2022年单倒置摆控制系统的状态空间设计 .pdf

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1、单倒置摆控制系统的状态空间设计1题目分析倒立摆系统(Inverted Pendulum System)是一个广泛应用的物理模型，由倒立摆控制理论产生的方法和技术在半导体及精密仪器加工、机器人技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等领域有着广阔的应用前景。倒立摆系统是一个经典的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统，是用来检验某种控制理论或方法的典型方案。倒立摆控制理论产生的方法和技术在半导体及精密仪器加工、机器人技术、导弹拦截控制系统和航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。因此研究倒立摆系统具有重要的实践意义，一直受到国内外学者的广泛关注。2被控对象分析本文针对单级倒立摆系统的控制

2、问题,设计状态空间模型，并且分析了系统的能控性和能观性,以及极点配置法。单级倒立摆系统的原理图如图一所示。小车有一台直流电动机拖动，在水平方向对小车施加控制力F，相对参考系产生位移X。若不给小车施加控制力，则倒置摆会向左或者向右倾倒，因此，它是一个不稳定的系统。控制的目的是，当倒置摆无论出现向左或者向右倾倒时，通过控制直流电动机给小车在水平方向上施加一个力F(控制量)，使小车停留在原来的位置，并使杆摆不倒下，即使杆摆保持在垂直位置上。图一3.建立倒置摆的状态空间方程为简化问题，工程上可以忽略一些次要因素。在本例中，我们为了简化问题，方便研究系统空间的设计问题，忽略了摆杆质量、执行电动机惯性以及

3、摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦及风力。设小车的瞬时位置为z，倒置摆出现的偏角为，则摆心瞬时位置为)sin(lz。在控制力u 的作用下，小车及摆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动方向的惯性力应与控制力u 平衡，则有ulzdtdmdtzdM)sin(2222即名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 11 页 -umlmlzmMsincos)(2（1）由于绕摆旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡，因而有sincos)sin(22mgllzdtdm即sincossincoscos2gllz（2）式（1）、式（2）两个方程都是非线性方程，需作线性化处理。由于控制的目的是

4、保持倒置摆直立，因此，在施加合适u 的条件下，可以认为、均接近于零，此时sin，1cos,且可以忽略2项，于是有umlzmM)(（3）z+l=g（4）连联立求解式（3）、式（4），可得uMMmgz1（5）uMlgMlmM1)(（6）消去中间变量，可得输入量为u、输出量为z 的微分方程为uMlguMzMlgmMz1)(4（7）综合上述的分析，可抽象出系统的研究对象为：位移z、小车的速度z、摆的角速度 及其角速度的。系统的研究对象抽象成这四个这四个变量建立空间状态方程，并分析被控对象的特性。考虑zzdtd，dtd以及5）、（6）、（7），可列出倒置摆的状态空间模型表达式为：uMlMMlgmMMmg

5、10100)(0010000000010 xxx0001y（8）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 11 页 -式中Tzzx为方便研究，假定系统的参数M=1kg,m=0.1kg,l=1m,2/81.9smg,则系统状态方程中参数矩阵为：01100100001000010A,1010b，0001c（9）此时倒置摆的状态空间模型表达式为：u101001100100001000010 xxx0001y4.被控对象特性分析及仿真由于系统的动态响应主要是由它的极点位置决定的，而假如系统是状态完全能控的，则可通过状态矩阵的选取实现极点的任意配置，即可使系统得到良好的动态性能。（1

6、）能控性分析根据能控性的秩判据，并将式（9）的有关数据带入该判据，可得4bAbAAbbM32rankrank因此，单倒置摆的运动状态是可控的。换句话说，这意味着总存在一控制作用u,将非零状态x转移到零（2）判定系统状态的能观测性将数值代入能观测性秩判据，得：4)()(TTTTTTrankrankcAcAcAcN32T可见被控系统的4 个状态均是可观测的，（3）稳定性分析由单倒置摆系统的状态方程，可求的其特征方程为：0)11(22AI解得特征值为0,0，11，-11。四个特征值中存在一个正根，两个零根，这说明单倒置摆系统，即被控系统不稳定的。须对被控制系统进行反馈综合，使 4 个特征值全部位于根

7、平面 S左半平面的适当位置，以满足系统的稳定工作并达到良好的动静态性能的要求。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 11 页 -未设计之前系统的matlab 仿真结构图为：对应的仿真结果为：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 11 页 -名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 11 页 -可见系统不稳定5.倒立摆系统的综合由上面的分析可知倒立摆系统是不稳定的，所以必须对其进行反馈综合，使4 个特征值全部位于S平面的左半边的合适位置，以满足系统的各项性能指标。本文采用全状态反馈，取态变量 x、x、为反馈信号，状态反馈控制规律

8、为u=v-kx 设k=(k0 k1 k2 k3)式中，k0k3分别为x，x，反馈到参考输入v的增益。则闭环控制系统的状态方程为x=(A-bk)x+bv 其特征多项式为)(BkAI=4+（k1-k3）3+（k0-k1-11）2-10k1-10k0采用极点配置的综合方法，设置希望闭环极点位置为-1，-2，-1 j，则闭环控制系统的期望特征多项式为(+1)(+2)(+1-j)(+1+j)=4+53+102+10+4 令式(6-12)与式(6-13)右边同次项的系数相等，可求得名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 11 页 -k0=-0.4，k1=-1，k2=-21.4，k3=

9、-6 可知 4 个特征值全部位于S平面的左半边，满足系统的各项性能指标6.设计方案-全维观测器的设计为实现单倒置摆控制系统的全状态反馈，必须获取系统的全部状态，即 z、z、的信息，需要设置z、z、的四个传感器。全维观测器的运动方程为GyBuxGCAx?)(?式中Tgggg3210G全维观测器已G配置极点，决定状态向量估计误差衰减的速率。全维状态观测器的特征多项式312021304g-g11-g-g11-11-ggGC-A-I设置状态观察器的期望闭环极点为-2，-3，-2+i,-2-i。全维状态观测器的特征多项式为3049319j-2j232234设置状态观察器的期望闭环极点为-2，-3，-2+

10、i,-2-i。由于最靠近虚轴的希望闭环极点为-2。30g-g11-49g-g11-3111-g9g312010 =0g=9，1g=42，2g=-148，3g=-492 全维状态观测器实现状态反馈的结构图为：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 11 页 -四个状态变量对应的仿真结果为：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 11 页 -名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 11 页 -状态反馈部分对应的输出结果为：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 11 页 -从上面的仿真结果图可知调整后系统的4 个状态变量均趋于稳态值，且均满足系统的性能指标。全反馈状态为稳定闭环系统，当参考输入v 为零时，状态向量在初始扰动作用下的响应将渐近地衰减至零，这时摆杆和小车都会回到它的初始位置，即x=0，=07.结论本文通过对被控制对象的分析，写出单倒摆系统状态空间描述，完成建模，再判断系统的能空性和稳定性；用状态反馈控制配置系统极点，利用全维状态观测设计控制器使系统得到稳定控制8.参考文献（1）梁慧冰现代控制理论基础机械工业出版社（2）刘卫国matlab 程序设计及应用高等教育出版社名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 11 页 -