2022年小学数学奥数基础教程-- 2.pdf

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1、小学数学奥数基础教程(四年级)本教程共30 讲智取火柴在数学游戏中有一类取火柴游戏，它有很多种玩法，由于游戏的规则不同，取胜的方法也就不同。但不论哪种玩法，要想取胜，一定离不开用数学思想去推算。例 1 桌子上放着 60 根火柴，甲、乙二人轮流每次取走13 根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？分析与解：本题采用逆推法分析。获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4 根，此时无论对方取1，2 或3 根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方 8 根,由此可知，获胜方只要每

2、次留给对方的都是4 的倍数根，则必胜。现在桌上有 60 根火柴，甲先取，不可能留给乙 4 的倍数根，而甲每次取完后，乙再取都可以留给甲4 的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，乙必胜。在例 1 中为什么一定要留给对方4 的倍数根，而不是 5 的倍数根或其它倍数根呢？关键在于规定每次只能取13 根，134，在两人紧接着的两次取火柴中，后取的总能保证两人取的总数是4。利用这一特点，就能分析出谁采用最佳方法必胜，最佳方法是什么。由此出发，对于例1的各种变化，都能分析出谁能获胜及获胜的方法。例 2 在例 1 中将“每次取走 13 根”改为“每次取走 16 根”，其余不变，情形会怎样？分析与解：由

3、例 1 的分析知，只要始终留给对方（1+6=）7 的倍数根火柴，就一定获胜。因为 6078,4，所以只要甲第一次取走4 根，剩下 56根火柴是 7 的倍数，以后总留给乙7 的倍数根火柴，甲必胜。由例 2 看出，在每次取 1n 根火柴，取到最后一根火柴者获胜的规定下，谁能做到总给对方留下（1+n）的倍数根火柴，谁将获胜。例 3 将例 1 中“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”，其余不变，情形又将如何？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 4 页 -分析与解：最后留给对方 1 根火柴者必胜。按照例 1 中的逆推的方法分析，只要每次留给对方4 的倍数加

4、1 根火柴必胜。甲先取，只要第一次取3根，剩下 57 根（57 除以 4 余 1），以后每次都将除以4 余 1 的根数留给乙，甲必胜。由例 3 看出，在每次取 1n 根火柴，取到最后一根火柴者为负的规定下，谁能做到总给对方留下（1n）的倍数加 1 根火柴，谁将获胜。有许多游戏虽然不是取火柴的形式，但游戏取胜的方法及分析思路与取火柴游戏完全相同。例 4 两人从 1 开始按自然数顺序轮流依次报数，每人每次只能报15 个数，谁先报到 50 谁胜。你选择先报数还是后报数？怎样才能获胜？分析与解：对照例 1、例 2 可以看出，本例是取火柴游戏的变形。因为50（15）8,2，所以要想获胜，应选择先报，第一

5、次报2 个数，剩下 48 个数是（15）6 的倍数，以后总把6 的倍数个数留给对方，必胜。例 51111 个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动17 格。规定将棋子移到最后一格者输。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？分析与解：本例是例 3 的变形，但应注意，一开始棋子已占一格，棋子的右面只有 1111-11110（个）空格。由例 3 知，只要甲始终留给乙（1+7=）8 的倍数加 1 格，就可获胜。（111-1）（17）138,6，所以甲第一步必须移5 格，还剩下 1105 格，1105是 8 的倍数加 1。以后无论乙移几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和

6、是8，甲就必胜。因为甲移完后，给乙留下的空格数永远是8 的倍数加 1。例 6 今有两堆火柴，一堆 35根，另一堆 24 根。两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能不取。规定取得最后一根者为赢。问：先取者有何策略能获胜？分析与解：本题虽然也是取火柴问题，但由于火柴的堆数多于一堆，故本题的获胜策略与前面的例题完全不同。先取者在 35 根一堆火柴中取 11 根火柴，使得取后剩下两堆的火柴数相同。以后无论对手在某一堆取几根火柴，你只须在另一堆也取同样多根火柴。只要对手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是说，最后一根火柴总会被你拿到。这样先取者总可获胜。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整

7、理-第 2 页，共 4 页 -请同学们想一想，如果在上面玩法中，两堆火柴数目一开始就相同，例如两堆都是 35 根火柴，那么先取者还能获胜吗？例 7 有 3 堆火柴，分别有 1 根、2 根与 3 根火柴。甲先乙后轮流从任意一堆里取火柴，取的根数不限，规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获胜。如果采用最佳方法，那么谁将获胜？分析与解：根据例 6 的解法，谁在某次取过火柴之后，恰好留下两堆数目相等的火柴，谁就能取胜。甲先取，共有六种取法：从第1 堆里取 1 根，从第 2 堆里取 1 根或 2根；第 3 堆里取 1 根、2 根或 3 根。无论哪种取法，乙采取正确的取法，都可以留下两堆数目相等的火柴（同

8、学们不妨自己试试），所以乙采用最佳方法一定获胜。练习 25 1.桌上有 30 根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取13根，且取最后一根者为赢。问：先取者如何拿才能保证获胜？2.有 1999 个球，甲、乙两人轮流取球，每人每次至少取一个，最多取 5 个，取到最后一个球的人为输。如果甲先取，那么谁将获胜？3.甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报14 个数，谁报到第 888 个数谁胜。谁将获胜？怎样获胜？4.有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，取的枚数不限，但不能不取，谁取到最后一枚棋子谁获胜。如果甲后取，那么他一定能获胜吗？5.黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，,

9、，51。甲、乙两人轮流划掉连续的 3 个数。规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。问：甲有必胜的策略吗？6.有三行棋子，分别有1，2，4 枚棋子，两人轮流取，每人每次只能在同一行中至少取走1 枚棋子，谁取走最后一枚棋子谁胜。问：要想获胜是先取还是后取？答案与提示 练习1.先取者取两根，以后每次把 4 的倍数根火柴留给对方取。先取者获胜。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 4 页 -2.乙胜。无论甲取几个球，只要乙接着取的球数与甲所取的球数之和为 6 即可。因为 19996 余 1，所以最后一个球被甲取走。3.甲胜。甲先报 3 个数，以后每次与乙合报5 个数即可获胜。4.甲必胜。5.甲先划，把中间 25，26，27 这三个数划去，就将1 到 51 这 51 个数分成了两组，每组有24 个数。这样，只要乙在某一组里有数字可划，那么甲在另一组里相对称的位置上就总有数字可划。因此，若甲先划，且按上述策略去进行，则甲必能获胜。6.先取。从 4 枚棋子的行中取走1 枚，变为例 7 的情形。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 4 页 -