2022年高三数学平面向量的概念及运算 .pdf

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1、平面向量的概念及运算一【课标要求】（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；了解向量的线性运算性质及其几何意义（3）平面向量的基本定理及坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件二【命题走向】本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以

2、选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值 59 分。预测 2010年高考：（1）题型可能为 1 道选择题或 1 道填空题；（2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。三【要点精讲】1向量的概念向量既有大小又有方向的量。向量一般用cba,来表示，或用有名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 13 页 -向线段的起点与终点的大写字母表示，如：ABuuu r几何表示法ABu uu r，

3、a；坐标表示法),(yxjyi xa。向量的大小即向量的模（长度），记作|ABuuu r|即向量的大小，记作a|。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量长度为 0 的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a0a0。由于0r的方向是任意的，且规定0r平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与 0 的区别）单位向量模为 1 个单位长度的向量，向量0a为单位向量0a1。平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作ab。由于向量可以进行任意的平移(即

4、自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 13 页 -为ba。大小相等，方向相同),(),(2211yxyx2121yyxx。2向量的运算（1）向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,ABa BCbuuu ruuu rrr，则a+br=ABBCu uu

5、 ru uu r=ACuuu r。规定：（1）aaa00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 可 推 广 至 多 个 向 量 相 加：ABBC

6、CDPQQRARu uu ruuu ruu u ru uu ru uu ru uu rL，但这时必须“首尾相连”。（2）向量的减法相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 13 页 -记作a,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：（i）)(a=a；(ii)a+(a)=(a)+a=0；(iii)若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0。向量减法向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：)(baba求两个向量差的运算，叫做向量的减法作图法：ba可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）。

7、（3）实数与向量的积实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：（）aa；（）当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a，方向是任意的。数乘向量满足交换律、结合律与分配律3两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a。4平面向量的基本定理如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,使：2211eea其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底5平面向量的坐标表示名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 13 页 -（1）平面向量的坐

8、标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y轴方向相同的两个单位向量,ijr r作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量ar可表示成axiyjrrr，由于ar与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量ar的坐标，记作ar=(x,y)，其中 x 叫作ar在x 轴上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标。规定：（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。（2）平面向量的坐标运算：若1122,ax ybxyrr，则1212,abxxyyrr；若2211,yxByxA，则2121,ABxx

9、 yyuuu r；若ar=(x,y)，则ar=(x,y)；若1122,ax ybxyrr，则1221/0abx yx yrr。四【典例解析】题型 1：平面向量的概念例 1（1）给出下列命题：若|ar|br|，则ar=br；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则ABDCu uu ruuu r是四边形 ABCD为平行四边形的充要条件；若ar=br，br=cr，则ar=cr；ar=br的充要条件是|ar|=|br|且ar/br；若ar/br，br/cr，则ar/cr；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 13 页 -其中正确的序号是。（2）设0a为单位向量，（1）若a为平面内

10、的某个向量，则a=|a|0a;(2)若a与 a0平行，则a=|a|0a；（3）若a与0a平行且|a|=1，则a=0a。上述命题中，假命题个数是（）A0 B1 C2 D3 解析：（1）不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；正确；ABDCuuu ruu u r，|ABDCuuu ruuu r且/ABDCuu u ruuu r，又 A，B，C，D 是不共线的四点，四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则，/ABDCuuu ruuu r且|ABDCuuu ruuu r，因此，ABDCuu u ru uu r。正确；ar=br，ar，br的长度相等且方向相同；

11、又brcr，br，cr的长度相等且方向相同，ar，cr的长度相等且方向相同，故arcr。不正确；当ar/br且方向相反时，即使|ar|=|br|，也不能得到ar=br，故|ar|=|br|且ar/br不是ar=br的充要条件，而是必要不充分条件；不正确；考虑br=0r这种特殊情况；综上所述，正确命题的序号是。点评：本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多，因而容易遗忘。为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。（2）向量是既有大小又有方向的量，a与|a|0a模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若a与0a平行，则a与0a方向有两种情

12、况：一是同向二是反向，反向时a=|a|0a，故（2）、（3）也是假命题。综上所述，答案选D。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 13 页 -点评：向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。题型 2：平面向量的运算法则例 2（1）如图所示，已知正六边形ABCDEF，O 是它的中心，若BAuu u r=ar，BCuuu r=br，试用ar，br将向量OEuuu r，BFuu u r，BDuuu r，FDuuu r表示出来。（1）解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量ar，br来表示其他

13、向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。因为六边形 ABCDEF 是正六边形，所以它的中心 O 及顶点 A，B，C 四点构成平行四边形 ABCO，所以BABCBAAOBOuu u ruu u ru u u ruuu ruu u r，BOuuu r=arbr，OEuuu r=BOuuu r=ar+br，由于 A，B，O，F 四点也构成平行四边形ABOF，所以BFuu u r=BOuuu rOFuuu r=BOuuu r+BAuu u r=ar+br+ar=2ar+br，同样在平行四边形BCDO 中，BDuuu rBCCDuuu ruu u rBCBOu uu ruuu rbr(arb

14、r)ar2br，FDuuu rBCBAuuu ru uu rbrar。点评：其实在以 A，B，C，D，E，F 及 O 七点中，任两点为起点和终点，均可用ar，br表示，且可用规定其中任两个向量为ar，br，另外任取两点为起点和终点，也可用ar，br表示。（3）（2008湖南文，4）11 已 知 向 量)3,1(a，)0,2(b，则baOFEDCBA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 13 页 -ba=_.【答案】【解析】由(1,3),|132.ababrrrrQ（4）(2009 年广东卷文)已知平面向量 a=,1x（），b=2,x x（），则向量ab()A 平行于x轴

15、B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y轴D.平行于第二、四象限的角平分线答案C 解析ab2(0,1)x,由210 x及向量的性质可知,C 正确.例 4 设xr为未知向量，ar、br为已知向量，解方程 2xr(5ar+3xr4br)+21ar3br=0 解析：原方程可化为：(2xr 3xr)+(5ar+21ar)+(4br3br)=0，xr=29ar+br。点评：平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则，求解时兼顾到向量的性质。题型 3：平面向量的坐标及运算例 5已知ABC中，A(2,1)，B(3,2)，C(3,1),BC 边上的高为AD，求ADuuu r。解析：设 D(x,y

16、)，则2,1,3,2,3ADxyBDxyBCbuu u ruuu ruuu r,ADBC BDBCuuu ruuu r u uu ru uu r0263301326yxyx得11yx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 13 页 -所以1,2ADuuu r。例 6 已知点)6,2(),4,4(),0,4(CBA,试用向量方法求直线AC和OB（O为坐标原点）交点P的坐标。解析：设(,)P x y，则(,),(4,)OPx yAPxyu uu ruuu r因为P是AC与OB的交点，所以P在直线AC上，也在直线OB上。即得/,/OPOB APACuuu ruuu r uu u

17、 ruuu r，由点)6,2(),4,4(),0,4(CBA得，(2,6),(4,4)ACOBu uu ruu u r。得方程组6(4)20440 xyxy，解之得33xy。故直线AC与OB的交点P的坐标为(3,3)。题型 4：平面向量的性质例 7平面内给定三个向量3,2,1,2,4,1abcrrr，回答下列问题：（1）求满足ambncrrr的实数 m,n；（2）若/2akcbarrrr，求实数 k；（3）若dr满足/dcabrrrr，且5dcrr，求dr。解析：（1）由题意得1,42,12,3nm，所以2234nmnm，得9895nm。（2）34,2,25,2akckkbarrrr，1316

18、,025432kkk；（3）4,1,2,4dcxyabrrrr由题意得5140124422yxyx，得13yx或35yx。例 8已知).1,2(),0,1(ba名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 13 页 -（1）求|3|ba；（2）当k为何实数时，k ab与ba3平行，平行时它们是同向还是反向？解析：（1）因为).1,2(),0,1(ba所以3(7,3)abrr则22|3|7358abrr（2）kab(2,1)k，ba3(7,3)因为k ab与ba3平行，所以3(2)70k即得13k。此时kab7(2,1)(,1)3k，ba3(7,3)，则ba33()kabrr，即

19、此时向量ba3与kabrr方向相反。点评：上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。题型 5：共线向量定理及平面向量基本定理例 9（2009 北京卷文）已知向量(1,0),(0,1),(),abckab kRdab，如果/cd那么()A1k且c与d同向B1k且c与d反向C1k且c与d同向D1k且c与d反向答案D 解析本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法.属于基础知识、基本运算考查.a1,0，b0,1，若1k，则 c ab1,1，d a b1,1，显然，a 与 b 不平行，排除 A、B.若1k，则 cab1,1，dab1

20、,1，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 13 页 -即 c/d 且 c 与 d 反向，排除 C，故选 D.点评：熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算；两个向量平行的坐标表示；运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。例 10（1）（06福建理，11）已知OA=1，OB=3,OBOA?=0,点 C 在AOB 内，且AOC=30，设OC=mOA+nOB(m、nR)，则nm等于（）A31B3 C33D3（2）（2009安徽卷理）给定两个长度为 1 的平面向量OAu uu r和OBuuu r，它们的夹角为120o.如图所示，

21、点 C 在以 O 为圆心的圆弧ABuuu v上变动.若,OCxOAyOBuu u ruu u ru uu r其中,x yR,则xy的最大值是 _.答案2 解析设AOC,OCOAxOAOAyOBOAOCOBxOAOByOBOB?uu u ru uu ru uu ruu u ruuu ruu u vuu u ruu u ru uu ruu u ruu u ruu u v，即01cos21cos(120)2xyxy02coscos(120)cos3sin2sin()26xy题型 6：平面向量综合问题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 13 页 -例 11（2009 上海卷

22、文）已知 ABC的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量(,)ma bu r，(sin,sin)nBAr，(2,2)pbau r.（1）若mu r/nr，求证：ABC为等腰三角形；（2）若mu rpu r，边长 c=2，角 C=3，求 ABC的面积.证明：（1）/,sinsin,mnaAbBu vvQ即22ababRR，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径，abABC为等腰三角形解（2）由题意可知/0,(2)(2)0mpa bb au vu v即abab由余弦定理可知，2224()3abababab2()340abab即4(1)abab舍去11sin4 sin3223SabC五【

23、思维总结】数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”,能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的。新课程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相似，虽然只是个别小题，但它对学习具有指导意义，教学中重视教材的使用应有不可估量的作用。因此，学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，形成知识体系。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 13 页 -学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点（1）向量的加法与减法是互逆运算；（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件；（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况；（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 13 页 -