习精华 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学数列讲义二轮复习精华 .pdf（13页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学习好资料欢迎下载数列概念知识清单1数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作na，在数列第一个位置的项叫第1 项（或首项），在第二个位置的叫第2 项，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作na；数列的一般形式：1a，2a，3a，na，简记作na。（2）通项公式的定义：如果数列na的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如，数列的通项公式是na=n（n7，nN），数列的通项公式是na=1n（nN）。说明：na表示数列，na表示数列中的第n项，na=fn 表示数列的通项公式；同一个数列的通项公式的形

2、式不一定唯一。例如，na=(1)n=1,21()1,2nkkZnk；不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数()f n当自变量n从1 开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),fff，()f n，通常用na来代替f n，其图象是一群孤立点。（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系

3、分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。（5）递推公式定义：如果已知数列na的第 1 项（或前几项），且任一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。（6）数列na的前n项和nS与通项na的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn课前预习1根据数列前 4 项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，7；（2）2212，2313，2414，2515；（3）11*2，12*3，13*4，14*5。2数列na中，已知21()3nnnanN，（1）写出10a，1na，2na；0C5C4C3C2B5B4B3B2A6A5A4A3A2C

4、1B1A1xy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 13 页 -学习好资料欢迎下载（2）2793是否是数列中的项？若是，是第几项？3（1）已知数列na适合：11a，1na22nnaa，写出前五项并写出其通项公式；（2）用上面的数列na，通过等式1nnnbaa构造新数列nb，写出nb，并写出nb的前5 项。4 设平面内有n条直线)3(n，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点 若用)(nf表示这n条直线交点的个数，则)4(f=_；当4n时，)(nf（用n表示）。5在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的

5、数填入表中空白（_）内。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 13 页 -学习好资料欢迎下载等差数列知识清单1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)nnaad n或1(1)nnaad n。2、等差数列的通项公式：1(1)naand；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d0为递增数列，0d为常数列，0d为递减数列。3、等差中项的概念：定义：如果a，A，b 成等差数列，那么A叫做a与 b 的等差中项。其中2abA

6、a，A，b成等差数列2abA。4、等差数列的前n和的求和公式：11()(1)22nnn aan nSnad。5、等差数列的性质：（1）在等差数列na中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列na中，相隔等距离的项组成的数列是AP，如：1a，3a，5a，7a，；3a，8a，13a，18a，；（3）在等差数列na中，对任意m，nN，()nmaanm d，nmaadnm()mn；（4）在等差数列na中，若m，n，p，qN且 mnpq，则mnpqaaaa；说明：设数列na是等差数列，且公差为d，（）若项数为偶数，设共有2n 项，则 S奇S偶nd；1nnSaSa奇偶；（）若项数为

7、奇数，设共有21n项，则 S偶S奇naa中；1SnSn奇偶。6、数列最值（1）10a，0d时，nS有最大值；10a，0d时，nS有最小值；（2）nS最值的求法：若已知nS，可用二次函数最值的求法（nN）；若已知na，则nS最值时n的值（nN）可如下确定100nnaa或100nnaa。课前预习1设 Sn是数列 an的前 n项和，且 Sn=n2，则an是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列2 设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380a a a，则1 11 21 3aaa（）A120B105C90D

8、 753若一个等差数列前3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A.13 项B.12 项C.11项D.10 项4设数列 an 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为 48，则它的首项是（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 13 页 -学习好资料欢迎下载A.1 B.2 C.4 D.6 5设 Sn是等差数列 an的前 n项和，若36SS13，则612SSA310 B13C18D196设an为等差数列，Sn为数列 an的前 n 项和，已知 S77，S1575，Tn为数列nSn的前 n 项和，求 Tn。7已知数列 bn是

9、等差数列，b1=1，b1+b2+b10=100.（）求数列 bn的通项 bn；（）设数列an的通项 an=lg（1+nb1），记 Sn是数列an的前 n 项和，试比较 Sn与21lgbn+1的大小，并证明你的结论。8设 an（nN*）是等差数列，Sn是其前 n 项的和，且 S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（）A.d0 B.a70 C.S9S5 D.S6与 S7均为 Sn的最大值9等差数列 an 的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为（）A.130 B.170 C.210 D.260 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 13

10、页 -学习好资料欢迎下载等比数列知识清单1等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q表示(0)q，即：1na：(0)naq q数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是 2，5，21。（注意：“从第二项起”、“常数”q、等比数列的公比和项都不为零）2等比数列通项公式为：)0(111qaqaann。说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若na为等比数列，则m nmnaqa。3等比中项如果在b

