2022年高中数学第三章推理与证明..分析法学案北师大版选修- .pdf

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1、1 3.2 分析法1了解分析法的思维过程、特点(重点)2会用分析法证明数学问题(难点)基础初探 教材整理分析法阅读教材 P61P63，完成下列问题1分析法的定义从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法2分析法证明的思维过程用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图3-3-6表示为：Q?P1P1?P2P2?P3得到一个明显成立的条件图 3-3-63综合法和分析法的综合应用在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化

2、条件，得到中间结论P.若由P可以推出Q成立，即可证明结论成立判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)分析法就是从结论推向已知()(2)分析法的推理过程要比综合法优越()(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明()【解析】(1)错误分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程(2)错误分析法和综合法各有优缺点(3)正确一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 12 页 -2【答案】(1)(2)(3)质疑手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

3、疑问 1：_ 解惑：_ 疑问 2：_ 解惑：_ 疑问 3：_ 解惑：_ 小组合作型 应用分析法证明不等式已知ab0，求证：ab28aab2abab28b.【精彩点拨】本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件【自主解答】要证ab28aab2abab28b，只需证ab28aab22b0，同时除以ab22，得ab24a1ab24b，同时开方，得ab2a1ab2b，只需证ab2b，即证ba，即证bb0，原不等式成立，即ab28aab2ab0，求证：a21a22a1a2.【证明】要证a21a22a1a2，只需证a21a22a1a2，即证a21a2

4、22a1a22，即a21a24 a21a24a21a22 2a1a4，只需证 2a21a2 2a1a.只需证 4a21a22a221a2，即a21a22.上述不等式显然成立，故原不等式成立用分析法证明其他问题(2016合肥高二检测)求证：以过抛物线y22px(p0)焦点的弦为直径的圆必与直线xp2相切【精彩点拨】【自主解答】如图所示，过点A，B分别作AA，BB垂直准线于点A，B，取AB的中点M，作MM垂直准线于点M.要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM|12|AB|.由抛物线的定义有|AA|AF|，|BB|BF|，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 12 页

5、 -4 所以|AB|AA|BB|，因此只需证|MM|12(|AA|BB|)根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线y22px焦点的弦为直径的圆必与直线xp2相切1分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法2分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等 再练一题 2已知1tan 2tan 1，求证：cos sin 3(cos sin)【证明】要证 cos sin 3(cos sin)，只需证cos sin

6、 cos sin 3，只需证1tan 1tan 3，只需证 1tan 3(1 tan)，只需证 tan 12.1tan 2tan 1，1tan 2tan，即 2tan 1.tan 12显然成立，结论得证 探究共研型 综合法与分析法的综合应用探究 1 综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？【提示】综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”探究 2 综合法与分析法有什么区别？【提示】综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因名师资

7、料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 12 页 -5 在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，则能使x，a，y成等差数列；若插入两个数b，c，则能使x，b，c，y成等比数列，求证：(a1)2(b1)(c1).【导学号：67720019】【精彩点拨】可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来【自主解答】由已知条件得2axy，b2cx，c2by，消去x，y得 2ab2cc2b，且a0，b0，c0.要证(a1)2(b1)(c1)，只需证a1bc，因bcbc2，只需证a1b1c12，即证 2abc.由于 2ab2cc2b，故只需证b2cc2bbc，只需证b3c

8、3(bc)(b2c2bc)(bc)bc，即证b2c2bcbc，即证(bc)20.因为上式显然成立，所以(a1)2(b1)(c1)综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证 再练一题 3已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：1ab1bc3abc.【证明】要证1ab1bc3abc，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 12 页 -6 即证abcababc

9、bc3，即证cababc1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，只需证c2a2acb2.A，B，C成等差数列，2BAC，又ABC180，B60.c2a2b22accos B，c2a2b2ac，c2a2acb2，1ab1bc3abc成立 构建体系 1要证明2723，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A综合法B 分析法C比较法D 归纳法【解析】由分析法和综合法定义可知选B.【答案】B 2已知a0，b0，且ab2，则()Aa12B ab12Ca2b22D a2b23【解析】ab22ab，ab1.a2b242ab，a2b22.【答案】C 3.3a3b0 B ab0 且ab名师资料总结-

10、精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 12 页 -7 Cab0 且abD ab(ba)0【解析】3a3b3ab?(3a3b)3(3ab)3?ab33a2b33ab2ab?3ab23a2b?ab2a2b?ab(ba)0，b0，c0，若abc1，则1a1b1c的最小值为 _【解析】因为abc1，且a0，b0，c0，所以1a1b1cabcaabcbabcc3baabcbbcacca3 2baab2caac2cbbc369.当且仅当abc时等号成立【答案】9 5已知a，b，cR且不全相等，求证：a2b2c2abbcca.【证明】法一：(分析法)要证a2b2c2abbcca，只需证 2(a2b

11、2c2)2(abbcca)，只需证(a2b22ab)(b2c22bc)(c2a22ca)0，只需证(ab)2(bc)2(ca)20，因为a，b，cR，所以(ab)20，(bc)20，(ca)20.又因为a，b，c不全相等，所以(ab)2(bc)2(ca)20 成立所以原不等式a2b2c2abbcca成立法二：(综合法)因为a，b，cR，所以(ab)20，(bc)20，(ca)20.又因为a，b，c不全相等，所以(ab)2(bc)2(ca)20，所以(a2b22ab)(b2c22bc)(c2a22ca)0，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 12 页 -8 所以 2(a

12、2b2c2)2(abbcca)，所以a2b2c2abbcca.我还有这些不足：(1)_(2)_ 我的课下提升方案：(1)_(2)_ 学业分层测评(十)(建议用时：45 分钟)学业达标 一、选择题1若a，bR，则1a31b3成立的一个充分不必要条件是()Aab0 B baCab0 D ab(ab)0【解析】由ab0?a3b31b3，但1a31b3不能推出ab0，ab1b3成立的一个充分不必要条件【答案】C 2求证：71115.证明：要证71115，只需证75111，即证 7275 5112111，即证3511，3511，原不等式成立以上证明应用了()A分析法B综合法C分析法与综合法配合使用D间接

13、证法名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 12 页 -9【解析】该证明方法符合分析法的定义，故选A.【答案】A 3(2016汕头高二检测)要证a2b21a2b20，只要证明()A2ab1a2b20Ba2b21a4b420C.ab221a2b20D(a21)(b21)0【解析】要证a2b21a2b20，只要证明(a21)b2(1 a2)0，只要证明(a21)(1 b2)0，即证(a21)(b21)0.【答案】D 4在不等边三角形中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件()Aa2b2c2D a2b2c2【解析】由余弦定理得cos Ab2c2a22

14、bc0，b2c2a20，即b2c2bc，且abc0，求证：b2ac0 B ac0 C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0【解析】由题意知b2ac3a?b2ac3a2?b2a(ab)3a2?b2a2ab3a2?b2ab0?a2aba2b20?a(ab)(ab)(ab)0?a(ab)c(ab)0?(ab)(ac)0，故选 C.【答案】C 二、填空题6(2016烟台高二检测)设A12a12b，B2ab(a0，b0)，则A，B的大小关系为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 12 页 -10 _【解析】ABab2ab2abab24ab2ababab22abab0，AB.【答

15、案】AB7(2016西安高二检测)如果aab b，则实数a，b应满足的条件是_【解析】要使aab b成立，只需(a a)2(b b)2，只需a3b30，即a，b应满足ab0.【答案】ab0 8如图 3-3-7，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足 _时，BDA1C.(写出一个条件即可)图 3-3-7【解析】要证BDA1C，只需证BD平面AA1C.因为AA1BD，只要再添加条件ACBD，即可证明BD平面AA1C，从而有BDA1C.【答案】ACBD(或底面为菱形)三、解答题9设a，b0，且ab，求证：a3b3a2bab2.【证明】法一：分析法要证a3b3a2bab2成立，只需证(

16、ab)(a2abb2)ab(ab)成立，又因ab0，只需证a2abb2ab成立，只需证a22abb20 成立，即需证(ab)20 成立而依题设ab，则(ab)20 显然成立，由此命题得证法二：综合法ab?ab0?(ab)20?a22abb20?a2abb2ab.注意到a，b0，ab0，由上式即得(ab)(a2abb2)ab(ab)，a3b3a2bab2.10(2016深圳高二检测)已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 12 页 -11 b2c243S.【证明】要证a2b2c243S，只要证a2b2(a2b22abc

17、os C)23absin C，即证a2b22absin(C30)，因为 2absin(C30)2ab，只需证a2b22ab，显然上式成立，所以a2b2c243S.能力提升 1已知a，b，c，d为正实数，且abcd，则()A.abacbdcdB.acbdabcdC.abcdacbdD 以上均可能【解析】先取特殊值检验，abcd，可取a1，b3，c1，d2，则acbd25，满足abacbdcd.B，C不正确要证abacbd，a，b，c，d为正实数，只需证a(bd)b(ac)，即证adbc.只需证abcd，而abcd成立，abacbd.同理可证acbdab(a0，b0)C.aa126【解析】对于A，

18、a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，a2b2c2abbcca；对于 B，(ab)2ab2ab，(ab)2ab，abab；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 12 页 -12 对于 C，要证aa1a2a3(a3)成立，只需证明aa3a2a1，两边平方得2a32aa2a32aa，即aaaa，两边平方得a23aa23a 2，即 02.因为 02 显然成立，所以原不等式成立；对于 D，(210)2(26)21245244(53)0，2101p成立的正整数p的最大值是 _【解析】由3221p，得p3221，即p(3221)2，所以p12464223，由于 1246

19、422312.7，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.【答案】12 4(2016唐山高二检测)已知a，b，c是不全相等的正数，且 0 x1，求证：logxab2logxbc2logxac2logxalogxblogxc.【证明】要证明 logxab2logxbc2logxac2logxalogxblogxc，只需要证明logxab2bc2ac2logx(abc)，而已知 0 xabc.a，b，c是不全相等的正数，ab2ab0，bc2bc0，ac2ac0，ab2bc2ac2a2b2c2abc，即ab2bc2ac2abc成立，logxab2logxbc2logxac2logxalogxblogxc成立名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 12 页 -