2022年高三数学暑期复习综合能力题第讲抽象函数型综合问题 .pdf

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1、上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网高三数学暑期复习综合能力题第 21 讲 抽象函数型综合问题题型预测抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识可以说，这一类问题，是考查学生能力的较好途径，因此，在近年的高考中，这一类题目有增多和分量加重的趋势范例选讲例 1定义在 R 上的函数 fx 满足：对任意实数,m n，总有 f mnfmf n，且当0 x时，01fx（1）试求0f的值；（2）判断 fx 的单调性并证明你的结论；（3）设22,1,21,Ax yfxf

2、yfBx yfaxyaR，若AB，试确定 a的取值范围（4）试举出一个满足条件的函数fx 讲解：（1）在 f mnf mf n 中，令1,0mn得：110fff因为10f，所以，01f（2）要判断 fx 的单调性，可任取12,x xR，且设12xx 在已知条件f mnfmf n 中，若取21,mnx mx，则已知条件可化为：2121fxfxfxx由于210 xx，所以2110fxx为比较21fxfx、的大小，只需考虑1fx的正负即可名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网在 f mnf mf n 中，令 mx，

3、nx，则得1fxfx0 x时，01fx，当0 x时，110fxfx又01f，所以，综上，可知，对于任意1xR，均有10fx2112110fxfxfxfxx 函数 fx 在 R 上单调递减（3）首先利用 fx 的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含f的式子222211fxfyfxy即，210faxyf，即20axy由AB，所以，直线20axy与圆面221xy无公共点所以，2211a解得：11a（4）如12xfx点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令1,0mn；以及21,mnx mx 等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则

4、有助于问题的思考和解决例 2已知定义在 R 上的函数 fx 满足：（1）值域为1,1，且当0 x时，10fx；（2）对于定义域内任意的实数,x y，均满足：1fmf nf mnf m f n试回答下列问题：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网（）试求0f的值；（）判断并证明函数fx 的单调性；（）若函数 fx 存在反函数 g x，求证：21111511312ggggnn讲解：（）在1f mf nf m nf m f n中，令0,0mn，则有010fmffmfm f 即：100fmfmffmf也即：2010f

5、fm由于函数 fx 的值域为1,1，所以，210f m，所以00f（）函 数fx的 单 调 性 必 然 涉 及 到fxfy，于 是，由 已 知1fmfnfmnfmfn，我们可以联想到：是否有1fmfnfmnf m f n？（）这个问题实际上是：fnf n 是否成立？为此，我们首先考虑函数fx 的奇偶性，也即fxfx与的关系由于00f，所以，在1f mf nf mnf m f n中，令 nm，得0f mfm所以，函数 fx 为奇函数故（）式成立所以，1fmfnfmnfmfn任取12,x xR，且12xx，则210 xx，故210fxx且211,1fxfx所以，21212110fxfxfxxfxf

6、x所以，函数 fx 在 R 上单调递减（）由于函数fx 在 R 上单调递减，所以，函数fx 必存在反函数 g x，由原函数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 5 页 -上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网与反函数的关系可知：g x 也为奇函数；g x 在1,1 上单调递减；且当10 x时，0g x为了证明本题，需要考虑g x 的关系式在（）式的两端，同时用g作用，得：1fmfnmngfmfn，令,f mx fny，则,mg xng y，则上式可改写为：1xyg xg ygxy不难验证：对于任意的,1,1x y，上式都成立（根据一一对应）这样，我们就得到

7、了g x 的关系式这个式子给我们以提示：即可以将2131nn写成1xyxy的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端事实上，由于211112111211131121111212nnnnnnnnnnnn，所以，21113112gggnnnn所以，211151131gggnn1111112334121122111222ggggggnnggngggn点评：一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定0f的值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网高考真题1（2001 年全国高考题）设fx 是定义在 R 上的偶函数

8、，其图像关于直线yx对称，对任意121,0,2x x都有1212fxxfxfx，且10fa（）求12f及14f；（）证明：fx 是周期函数；（）记122nafnn，求limlnnna2（2002 北京高考题）已知 fx 是定义在 R上的不恒为零的函数，且对于任意的,a bR都满足：fa baf bbf a（）求0,1ff的值；（）判断 fx 的奇偶性，并证明你的结论；（）若*222,nnffunNn，求数列nu的前 n项的和nS 答案与提示：1（）1/21/411,24fafa；（）略；（）limln0nna2（）010ff；（）奇函数；（）112nnS 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -