2022年高中数学必修函数单调性和最值专题 .pdf

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1、第 1 页 共 8 页函数专题：单调性与最值一、增函数1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：1 随 x 的增大，y 的值有什么变化？2能否看出函数的最大、最小值？3函数图象是否具有某种对称性？2、从上面的观察分析，能得出什么结论？不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数的单调性。3.增函数的概念一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D上是增函数。注意：函数的单调

2、性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当 x1x2时，总有 f(x1)f(x2)二、函数的单调性如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做 y=f(x)的单调区间。【判断函数单调性的常用方法】1、根据函数图象说明函数的单调性例 1、如图是定义在区间 5，5 上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？y x 1-1 1-1 y x 1-1 1-1 y x 1-1 1-1 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师

3、精心整理-第 1 页，共 8 页 -第 2 页 共 8 页【针对性练习】下图是借助计算机作出函数y=x2+2|x|+3的图象，请指出它的的单调区间2利用定义证明函数f(x)在给定的区间 D上的单调性的一般步骤：任取 x1，x2D，且 x1x2；作差 f(x1)f(x2)；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；下结论（即指出函数f(x)在给定的区间 D上的单调性）例 2、证明函数xxy1在（1，+）上为减函数例 3、函数 f(x)=x31 在 R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心

4、整理-第 2 页，共 8 页 -第 3 页 共 8 页例 4、已知 f(x)是定义在(2，2)上的减函数，并且f(m 1)f(12m)0，求实数 m的取值范围例 5、判断一次函数ykxb(0)k单调性.例 6、利用函数单调性的定义，证明函数在区间（0，1 上是减函数【归纳小结】函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 作 差 变 形 定 号 下结论针对性练习1.函数1yx的单调区间是（）A（-，+）B.（-，0）（1，）C.（-，1）、（1，）D.（-，1）U（1，）名师资料总结-精品资料

5、欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -第 4 页 共 8 页2.下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是().A32yxB3yx C245yxxD23810yxx3函数223yxx的增区间是（）。A-3，-1 B-1,1 C113a(,3)D(1,)4、已知函数1()f xxx，判断()f x在区间 0，1和（1，+）上的单调性。5、定义在（1，1）上的函数()f x是减函数，且满足：(1)()faf a，求实数a的取值范围。6、函数 f(x)=x31 在 R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论复合函数的单调性1、定义：设 y=f(u),u

6、=g(x),当 x 在 u=g(x)的定义域 中变化时，u=g(x)的值在 y=f(u)的定义域内变化，因此变量x 与 y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为y=f(u)=fg(x)称为复合函数，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量(即函数)2、复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -第 5 页 共 8 页函数单调性()ug x增增减减()yf u增减增减()yf g x增减减增例 1、已知()1,()32yf uuug xx，求()yf g x的

7、单调性。例 2、已知2()1,()1yf uuug xx，求函数()yfg x的单调性。针对性训练1、已知2()1,()1yf uuug xx，求函数()yfg x的单调性。2、已知2()82f xxx，如果2()(2)g xfx，那么()g x（）A.在区间（-1，0）上是减函数 B.在区间（0，1）上是减函数C.在区间（-2，0）上是增函数 D.在区间（0，2）上是增函数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -第 6 页 共 8 页三、函数的最大（小）值1函数最大（小）值定义1）最大值：一般地，设函数()yf x的定义域为 I，如果存在实数 M满足：（1）对

8、于任意的 xI，都有()f xM；（2）存在0 xI，使得0()f xM那么，称 M是函数()yfx的最大值2）最小值：一般地，设函数()yf x的定义域为 I，如果存在实数 M满足：（1）对于任意的 xI，都有()f xM；（2）存在0 xI，使得0()f xM那么，称 M是函数()yfx的最小值注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0 xI，使得0()fxM；函 数 最 大（小）应 该 是 所 有函 数 值 中 最 大（小）的，即 对 于 任 意的 xI，都 有()()f xMf xm2利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法配方法换元法数形结合法例 1、求函数223yxxx

9、当自变量在下列范围内取值时的最值10 x03x(,)x名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -第 7 页 共 8 页例 2、求函数1yxx的最大值例 3、求函数21yx在区间 2，6 上的最大值和最小值【针对性练习】一、选择题1函数 y4xx2，x0，3 的最大值、最小值分别为()(A)4，0(B)2，0(C)3，0(D)4，3 2函数21xxy的最小值为()(A)21(B)1(C)2(D)4 3、函数3(2)2yxx在区间 0，5上的最大值、最小值分别是（）A.3,07 B.3,02 C.3 3,2 7 D.最大值37，无最小值。二、填空题1函数 y2x24x

10、1 x(2，3)的值域为 _2函数22xxy的值域为 _3、函数245(0,3yxxx的值域是。4、函数23134yxx的值域是。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -第 8 页 共 8 页三、解答题1求函数0,0,2)(xxxxfx的值域2设函数 f(x)(xa)2对于任意实数 t R都有 f(1t)f(1t)(1)求 a 的值；(2)如果 x0，5，那么 x 为何值时函数 yf(x)有最小值和最大值?并求出最小值与最大值3如图，在边长是a 的等边三角形内作一个内接矩形，求内接矩形的面积的最大值4已知函数y3x22ax1，x0，1，记 f(a)为其最小值，求f(a)的表达式，并求f(a)的最大值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -