2022年高考数学复习配套试题指数与指数函数 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载第五节指数与指数函数【考纲下载】1了解指数函数模型的实际背景2理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点4知道指数函数是一类重要的函数模型1正整数指数函数函数 yax(a0，a1，xN)，叫作正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N.2分数指数幂(1)分数指数幂：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n 互素)，存在唯一的正实数b，使得 bnam，我们把 b叫作 a 的mn次幂，记作bamn.(2)正分数指数幂：amnnam(a0，m、nN，且 n1)(3)负分数指数幂：

2、amn1amn1nam(a0，m、nN，且 n1)(4)0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂无意义3指数幂的运算性质当 a0，b0 时，对任意实数m，n，都有：(1)amanamn；(2)(am)namn；(3)(ab)n anbn.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载4指数函数的图像与性质yaxa10a1 图像定义域R值域(0，)性质(1)过定点(0,1)(1)过定点(0,1)(2)当 x0 时，y1；x0 时，0y1(2)当 x 0 时，0y1；x 0时，y1(3)在 R 上是增函数(3)在 R 上是减函数1.nana 成立的

3、条件是什么？提示：当 n 为奇数时，a R；当 n 为偶数时，a0.2如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，底数a，b，c，d 与 1 之间的大小关系如何？你能得到什么规律？提示：图中直线x1 与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1d11a1b1，所以，cd1ab，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大3当 a0，且 a1 时，函数 y ax，ya|x|，y|ax|，y1ax之间有何关系？提示：yax与 y|ax|是同一个函数的不同表现形式；函数ya|x|与 yax不同，前者是一个偶函数，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理

4、-第 2 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载其图象关于y 轴对称，当x0 时两函数图象相同；yax与 y1ax的图象关于y 轴对称1化简(2)612(1)0的结果为()A 9 B 10 C9 D7 解析：选 D(2)612(1)0(26)1218 17.2化简416x8y4(x0，yb)，若 f(x)的图象如图所示，则函数g(x)axb 的图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载象是()ABCD(2)若曲线|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则b 的取值范围是 _自主解答(1)由已知并结合图象可知0a1，b1.对于函数g(x)axb

5、，它一定是单调递减的，排除 C、D.且当 x 0 时 g(0)a0b1b0 ()Ax|x 2 或 x4 Bx|x0 或 x4 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载Cx|x0 或 x6 D x|x 2 或 x2(3)(2012山东高考)若函数 f(x)ax(a0，a 1)在1,2上的最大值为4，最小值为 m，且函数 g(x)(14m)x在0，)上是增函数，则a_.自主解答(1)a21.2，b120.820.8，ab1.又 c2log52log541，ab c.(2)f(x)为偶函数，当x0 时，f(x)f(x)2x4.f(x)2x4，x0，

6、2x4，x0，当 f(x2)0 时，有x2 0，2x240或x20，2x2 40，解得 x4 或 x0.(3)g(x)在0，)上为增函数，则14m0，即 m1，则函数f(x)在1,2上单调递增，最小值为1am，最大值为a24，解得 a2，m12，与 m14矛盾；当 0a1 时，函数 f(x)在1,2上单调递减，最小值为a2m，最大值为a14，解得 a14，m116.所以 a14.答案(1)A(2)B(3)14指数函数的性质及应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小问题常利用指数函数的单调性及中间值(0 或 1)法(2)简单的指数方程或不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别

7、注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论(3)指数型函数中参数的取值范围问题在解决涉及指数函数的单调性或最值问题时，应注意对底数a的分类讨论1设 a40.8，b80.46，c121.2，则 a，b，c 的大小关系为()Aa bcBbacCcabDcb a解析：选 A a 40.821.6，b80.4621.38，c121.221.2，又1.61.381.2，21.621.38 21.2.即 ab c.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载2若函数 f(x)1x，x0，13x，x0，则不等式13f(x)13的解集为()A1,2)3，)B(

8、，31，)C.32，D(1，3 3，)解析：选 B函数 f(x)1x，x0，13x，x 0和函数 g(x)13的图象如图所示，从图象上可以看出不等式的解集是两个无限区间当 x0，所以 a3.综上得 a13或 a3.答案：13或 3 课堂归纳 通法领悟 1 个关系 分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载2 个注意点 应用指数函数性质时应注意的两点(1)指数函数yax(a0，a1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a1

9、与 0a0，b0，2a2a2b3b2b2b.令 f(x)2x2x(x0)，则函数 f(x)为单调增函数 ab.答案 A 名师点评 解决本题的关键有以下两点：(1)通过放缩，将等式问题转化为不等式问题；(2)构造函数，并利用其单调性解决问题设函数 f(x)32x23xa2a5，当 0 x1 时，f(x)0 恒成立，则实数 a 的取值范围是 _解析：f(x)32x23xa2a5(3x1)2 a2a6，0 x1，13x3，函数 f(x)32x23xa2a 5 在 0 x1 上是增函数，f(x)0 恒成立?f(0)0，f(0)1 2a2a5a2a 6(a3)(a名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心

10、整理-第 9 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载2)0，a3 或 a 2.答案：(，2)(3，)全盘巩固 1化简a23 b112 a12 b136a b5(a0，b0)的结果是()AaBabCa2bD.1a解析：选 D原式a13b12 a12b13a16b56 a131216 b1213561a.2函数 yaxa(a0，且 a1)的图象可能是()ABCD 解析：选 C当 x1 时，y a1a0，所以函数yaxa 的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C.3设函数 f(x)x24x3，g(x)3x2，集合 M xR|f(g(x)0，N xR|g(x)0，g2(x)4g(x)3 0，g(x)3

11、 或 g(x)1，MN x|g(x)1 3x2 1,3x3，即 x1.4设 a3525，b2535，c2525，则 a，b，c 的大小关系是()Aa cbBabcCc abDbca解析：选 A构造指数函数y25x(x R)，由该函数在定义域内单调递减可得bc；又 y25x(x R)与 y35x(x R)之间有如下结论：当x0 时，有35x25x，故35252525，即 ac，故 ac b.5(2014 萍乡模拟)设函数 f(x)13x8 x0，x2x1 x0，若 f(a)1，则实数 a 的取值范围是()A(2,1)B(，2)(1，)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共

12、 14 页 -学习好资料欢迎下载C(1，)D(，1)(0，)解析：选 B由 f(a)1 知a0，13a81或a0，a2a11，解得a 0，a 2或a0，a 2或a1，即 a 2 或 a1.6(2014 瑞金模拟)设函数 f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x 1 对称，且当x1 时，f(x)3x1，则有()Af13f32f23Bf23f32f13Cf23f13f32Df32f23f13解析：选 B由题设知，当x1 时，f(x)3x1 单调递增，因其图象关于直线x 1 对称，当 x1时，f(x)单调递减 f32f 232f12，f23 f12 f13，即 f23f32f13.7若 x0，则(

13、2x14332)(2x14 332)4x12(xx12)_.解析：原式(2x14)2(332)24x1124x12124x12334x124 23.答案：23 8已知 0 x 2，则 y4x123 2x5 的最大值为 _解析：令 t2x，0 x2，1t4，又 y22x13 2x5，y12t23t512(t3)212.1t4，当t1 时，ymax52.答案：529(2014 徐州模拟)已知过点 O 的直线与函数y3x的图象交于A，B两点，点 A 在线段 OB 上，过 A作 y 轴的平行线交函数y9x的图象于 C 点，当 BC 平行于 x 轴时，点 A 的横坐标是 _解析：设 A(x1，y1)，B

14、(x2，y2)，由题意可得，C(x1，y2)，所以有y1 3x1，y2 3x2，y2 9x1.又 A，O，B 三点共线，所以 kAOkBO，即y1x1y2x2，代入可得3x13x2x1x212，即3x132x112，所以 x1log32.答案：log32 10 函数 f(x)2xx1的定义域为集合A，关于 x 的不等式122x2ax(a R)的解集为 B，求使 A B名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载B 的实数 a 的取值范围解：由2xx10，解得 x2 或 x1，于是 A(，2(1，)，122x2ax?122x12ax?2xax?x

15、a，所以 B(，a)因为 ABB，所以 B?A，所以 a 2，即 a 的取值范围是(，211已知 f(x)ex ex，g(x)exex(e 2.718 28)(1)求f(x)2g(x)2的值；(2)若 f(x)f(y)4，g(x)g(y)8，求g xyg xy的值解：(1)f(x)2g(x)2(exex)2(exex)2(e2x2e2x)(e2x2e2x)4.(2)f(x)f(y)(exex)(eyey)exyexyexyexyexy e(xy)exye(xy)g(xy)g(xy)，即 g(x y)g(xy)4.同理，由g(x)g(y)8，可得 g(xy)g(xy)8.由解得g(x y)6，g

16、(xy)2，故g xyg xy3.12设函数f(x)kaxax(a0 且 a1)是定义域为R 的奇函数(1)若 f(1)0，求不等式f(x22x)f(x4)0 的解集；(2)若 f(1)32，且 g(x)a2xa2x4f(x)，求 g(x)在1，)上的最小值解：f(x)是定义域为R 的奇函数，f(0)0，k1 0，k 1.故 f(x)ax ax.(1)f(1)0，a1a0，又 a 0 且 a1，a1，而当a1 时，yax和 y ax在 R 上均为增函数，f(x)在 R 上为增函数，原不等式化为：f(x22x)f(4x)，x22x4x，即x23x40，x1或 x 4，不等式的解集为 x|x1 或

17、 x 4(2)f(1)32，a1a32，即 2a23a20，a2 或 a12(舍去)，g(x)22x22x4(2x2x)(2x2x)24(2x2x)2.令 t2x2x(x 1)，则 t h(x)在 1，)上为增函数(由(1)可知)，即 h(x)h(1)32.g(t)t24t2(t2)22，当t2 时，g(x)min 2，此时 xlog2(12)，故当xlog2(12)时，g(x)有最小值 2.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载冲击名校 1若存在负实数使得方程2x a1x1成立，则实数a 的取值范围是()A(2，)B(0，)C(0,2)

18、D(0,1)解析：选 C在同一坐标系内分别作出函数y1x1和 y2xa 的图象，则由图知，当a(0,2)时符合要求2 对于函数 f(x)，如果存在函数g(x)axb(a，b为常数)，使得对于区间D 上的一切实数x都有 f(x)g(x)成立，则称函数g(x)为函数 f(x)在区间 D 上的一个“覆盖函数”，设f(x)2x，g(x)2x，若函数g(x)为函数 f(x)在区间 m，n上的一个“覆盖函数”，则|mn|的最大值为 _解析：因为函数f(x)2x与 g(x)2x 的图象相交于点A(1，2)，B(2,4)，由图可知，m，n?1,2，故|mn|max2 11.答案：1 高频滚动 1 已知函数f(

19、x)x2axb2b1(a，bR)，对任意实数x 都有 f(1x)f(1 x)成立，且当 x1,1时，f(x)0 恒成立，则b 的取值范围是()A(1,0)B(2，)C(，1)(2，)D(，1)解析：选 C由题意 f(1x)f(1x)，得 f(x)图象的对称轴为x1，则 a2.易知 f(x)在(，1)上单调递增，当x 1,1时，f(x)0，故只需 f(1)b2b20，解得 b2 或 b 1.2 已知函数 f(x)ex1，g(x)x24x3.若存在实数a，b，使得 f(a)g(b)，则 b 的取值范围为()A22，22 B(22，22)C1,3 D(1,3)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载解析：选 B由题易知，函数f(x)的值域是(1，)，要使得f(a)g(b)，必须使得x24x3 1，即 x24x20，解得 22x 22.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 14 页 -