11、a与中间插入一个数 G，使bGa,成等比数列，那么 G 叫做ba与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。4等比数列前 n 项和公式一般地，设等比数列123,na a aa的前n 项和是nS123naaaa，当1q时，qqaSnn1)1(1或11nnaa qSq；当 q=1 时，1naSn（错位相减法）。说明：（1）nSnqa,1和nnSqaa,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq，通项公式中是1nq不要混淆；（3）应用求和公式时1q，必要时应讨论1q的情况。5等比数列的性质等比数列任意两项间的关系：如果na是等比数列的第n项，ma是等差数列的第m项，且nm，公比

12、为 q，则有mnmnqaa；对 于 等 比 数 列na，若vumn，则vumnaaaa，也 就 是：23121nnnaaaaaa，如图所示：nnaanaannaaaaaa112,12321。若数列na是等比数列，nS是其前 n 项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等比数列。如下图所示：kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S321课前预习1在等比数列na中,3712,2aq,则19_.a223和23的等比中项为().()1A()1B()1C()2D3 在等比数列na中，22a，545a，求8a，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页

13、，共 13 页 -学习好资料欢迎下载4在等比数列na中,1a和10a是方程22510 xx的两个根,则47aa()5()2A2()2B1()2C1()2D5.在等比数列na，已知51a，100109aa，求18a.6在等比数列na中,12a,前n项和为nS,若数列1na也是等比数列，则nS等于（）A122nB 3nC 2nD31n7设4710310()22222()nf nnN，则()f n等于（）A2(81)7nB12(81)7nC32(81)7nD42(81)7n8设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S3S62S9，求数列的公比 q；9在各项都为正数的等比数列 an中，首项 a13

14、，前三项和为 21，则 a3a4a5（）（A）33（B）72（C）84（D）189 10在等差数列 an中，若a100，则有等式a1+a2+an=a1+a2+a19n（n19，nN)成立.类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若 b91，则有等式成立。数列的通项公式及求和知识清单名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 13 页 -学习好资料欢迎下载1数列求通项与和（1）数列前 n 项和 Sn与通项 an的关系式：an=11sssnn12nn。（2）求通项常用方法作新数列法。作等差数列与等比数列；累差叠加法。最基本的形式是：an=(anan1)+(an1+an2)+(a2

15、a1)+a1；归纳、猜想法。（3）数列前 n 项和重要公式：1+2+n=21n(n+1)；12+22+n2=61n(n+1)(2n+1)；13+23+n3=(1+2+n)2=41n2(n+1)2；等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：)11(1)(1CAnBAnBCCAnBAnan、)1(1nn=n111n、nn！=(n+1)!n!、Cn1r1=CnrCn1r、)

16、!1(nn=!1n)!1(1n等。错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错项相消法。nnncba,其中nb是等差数列，nc是等比数列，记nnnnncbcbcbcbS112211，则1211nnnnnqSb cbcb c，并项求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。通项分解法：nnncba2递归数列数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k1,an+k2,an)称为数列的递归关系。由递归关系及 k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由 an+1=2an+1，及 a1=1，确定的数

17、列 12n即为递归数列。递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。（2）迭代法。（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。（4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 13 页 -学习好资料欢迎下载课前预习1已知数列na为等差数列，且公差不为0，首项也不为 0，求和：niiiaa111。2求)(,32114321132112111*Nnn。3设 a为常数，求数列 a，2a2，3a3，nan，的前 n 项和。4已知1,0 aa，数列na是首项为 a，公比也为 a的等比数列，令)(l

18、gNnaabnnn，求数列nb的前n项和nS。5求 SCCnCnnnnn36312。6设数列na是公差为 d，且首项为da0的等差数列，求和：nnnnnnCaCaCaS110017求数列 1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，前 n 项和。典型例题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 13 页 -学习好资料欢迎下载一、有关通项问题1、利用11(1)(2)nnnSnaSSn求通项 EG：数列na的前n项和21nSn（1）试写出数列的前5 项；（2）数列na是等差数列吗？（3）你能写出数列na的通项公式吗？变式题 1、设数列na的前 n 项和为 Sn=2n2，求

19、数列na的通项公式；变式题 2、数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，113nnaS，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列an的通项公式变式题 3、已知数列na的首项15,a前n项和为nS，且*15()nnSSnnN，证明数列1na是等比数列2、解方程求通项：EG：在等差数列na中，（1）已知812148,168,SSad求和；（2）已知658810,5,aSaS求和；(3)已知3151740,aaS求.变式题 1、na是首项11a，公差3d的等差数列，如果2005na，则序号n等于（A）667（B）668（C）669（D）670 3、待定系数求通项：EG：写出下列数列na的

20、前 5 项：（1）111,41(1).2nnaaan变式题 1、已知数列na满足*111,21().nnaaanN求数列na的通项公式；4、由前几项猜想通项：EG：根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.变式题 1、如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，如此类推.设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为na，则6a；345991111aaaa .（1）（4）（7）（）（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 13 页 -学习好资料欢迎下载变式题2、观察下列各图，并阅读下面的

