2022年圆的一般方程借鉴 .pdf

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1、南江职业中学数学教师何强教研作品-1-4.1.2 圆的一般方程整体设计【教学分析】教材通过将二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后化为(x+2D)2+(y+2F)2=4422FED后只需讨论D2+E2-4F 0、D2+E2-4F=0、D2+E2-4F 0.与圆的标准方程比较可知D2+E2-4F0 时,表示以(-2D,-2E)为圆心,21FED422为半径的圆；当 D2+E2-4F=0 时,方程只有实数解x=-2D,y=-2E,即只表示一个点(-2D,-2E);当 D2+E2-4F0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.从而得出圆的一般方程的特点：(1)x2和 y2的系数相同,不

2、等于 0；(2)没有 x y 这样的二次项；(3)D2+E2-4F0.其中(1)和(2)是二元一次方程Ax2 Bxy Cy2DxEyF=0 表示圆的必要条件,但不是充分条件,只有三条同时满足才是充要条件.同圆的标准方程(xa)2(yb)2=r2含有三个待定系数a、b、r 一样,圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中也含有三个待定系数D、E、F,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆.同样可以用待定系数法求得圆的一般方程.在实际问题中,究竟使用圆的标准方程还是使用圆的一般方程更好呢？应根据具体问题确定.圆的标准方程的特点是明确指出了圆心的坐标和圆的半径,因此,对于由已知条件容易求得圆心坐标

3、和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题,一般采用圆的标准方程.如果已知条件和圆心坐标、圆的半径都无直接关系,通常采用圆的一般方程；有时两种方程形式都可用时也常采用圆的一般方程的形式,这是因为它可避免解三元二次方程组.圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的长.我们知道,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,它有利于研究圆的有关性质和作图.而由圆的一般方程可以很容易判别一般的二元二次方程中,哪些是圆的方程,哪些不是圆的方程,它们各有自己的优点,在教学过程中,应当使学生熟练地掌握圆的标准方程与圆的一般方程的互化,尤其是由圆的一般方程通过配方化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和半径.要画出

4、圆,就必须要将曲线方程通过配方化为圆的标准方程,然后才能画出曲线的形状.这充分说明了学生熟练地掌握这两种方程互化的重要性和必要性.【教学目标】1、在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.掌握方程 x2y2DxEyF=0 表示圆的条件,通过对方程x2y2DxEyF=0 表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析、解决问题的能力.2、能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法和轨迹法求圆的方程,同时渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索,培养学生探索发现及分析解名师资料总结-精品

5、资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -南江职业中学数学教师何强教研作品-2-决问题的实际能力.【教学重点】圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D、E、F.【教学难点】对圆的一般方程的认识、掌握和运用.【课时安排】1 课时【教学过程】导入新课思路 1、问题：求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式.教师板书课题:圆的一般方程.推进新课、新知探究、提出问题前一章我

6、们研究直线方程用的什么顺序和方法?这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢?给出式子x2+y2+Dx+Ey+F=0,请你利用配方法化成不含x 和 y 的一次项的式子.把式子(xa)2(yb)2=r2与 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方后的式子比较,得出 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件.对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点?讨论结果：以前学习过直线,我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式,最后学习一般式.大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、)展开整理而得到

7、的.我们想求圆的一般方程,可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程,把标准形式展开,整理得到,也是从特殊到一般.把式子 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方得(x+2D)2+(y+2E)2=4422FED.(xa)2(yb)2=r2中,r0 时表示圆,r=0 时表示点(a,b),r0 时不表示任何图形.因此式子(x+2D)2+(y+2E)2=4422FED.()当 D2+E2-4F0 时,表示以(-2D,-2E)为圆心,21FED422为半径的圆；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -南江职业中学数学教师何强教研作品-3-()当 D2+E2-4F=0

8、时,方程只有实数解x=-2D,y=-2E,即只表示一个点(-2D,-2E);()当 D2+E2-4F0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.综上所述,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有当D2+E2-4F0 时,它表示的曲线才是圆.因此x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是D2+E2-4F0.我们把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的方程称为圆的一般方程.圆的一般方程形式上的特点:x2和 y2的系数相同,不等于 0.没有 x

