2022年高一数学函数的表示法及分段函数 .pdf

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1、2246-51-12.2.函数的表示法【学习目标】1.了解函数的三种表示方法，并且知道他们各自的优点。2.结合图像法与解析法各自的优点，体会数形结合的必要性及优越性。在接下来的学习中要有意识的使用这种方法。3.知道求解析式的基本方法，以及每种方法的适用情况。4.知道一类重要函数分段函数，以及分段函数的研究方法：分段考虑（分段讨论）一函数的表示方法：1.列表法。把自变量x 的值和他对应的函数值一一列在表中来表示函数关系的方法称为列表法。例：某函数自变量与函数的关系如下：x-2-1 0 1 2)(xf2 1-2 0 2（1）)1(ff（2）)0(ff解：（1）先算里面的0)1(f2)0()1(ff

2、f（2）列举法的优点：自变量和函数值之间的对应关系一目了然，很直接，清楚。缺点是：当定义域是是无限集时，用列举法就不合适了。2图像法例：（1）观察下面某函数的图像，分析此函数的变化趋势，及最值，对称性，体会图像法的优点。（2）能不能求出)0(),1(),1(fff，能不能求出)2(),2(ff解：（1）（i）1x时，函数值随x 增大而减小;01x时，函数值随x 增大而增大10 x时，函数值随x 增大而减小；1x时，函数值随x 增大而增大。（ii）根据图像可以看到在1x和 1 处取最小值-5，最大值为无穷大。（iii）根据图像能看到图像关于x 轴对称。(2)根据图像可以看到特殊点的值，如：4)0

3、(,5)1()1(fff但一般的点函数值不能判断。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 4 页 -图像法的优点：可以看到函数的变化趋势，分布特点等，缺点：具体函数值计算只凭图像不能给出准确值。3.解析法例：函数)(xf的解析式为4|2)(2xxfx，（1）能否求)0(),1(),1(fff，能否求出)2(),2(ff（2）能否根据解析式容易判断此函数的变化趋势？解：（1）可以代入求值4)0(,5)1()1(fff，4)2()2(ff（2）不能看到变化趋势。解析法的优点：可以准确求出函数值缺点：看不到函数的变化趋势，分布特点注：通过图像法和解析法各自的优点可见：图像法可以

4、看到变化趋势，解析法可以准确确定函数值，因此在我们接下来的学习中，我们经常会使用数形结合的方法解决问题。数形结合（即：解析法和图像法结合）是解决函数问题的重要方法，在学习中要注重这种方法的使用。二函数解析式的求法1.代入法例题 1.已知xxfx2)(2，（1）求)1(xf的解析式（2）求0)1(xf的解集解：（1）xxfx2)(2，要求出)1(xf，只需将前面式子中的每个x 换成 x-1（即把x-1 代入）)1(2)1()1(2xxfx342xx（2）0)1(xf，即：0342xx解之得：x3 或 x1 2.换元法例题 2：已知xxxf2)1(，求)(xf解：设tx1，（1t）(怎么得来的？为

5、何要求出t 的范围？)（设新元）)1(2tx（解旧元）将xxxf2)1(中所有 x 换成 t)1(2)()1(2ttft（1t）化简得：1)(2ttf，用 x 或 t 表示自变量，表示相同的函数关系，因此可将t 换成 x，即得：1)(2xxf（1x）3.待定系数法例题 3：二次函数)(xf满足：)3()1(ff，3)0(f，4)1(f，求)(xf的解析式名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 4 页 -解:设二次函数的解析式为cbxxfax2)()3()1(ff，二次函数对称轴为1x即:12abx3)0(f,4)1(f,代入上面的解析式中，得:3c4cba由得:3,2,1

6、cba32)(2xxfx三分段函数（阅读课本P29 例题 2 P30 例题 4）在函数定义域的不同的部分函数的解析式不同的函数称为分段函数。例题 1：函数|)(xxf的图像解：根据绝对值的意义，当0 x，xxxf|)(，当0 x，xxxf|)(00|)(xxxxxxf2例题 2：函数050)(2xxxxfx，求（1）)2(ff（2）1)(af，求a解：（1）先算)2(f=（-2）+5=3，)2(ff=9)3(32f（2）(i)当0a时，1)(2aaf，解得：（舍去）或1-1aa（ii）当0a时，15)(aaf，解得：6-a注：分段函数处理方法：分段考虑（分类讨论）.四几类重要的分段函数(1)|

7、)(xxf(2)|32|)(2xxfx(3)4|2)(2xxfx(4)|1|1|)(xxxf解：根据绝对值意义：非负数绝对值是他本身，负数绝对值是他的相反数，分类讨论得：（1）见上面的例子。思考|1|)(xxf图像应该是什么样的。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 4 页 -（2）032)32(03232|32|)(22222xxxxxxfxxxxx31)32(3,13222xxxxxxx（3）0420424|2)(222xxxxxxfxxx（4）1211212|1|1|)(xxxxxxxf4223-12246-51-11-1（2）（3）（4）题组一：（1）已知11)(xxf，求)(2xf(2)1)11(xxf，求)(xf（3）。一次函数)(xf图像过（2，-3），且与直线xy2图像平行，求)(xf题组二：（1）函数|)(xxxf的图像大致是（）22222A B C D 题组三：0202)(2xxxxfx，求)2(ff若2)(af，求a的范围。题组四：方程kxx|32|2的所有根之和可能是（）A：2,4,6 B：2,3,6 C：2,3,4 D3,4,6 题组五：方程mxx5|42有四个根，则k 的范围。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 4 页 -