21、文字，像这样，10 条直线相交，交点的个数最多是（），其通项公式为.A40 个B45 个C50 个D 55 个二、有关等差、等比数列性质问题EG：一个等比数列前n项的和为48，前 2n项的和为 60，则前 3n项的和为（）A83 B108 C75 D63 变式 1、一个等差数列前n项的和为48，前 2n项的和为60，则前 3n项的和为。变式 2、等比数列na的各项为正数，且5647313231018,loglogloga aa aaaa则（）A 12 B10 C8 D2+3log 5EG：设数列na是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A1 B.2 C.4

22、D.8 变式题 1、在各项都为正数的等比数列na中，首项13a，前三项和为21，则345aaaA 33 B 72 C 84 D 189 三、数列求和问题EG：已知na是等差数列，其中131a，公差8d。（1）求数列na的通项公式，并作出它的图像；（2）数列na从哪一项开始小于0？（3）求数列na前n项和的最大值，并求出对应n的值变式题 1、已知na是各项不为零的等差数列，其中10a，公差0d，若100S,求数列na前n项和的最大值变式题 2、在等差数列na中，125a，179SS，求nS的最大值2 条 直 线 相交，最多有1个交点3 条 直 线 相交，最多有3个交点4 条 直 线 相交，最多有

23、6个交点名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 13 页 -学习好资料欢迎下载EG：求和：21123nnSxxnx变式题 1、已知数列42nan和124nnb，设nnnbac，求数列nc的前n项和nT变式题 2、设na是等差数列，nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab（）求na，nb的通项公式；（）求数列nnab的前 n 项和nS变式题2设等比数列na的公比为q，前n 项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q 的值为.3、利用等比数列的前n项和公式证明EG：111221=(,0,0)nnnnnnnabaabababbnNab

24、ab变式题、已知)0,0,(1221baNnbabbabaaunnnnnn.当ba时，求数列nu的前 n 项和nSEG：（1）已知数列na的通项公式为1(1)nan n，求前n项的和；（2）已知数列na的通项公式为11nann，求前n项的和变式题 1、已知数列na的通项公式为na12n，设13242111nnnTaaaaaa，求nT变式题 2、数列 an中，a18，a42，且满足：an+22an+1an0（nN*），（）求数列an的通项公式；（）设nnnnbbbSNnanb21*)()12(1，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有32mSn总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由实战训练

25、 A 1在等比数列 an中，a28，a164，则公比 q 为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 13 页 -学习好资料欢迎下载（A）2 （B）3 （C）4 （D）8 2若等差数列 na 的前三项和93S且11a，则2a等于（）A3 B.4 C.5 D.6 3 设 na 为 公 比 q1 的 等 比 数 列，若2004a和2005a是 方 程03842xx的 两根，则20072006aa_.4 设等差数列na的公差 d 不为 0，19ad 若ka是1a与2ka的等比中项，则 k（）24 6 8 5等差数列 an 中，a1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=1

26、00,则 n=(A)9(B)10(C)11(D)12 6.等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若2462,10,SSS则等于（A）12（B）18（C）24（D）42 7已知数列的通项52nan，则其前n项和nS8已知na是等差数列，1010a，其前 10 项和1070S，则其公差 d（）231313239已知 abcd，成等比数列，且曲线223yxx的顶点是()bc，则 ad 等于（）3 2 1 210已知na是等差数列，466aa，其前 5 项和510S，则其公差 d11设等差数列na的前n项和为nS，若39S，636S，则789aaa（）A63 B45 C36 D27 12已知数列na对

27、于任意*pqN，有pqp qaaa，若119a，则36a实战训练 B 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 13 页 -学习好资料欢迎下载1已知等差数列na的前n项和为nS，若1221S，则25811aaaa2在等比数列na（nN*）中，若11a，418a，则该数列的前10项和为（）A4122B2122C10122D111223已知两个等差数列na和nb的前n项和分别为 An和nB，且7453nnAnBn，则使得nnab为整数的正整数n的个数是（）A2 B3 C4 D5 4已知数列 na的前n项和29nSnn，第 k 项满足58ka，则 kA 9 B8 C.7 D 6

28、5 已知数列 na 的前n项和29nSnn，则其通项na；若它的第 k项满足58ka，则 k6数列na的前n项和为nS，若1(1)nan n，则5S等于（）A1 B56C16D1307等比数列na中，44a，则26aa等于（）4 816 328若数列na的前n项和210(1 2 3)nSnn n，则此数列的通项公式为；数列nna中数值最小的项是第项9若数列na的前n项和210(1 2 3)nSnn n，则此数列的通项公式为10等差数列na的前n项和为xS若则432,3,1Saa（A）12（B）10（C）8 （D）6 11设等差数列na的前n项和为nS，若39S，636S，则789aaa（）A63 B45 C36 D27 12数列na中，12a，1nnaacn（c是常数，12 3n，），且123aaa，成公比不为 1的等比数列（I）求c的值；（II）求na的通项公式名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 13 页 -