第二章 若干数学问题中的 数学文化.ppt

《第二章 若干数学问题中的 数学文化.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章 若干数学问题中的 数学文化.ppt（56页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1,数学的魅力 第五讲 历史上的三次数学危机（1） 湘南学院数学系 李小平 Eail:,陈省身：了解历史的变化，是了解这门科学的一个步骤。,2,3,历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的曲折也可以叫做危机。危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的动力。 数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。,4,（一）第一次数学危机,5,一、毕达哥拉斯学派和他们的“万物皆数”,1. 古代希腊的数学 古代希腊的地理范围包括希腊半岛、爱琴海诸岛和亚细亚西部沿海地带。 从公

2、元前6世纪起，逐步形成以雅典为中心的古希腊，出现了欧洲文化的第一个高峰，古希腊数学是其中的重要组成部分。 古代希腊的第一个著名的数学家是泰勒斯（Thales of Miletus,约前625年前547年）,6,一、毕达哥拉斯学派和他们的“万物皆数”,2. 毕达哥拉斯 Pythagoras (约前570年前500年） 毕达哥拉斯是公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。,7,毕达哥拉斯(公元前570年公元前500年),8,毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织， 但也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士 多德的思想产生很大影响。,9,相传“哲学”（希腊原词

3、意为 “智力爱好” ）和 “数学”（希腊原 词 意为“可学到的知识”） 这两个词是毕达哥拉斯本人所创。,10,3. 毕达哥拉斯学派在数学上的贡献,1）数学证明的起始 泰勒斯毕达哥拉斯欧几里得 证明是要有假设的: 公设、公理及定义。 许多人推测，欧几里得几何原本前两 卷的大部分材料，来源于毕达哥拉斯学派。,欧几里得- 古希腊著名数学家、欧氏几何学的开创者,亚历山大里亚的欧几里得（希腊文： ，约公元前330年前275年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年前283年）时期的亚历山大里亚，他最著名的著作几何原本是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，被广泛

4、的认为是历史上最成功的教科书。,13,2）数学抽象的提出 从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，本身就把数学推向了科学。 3）毕达哥拉斯定理 即“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”。在中国叫商高定理或勾股定理。,14,周髀算经中的 “勾股定理”（约公元前700年）,周髀算经卷上记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三 股修四 经隅五”，这是勾股定理的特例。 卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”,15,16,中国数学史上最先完成勾股定

5、理证明：公元3世纪三国时期的赵爽。赵爽注周髀算经，作“勾股圆方图”，其中的弦图，相当于运用面积的“出入相补”方法（刘徽），证明了勾股定理。如图,17,三国时期赵爽对勾股定理的证明（约公元240年）,宋刻本周髀算经， （上海图书馆藏）,18,19,刘徽 关于勾股定理的证明 刘徽的证明见于他的九章算术注 “勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也。合成 弦方之幂”。 刘徽原图已失传。,20,刘徽与“出入相补”原理,海岛算经插图,21,古希腊的 “毕达哥拉斯定理”（约公元前500年）,宰牛传说 定理并无证明,（尼加拉瓜，1971年）,22,勾股定理的教育意义,由于勾股定理的重

6、要性，人们有兴趣不断探 索它的新证明。现在，已有关于勾股定理的 380多种证明。 勾股定理还是对学生进行辩证思想方法教育的良 好素材。这是因为证明勾股定理的剖分法、拼补 法、拼拆法等，都渗透着进与退、分与合、动与 静、变与不变、数与形、正向与逆向、一与多等的 辩证思想方法。,23,第24届“国际数学家大会”（ICM）International Congress of Mathematicians,24,25,第24届“国际数学家大会”会标的含义？,26,第24届“国际数学家大会”会标,宋刻本周髀算经， （上海图书馆藏）,27,为2002北京“国际数学家大会”发行的纪念邮资明信片 JP108,2

7、8,作为“世界语言”和“宇宙语言”的勾股定理,（希腊，1955年） 为与外星人联系，宇宙飞船上带去 地球人类具 代表性的物件,29,4. 毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说,1）“万物皆数”学说 数是世界的法则，一切都可以归结为整数比 毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整数，同时还包含它们的比，即正分数 。 任意两条线段 a、d 都是“可公度的” “可公度的”，意即有公共的度量单位 t 。,30,多个场合下的小整数比 ）产生谐音的各个弦的长度成小整数比 绷得一样紧的两根弦，若其长度成小整数 比，就会发出谐音。例如，12时短弦的音高 8度，23时短弦音高5度，34时短弦音高4 度；当三根弦的长

8、度之比为346时，就得 到谐音。,2） 实例,31,）同名正多边形复盖平面的情形（即铺 正多边形地砖的情形） 只有三种情况：环绕平面上一个点可以紧密地 放6个正三角形，或者4个正方形，或者3个正六边形，如图：,32,铺地 实拍（南昌 八大山人纪念馆）,3）“万物皆数”学说的意义和影响,毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和谐在于数”，神是以数的规律创造世界的。 “万物皆数”学说产生了很大的影响。,34,二、 与第一次数学危机,但是，对“万物皆数”理论产生冲击的，却正是毕达哥拉斯学派自己的一个发现，用现在的符号，这就是 。,35,1. 的发现和危机的产生 1）一个不能表成整数比的数 根据毕达哥拉斯定理，

9、边长为1的正方形，其对 角线长度若记为 ，则 ，推出 。 如图:,C 1,1,36,下边我们证明，当 时， 不能表成整数比。 如果不然，有两个正整数 和 使 （不妨设 是既约分数即 ）。两端平方得 ，即 。 由此知 是偶数。由于偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数， 是偶数。,37,因 “既约”， 不能再是偶数，于是 是奇数。这样 的左端，因 是奇数而不能被4整除，右端却因 是偶数而可以被 4整除。这个矛盾说明开始的假设 是错 误的。从而 不能表成两个整数的比。证毕。 注：这是“反证法”的开始。,38,2）不可公度的线段 设正方形的边长为 ，对角线长为 ， 如图：,d a,a,39,根据毕达哥拉

10、斯定理， 。 如果存在第三个线段长为 ，使得 和 都是 的整数倍，例如 , ,这里 ， 是整数.,40,由 得 ， 又可以类似于上一个证明导出矛盾。所以，不可能存在长度为 的线段，使得 且 。 于是， 与 就是不可公度线段。 （严重：“可公度”涉及“成比例”，进一步还涉及“相似形”）,41,3）危机产生，封锁消息 希帕索斯泄露秘密，被抛进大海。,希帕索斯(Hippasus),42,4）无理数 像 这样的数 ，和其它一些不能表成整数比的数，称为无理数。,43,称两个整数之比为有理数，而把 那样的一类数叫做无理数，即没有道理的数，原来是翻译出了问题。 rational number 是有理数的英文

11、名称，而rational是一个多义词，含有“比的”，“有理的”意思。而词根ratio来自希腊文，完全是“比”的意思。对“rational number”正确的翻译应该是“比数”。“比数”的名称才正确反应了这类数是两个整数之比的内涵。人类在认识有理数之前，唯一知道的是自然数。那时所谓的“数”，都是自然数。把由自然数产生的数 叫做比数，其实才符合古人的原意。,44,在东方，最早把rational number 翻译过来的是日本人。可能是那个日本人英文不好，数学又不太懂，把它翻译成“有理数”。而日本文字又和汉字形似，于是中国人把这三个字照搬过来，沿用至今，形成习惯。 如果正确地把两个整数之比叫做“比

12、数”，那么像 一类的数称为“非比数”，还是颇有道理的。,45,2. “两个量的比相等”的新定义 部分地消除了危机,46,两个量的比相等，即 。 约公元前370年，希腊数学家欧多克索斯和阿契塔的定义：“称四个量的第一个和第二个之比与第三个和第四个之比相等，如果取第一个和第三个量的任何相同的倍数，第二个和第四个量的任何其他的相同倍数后，从第三个量的倍数大于、等于或小于第四个量的倍数，便有第一个量的倍数对第二个量的倍数的相应关系”。,47,“两个量的比相等”的这一定义，是正确的、严格的，部分地解决了危机，使几何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。 欧几里得的几何原本中也采用了这一定义，以致在以后

13、的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数学的基础。 但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖于数系的扩充和实数理论的建立。,48,3. 无理数与数系的扩张危机的解决 1）有理数的稠密性 定义：“一个数集在数轴上是稠密的”是指，在数轴上，每一个不管处于什么位置，也不论是多么小的区间（ , ）中都存在着这个数集中的点。 定理：有理数集在数轴上是稠密的。,49,2）数轴 古代观点：数轴有理数 现代观点：数轴实数,50,3）数系的扩张危机的解决 自然数系 有理数系 实数系,51,实数系具有连续性。有理数系具有稠密 性,却不具有连续性。 数系的连续性和稠密性是两个不同的概念。 数系的稠密性，通俗说成“到处

14、都有”、 “密密麻麻”；数系的连续性，通俗说成 “一个挨一个”、“针插不进，水泼不进”。 连续性是一个很好的性质。但是对“数系 的连续性”的概念，给出严格的数学定义，就 不那么容易了。,数系扩张为实数系以后，第一次数学危机就彻底解决了。 因为数的范围扩充以后，“万物皆数”的命题就是正确的了；不能表成整数比的数，即无理数，也是实数系中的数了。,52,53,趣题找次品：,1）有5个外形相同的乒乓球，其中只有 1个重量不标准的次品乒乓球。 现再给你一个标准球；请用一架不带砝码的天平，最多两次使用该天平，找出上述次品乒乓球。,54,趣题找次品：,2）有4个外形相同的乒乓球，其中只有 1个重量不标准的次品乒乓球。 现再给你一个标准球；请用一架不带砝码的天平，最多两次使用该天平，找出上述次品乒乓球,并判断它是重于标准球还是轻于标准球。,55,趣题找次品：,3）有12个外形相同的乒乓球，其中只有 1个重量不标准的次品乒乓球。请用一架不带砝码的天平，最多三次使用该天平，找出上述次品乒乓球，并判断它是重于标准球，还是轻于标准球。,56,谢谢！,