2022年年IMC试题决赛试题及参考答案 .pdf

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1、学习资料收集于网络，仅供参考学习资料高一年级决赛试题姓名 _ _国家 _ 得分 _ 一、选择题（每小题5 分，共 40 分）1.若非空集合A x|2a 1 x3 a 5，B x|3 x22，则使 A(AB)成立的所有a 的集合是（）；（A）a|6 a9（B）a|a9（C）a|1 a9（D）2.已知函数y f-1(x)是函数 y f(x)的反函数，且y f-1(x 5)的图像经过点(1，3)，则 y f(x 1)的图像经过点（）；（A）(2,4)（B）(3,1)（C）(2,8)（D）(3,4)3.Determine the monotonic range（单调递增区间）of 12()log co

2、sf xxwhere 0,2x.（A）,2（B）0,（C）0,2（D）3,224.从 1、2、3、20 中，任取 3 个不同的数，使这3 个数按从小至大排列组成等差数列，那么这样的等差数列有（）个；（A）90 （B）120（C）180（D）240 5.The three vertices of ABC are A,B,C and P is a point the plane such that.PAPBPCAB，Determine the relationship of point P and ABC.A.P is on the straight line of side ABB.P is a

3、n exterior point of ABCC.P is an interior point of ABCD.P is a trisection point on side6.已知 是第二象限角，且sin2cos2，则2logcos22等于（）；（A）sec(2)（B）cos2（C）sec(2)（D）cos(2)7.甲随机的从19 这 9 个数字中选3 个数字并将它们按高位数字大低位数字小的方式排成一个三位数；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料乙随机的从18 这 8 个数字中选3 个数也按照同样的方式得到一个三位数；那

4、么事件“甲得到的数比乙的大”发生的概率为（）；（A）4772（B）4972（C）3756（D）238.集合222(,)432,Ax y z xyzxyyz x y zR中有（）个元素；（A）1（B）2（C）0（D）无数二、填空题（每小题5 分，共 40 分）9.若函数abxaxf2)34()(,1,0 x，且2)0(f，2)1(f，则ba的最大值是 _；10.For any real numbers x and y,we have a function f(x)satisfy()()()fxyfxfyand(1)2.f(2)(3)(2005)What is the numerical valu

5、e of?(1)(2)(2004)ffffff11.已知 A、B 为锐角，且满足tantantantan1ABAB，则 cos(A B)=_；12.Given two sets:,2,Ax yyax,1Bx yyxandcardinal()=1,AB.what are the possible values of a?13.14.写出2121124的一个素因子：_；15.16.设实数 x、y 满足1)1(2005)1(1)1(2005)1(33yyxx，那么 x y=_；17.18.对一个数列12naaa、进行一次“冒泡排序”是指如下系列操作：首先比较数列中第一项1a与第二项2a的大小，若12

6、aa则交换这两项在数列中的位置（即交换12aa、的数值），否则数列的所名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料有项都保持不变；接着比较现在数列中第二项与第三项的大小，按照同样的规则，若23aa则交换，否则不变；接着比较第三项与第四项的大小如此等等，直至最后比较1na与na的大小并按规则交换位置后结束；现将1、2、3、4、2013 随机排列成一个2013 项的数列，对此数列进行一次“冒泡排序”操作，则所得的数列第10 项恰是初始数列的第5 项的概率为 _；19.20.设函数102013201222222fxx，则 f(2013)

7、=_；三、解答题（每小题10 分，共 20 分）21.22.已知1,2,3,2013A，满足：A 中任意两个元素之差的绝对值不等于3 或 4 或 5，求|A|的最大值，并说明理由；18.对三元数组(A,B,C)可进行以下变换：变换 1：可将三个数进行任意重新排列；变换 2：可将(A,B,C)变换成(2B 2C A,B,C)；假设初始状态给定的三元数组为(1,0,1)；1）能否可经有限步变换，得到三元数组(2012,2013,2014)；并说明理由；2）能否可经有限步变换，得到三元数组(2009,2010,2011)；并说明理由；3）已知可经有限步变换，得到三元数组(1,2024,x)，求 x

8、的所有可能取值，并说明理由；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 5 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料高一年级（决赛）试题答案题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C A C A C A C A 题号9 10 11 12 13 14 15 16 答案4174008 22(,1 1,)73、649657、92737 2 11101 简答题 17、18 题答案详解17、已知1,2,3,2013A，满足：A 中任意两个元素之差的绝对值不等于3 或 4 或 5，求|A|的最大值，并说明理由；【答案】756【解析】将 1、4、7、2、5、8、3、6 顺次标记到正八边形

9、的8 个顶点处，两个数之差为3 或 5 或 4 当且仅当这两个数在八边形上相邻或位于一条主对角线的两端；容易证明：任意连续八个数中至多能选3 个数满足两两之差不是3、4、5，故在1 至 2013 中至多能选3 252=756 个数满足要求；-5 分构造也可由上述得到：如选取所有8k 1、8k 2、8k 3 型数；-5 分18、对三元数组(A,B,C)可进行以下变换：变换 1：可将三个数进行任意重新排列；变换 2：可将(A,B,C)变换成(2B 2C A,B,C)；假设初始状态给定的三元数组为(1,0,1)；1）能否可经有限步变换，得到三元数组(2012,2013,2014)；并说明理由；2）能

10、否可经有限步变换，得到三元数组(2009,2010,2011)；并说明理由；3）已知可经有限步变换，得到三元数组(1,2024,x)，求 x 的所有可能取值，并说明理由；【答案】否、否、1935 或 2115【解析】1）A B C 的奇偶性在变换1、2 下保持不变；故 1 0(1)0 为偶数，不可能得到2012 2013 2014 为奇数；-3分2）A B C(mod4)在变换 1、2 下或者保持不变；或者变为(A B C)(mod4)；故 1 0(1)0(mod4)，不可能得到2013 2014 2015 2(mod4)；-4分3）构造：1,0,10,1,31,3,81,8,151,15,24名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料22220,4411935,45120240,451,4612115；故 x 可取值为1935 或 2115；要说明这就是x 的所有可能取值，需要构造（全局）不变量，由二次方程的韦达定理，可得代数式222222ABCABBCCA 的值在题目的变换下保持不变；-3分；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -