2022年高三数学离散型随机变量的期望值和方差 .pdf

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1、离散型随机变量的期望值和方差一、基本知识概要：1、期望的定义：一般地，若离散型随机变量的分布列为x1x2x3,xn,P P1P2P3,Pn,则称 E=x1P1+x2P2+x3P3+,+xnPn+,为 的数学期望或平均数、均值，简称期望。它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。若=a+b(a、b 为常数)，则 也是随机变量，且E=aE+b。E(c)=c 特别地，若 B(n，P)，则 E=nP2、方差、标准差定义：D=(x1-E)2P1+(x2-E)2P2+,+(xn-E)2Pn+,称为随机变量的方差。D的算术平方根D=叫做随机变量的标准差。随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动

2、、集中与离散的程度。且有 D(a+b)=a2D,可以证明 D=E2-(E)2。若B(n，p)，则 D=npq，其中 q=1-p.3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。二、例题：例 1、（1）下面说法中正确的是（）A离散型随机变量的期望 E反映了 取值的概率的平均值。B离散型随机变量的方差 D反映了 取值的平均水平。C离散型随机变量的期望 E 反映了 取值的平均水平。D离散型随机变量的方差 D反映了 取值的概率的平均值。解：选 C 说明：此题考查离散型随机变量的期望、

3、方差的概念。（2）、（2001 年高考题）一个袋子里装有大小相同的3 个红球和 2 个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是。解：含红球个数 的 E=0101+1106+2103=1.2 说明：近两年的高考试题与考试说明中的“了解,，会,”的要求一致，此部分以重点知识的基本题型和内容为主，突出应用性和实践性及综合性。考生往往会因对题意理解错误，或对概念、公式、性质应用错误等，导致解题错误。例 2、设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E、D1 0 1 P 2112q2q剖析：应先按分布列的性质，求出q的值后，再计算出E、D。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第

4、1 页，共 4 页 -解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以112101212122qqqq解得221q。于是，的分布列为1 0 1 P 2112223所以 E（1）21)223(1)12(021，D12)223()21(1)12()21(21)21(1222说 明：解 答 本 题 时，应 防 止 机 械 地 套 用 期 望 和 方 差 的 计 算 公 式，出 现 以 下 误 解：E211)21(021)1(22qqq。练习：已知 的分布列为(1)求 E,D,，(2)若=2+3,求 E,D解：（1）E=31611310211,D9561311313102

5、1311222,=35（2）E=E(2+3)=2 E+3=37,D=920例 3、人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保险费a元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3 万元，出现非意外死亡则赔付1 万元，经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是1p，非意外死亡的概率为2p，则a需满足什么条件，保险公司才可能盈利？剖析：要使保险公司能盈利，需盈利数的期望值大于0，故需求 E。解：设为盈利数，其概率分布为-1 0 1 P 213161名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 4 页 -a30000a10000aP 211pp1p2p且 E21212110000

6、30000)10000()30000()1(ppapapappa要盈利，至少需使的数学期望大于0，故211000030000ppa。说明：（1）离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值（2）本题中 D有什么实际意义？例 4：把 4 个球随机地投入4 个盒子中去，设表示空盒子的个数，求E、D剖析：每个球投入到每个盒子的可能性是相等的，总的投球方法数为44，空盒子的个数可能为0 个，此时投球方法数为6464!4)0(,!4444PA；空盒子的个数为1 时，此时投球方法数为332414ACC，)3(),2(,6436)1(PPP同样可分析。解：的所有可能取值为0，1，2，3。,64214)2(

7、,64364)1(,6464)0(422342424244332414444ACCCCPACCPAP6414)3(414CP。所以的分布列为：0 1 2 3P 64664366421641所以 E6481，D2641695。说明：本题的关键是正确理解的意义，写出的分布列。例 5、已知两家工厂，一年四个季度上缴利税如下：（单位：万元）试分析两厂上缴利税状况，并予以说明。解：设随机变量 与分别表示甲、乙两厂上缴利税数，依题意有P(=k)=41，P(=k)=41(k=1，2，3，4)季度一二三四季平均值甲厂70 50 80 40 60 乙厂55 65 55 65 60 名师资料总结-精品资料欢迎下载

8、-名师精心整理-第 3 页，共 4 页 -E=41(70+50+80+40)=60 E=41(55+65+55+65)=60 E2=41(702+502+802+402)=3850 E2=41(552+652+552+652)=3625 D=E2-(E)2=250，D=E2-(E)2=25 由上述计算可知，两厂上缴利税的期望相等，说明平均水平相同；而甲厂的方差大于乙厂的方差，说明乙厂的波动性小，生产稳定；甲厂的波动性大，导致生产不稳定。说明：本题考查利用离散型随机变量的方差与期望的知识，分析解决实际问题的能力。例 6、(1)设随机变量 具有分布列为P(=k)=61(k=1，2，3，4，5，6)

9、，求 E、E(2+3)和 D。(2)设随机变量 的分布列为P(=k)=n1(k=1，2，3，,，n)，求 E和 D。(3)一次英语测验由50 道选择题构成，每道有4 个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3 分，选错或不选均不得分，满分150 分，某学生选对每一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望与方差。解：(1)E=x1P1+x2P2+x3P3+,+x6P6=161+261+361+,+661=3.5 E(2+3)=2E+3=10 D=(x1-E)2P1+(x2-E)2P2+,+(x6-E)2P6=61(1-3.5)2+(2-3.5)2+,(6-3.5)2=17.561(

10、2)E=n1(1+2+,+n)=21nD=E2-(E)2=n1(n2-1)(3)设 为该生选对试题个数，为成绩。则(50，0.7)，=3E=500.7=35；D=500.70.3=10.5 故 E=E(3)=3E=105 D=D(3)=9D=94.5 说明：可根据离散型随机变量的期望和方差的概念、公式及性质解答。三、课堂小结：1、利用离散型随机变量的方差与期望的知识，可以解决实际问题。利用所学知识分析和解决实际问题的题型，越来越成为高考的热点，应予重视。2、常生产生活中的一些问题，我们可以转化为数学问题，借助于函数、方程、不等式、概率、统计等知识解决。同时，要提高分析问题和解决问题的能力，必须关注生产和生活。四、布置作业：教材P195 页闯关训练名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 4 页 -