9、y 这样的二次项.圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.【举例说明】例 1判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.解:(1)由 4x2+4y2-4x+12y+9=0,得 D=-1,E=3,F=49,而 D2+E2-4F=1+9-9=1 0,所以方程4x2+4y2-4x+12y+9=0 表示圆的方程,其圆心坐标为(2

10、1,-23),半径为21；(2)由 4x2+4y2-4x+12y+11=0,得D=-1,E=3,F=411,D2+E2-4F=1+9-11=-1 0,所以方程 4x2+4y2-4x+12y+11=0 不表示圆的方程.点评:对于形如Ax2+By2+Dx+Ey+F=0 的方程判断其方程是否表示圆,要化为 x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,再利用条件 D2+E2-4F 与 0 的大小判断,不能直接套用.另外,直接配方也可以判断.例 2 判断方程224630 xyxy是否为圆的方程，如果是，求出圆心的坐标和半径解 1 将原方程左边配方，有22222242263330 xxyy，即222(2)(3)

11、4xy.所以方程表示圆心为(2 3)，半径为4的一个圆解 2 与圆的一般方程相比较，知4,6,3DEF故名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 5 页 -南江职业中学数学教师何强教研作品-4-22416364(3)640DEF，所以方程为圆的一般方程，由2242,3,4222DEDEF知，圆心的坐标为(2,3)，半径为4【变式训练】求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0;(2)x2+y2+2by=0.解:(1)把 x2+y2-8x+6y=0 配方,得(x4)2(y+3)2=52,所以圆心坐标为(4,-3),半径为 5；(2)x2+y2+2by=0 配方

12、,得 x2(y+b)2=b2,所以圆心坐标为(0,-b),半径为|b|.例 2 求过三点 O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标.解:方法一：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由 O、M1、M2在圆上,则有.02024,02.0FEDFEDF解得 D=-8,E=6,F=0,故所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0,即(x4)2(y+3)2=52.所以圆心坐标为(4,-3),半径为 5.方法二：先求出OM1的中点 E(21,21),M1M2的中点 F(25,23),再写出 OM1的垂直平分线PE 的直线方程y-21=-(x-21),AB

13、的垂直平分线PF 的直线方程y-23=-3(x-25),联立 得,93,1yxyx得.3,4yx则点 P 的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5 为半径.方法三：设所求圆的圆心坐标为P(a,b),根据圆的性质可得|OP|=|AP|=|BP|,即 x2+y2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2,解之得 P(4,-3),OP=5 为半径.方法四：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2=r2,因为 O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于a、b、r 的方程组,即.)2()4(,)1()1(222222222

14、rbarbarba名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -南江职业中学数学教师何强教研作品-5-解此方程组得.5,3,4rba所以所求圆的方程为(x4)2(y+3)2=52,圆心坐标为(4,-3),半径为 5.点评：请同学们比较,关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程.一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程.【课堂小结】1、任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0 的形式,但方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示的

15、曲线不一定是圆,只有 D2+E2-4F0 时,方程表示圆心为(-2D,-2E),半径为 r=21FED422的圆.2、求圆的方程,应根据条件特点选择合适的方程形式：若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程.3、要画出圆的图像,必须要知道圆心坐标和半径,因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法.【课后作业】教材练习8.4.2 1、判断方程224210 xyxy是否表示圆如果是，指出圆心和半径2、已知圆的方程为2240 xyx，求圆心的坐标和半径3、已知圆的方程为2260 xyy，求圆心的坐标和半径【课后反思】这是一节介绍新知识的课,而且这

16、节课还非常有利于展现知识的形成过程.因此,在设计这节课时,力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”.在展现知识的形成过程中,尽量避免学生被动接受,引导学生探索,重视探索过程.一方面,把直线一般方程探求过程进行回顾、类比,学生从中领会探求方法；另一方面,“把标准方程展开认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想方法.同时,通过类比进行条件的探求“D2+E24F”与“”(判别式)类比.在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”,并用它探求新知识.这样的过程,既是学生获得新知识的过程,更是培养学生能力的过程.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -