2022年高中数学人教A版选修..《组合》教案 .pdf

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1、122 组合教学目标：知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数mn与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。教学重点：组合的概念和组合数公式教学难点：组合的概念和组合数公式授课类型：新授课课时安排：2 课时内容分析：排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无

2、关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否

3、需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问

4、题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.教学过程：一、复习引入：1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，在第n 类办法中有nm种不同的方法那么完成这件事共有12nNmmm种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m种不同的方mnC名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 12 页 -法，做第二步有2m种不同的方法，做第n 步有nm种不同的方法，那么完成这件事有12nNmmm种不同的方法3排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里

5、的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列4排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示5排列数公式：(1)(2)(1)mnAn nnnm（,m nNmn）6 阶乘：!n表示正整数1 到n的连乘积，叫做n的阶乘规定0!17排列数的另一个计算公式：mnA=!()!nnm8.提出问题：示例 1：从甲、乙、丙3 名同学中选出2 名去参加某天的一项活动，其中1 名同学参加上午的活动，1 名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例 2：从甲、乙、丙3 名同学中选出2 名去参加一项活

6、动，有多少种不同的选法？引导观察：示例 1 中不但要求选出2 名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2 只要求选出2 名同学，是与顺序无关的引出课题：组合二、讲解新课：1 组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m mn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合说明：不同元素；“只取不排”无序性；相同组合：元素相同例 1判断下列问题是组合还是排列（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中部 11 个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3）从全班 23 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员

7、三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？（4）10 个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10 个人互通电话一次，共多少个电话？问题：（1）1、2、3 和 3、1、2 是相同的组合吗？（2）什么样的两个组合就叫相同的组合2 组合数的概念：从n个不同元素中取出m mn个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号mnC表示3组合数公式的推导：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 12 页 -（1）从 4 个不同元素,a b c d中取出 3 个元素的组合数34C是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列，而从 4 个不

8、同元素中取出3 个元素的排列数34A可以求得，故我们可以考察一下34C和34A的关系，如下：组 合排列dcbcdbbdcdbccbdbcdbcddcacdaadcdaccadacdacddbabdaadbdabbadabdabdcbabcaacbcabbacabcabc,由此可知,每一个组合都对应着6 个不同的排列，因此，求从4 个不同元素中取出3 个元素的排列数34A，可以分如下两步：考虑从 4 个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C个；对每一个组合的3 个不同元素进行全排列，各有33A种方法 由分步计数原理得：34A34C33A，所以，333434AAC（2）推广：一般地，求从n个不同

9、元素中取出m个元素的排列数mnA，可以分如下两步：先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数mnC；求每一个组合中m个元素全排列数mmA，根据分步计数原理得：mnAmnCmmA（3）组合数的公式：(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm或)!(!mnmnCmn),(nmNmn且规定:01nC.三、讲解范例：例 2用计算器计算710C解：由计算器可得例 3计算：（1）47C；（2）710C；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 12 页 -（1）解：4776544!C 35；（2）解法 1：710109876547!C120解法 2：71010!10987!3!

10、3!C120例 4求证：11mnmnCmnmC证明：)!(!mnmnCmn111!(1)!(1)!mnmmnCnmnmmnm1!(1)!()(1)!mnmnm nm!()!nmnm11mnmnCmnmC例 5设,Nx求321132xxxxCC的值解：由题意可得：321132xxxx，解得24x，xN，2x或3x或4x，当2x时原式值为7；当3x时原式值为7；当4x时原式值为11所求值为4 或 7 或 11例 6 一位教练的足球队共有17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11 人问：(l)这位教练从这17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？

11、(2)如果在选出11 名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？分析：对于（1)，根据题意，17 名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11 个元素的组合问题；对于（2)，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题解：(1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C 手 12 376（种）.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 12 页 -(2）教练员可以分两步完成这件事情：第 1 步，从 17 名学员中选出 n 人组成上场小组，共有1117C种选法；第

12、2 步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有111C种选法所以教练员做这件事情的方法数有1111711CC=136136（种）.例 7（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从 10 个不同的元素中取出 2 个元素的组合数，即线段共有210109451 2C（条）.(2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10 个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10 个不同元素中取出2 个元素的排列数，

13、即有向线段共有21010 990A（条）.例 8在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品 从这 100 件产品中任意抽出 3 件.(1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？(3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100 件产品中取出3 件的组合数，所以共有310010099981 23C=161700（种）.(2）从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有12C种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有298C种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12298CC=95

14、06(种).(3）解法 1 从 100 件产品抽出的3 件中至少有1 件是次品，包括有 1 件次品和有2 件次品两种情况在第（2）小题中已求得其中1 件是次品的抽法有12298CC种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有12298CC+21298C C=9 604（种）.解法 2 抽出的 3 件产品中至少有1 件是次品的抽法的种数，也就是从100 件中抽出 3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即3310098CC=161 700-152 096=9 604（种）.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 12 页 -说明：“至少”

15、“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。变式：按下列条件，从12 人中选出 5 人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2 人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1 人当选；例 9（1）6 本不同的书分给甲、乙、丙3 同学，每人各得2 本，有多少种不同的分法？解：90222426CCC（2）从 5 个男生和4 个女生中选出4 名学生参加一次会议，要求至少有2 名男生和1名女生参加，有多少种选法？解：问题可以分成2 类：第一类 2 名男生和 2 名女生参加，有2254

16、60C C中选法；第二类 3 名男生和 1 名女生参加，有315440C C中选法依据分类计数原理，共有100 种选法错解：211546240C C C种选法引导学生用直接法检验，可知重复的很多例 104 名男生和 6 名女生组成至少有1 个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3 男，2 男 1 女，1 男 2女，分别有34C，1624CC，2614CC，所以，一共有34C+1624CC+2614CC 100 种方法解法二：（间接法）10036310CC四、组合数的两个性质组合数的性质1：mnnmnCC一般地，从n个不同元素中取出m个元素

17、后，剩下nm个元素因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的nm个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数，即：mnnmnCC在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明：)!(!)!()!(!mnmnmnnmnnCmnn又)!(!mnmnCmn，mnnmnCC名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 12 页 -说明：规定：10nC；等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；此性质作用：当2nm时，计算mnC可变为计算mnnC，能够使运算简化.例如20012002C20012

18、0022002C12002C=2002；ynxnCCyx或nyx2组合数的性质2：mnC1mnC+1mnC一般地，从121,naaa这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是mnC1，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a，一类不含有1a含有1a的组合是从132,naaa这n个元素中取出m 1 个元素与1a组成的，共有1mnC个；不含有1a的组合是从132,naaa这n个元素中取出m个元素组成的，共有mnC个根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想证明：)!1()!1(!)!(!1mnmnmnmnCCmnmn)!1(!)1

19、(!mnmmnmnn)!1(!)1(mnmnmmn)!1(!)!1(mnmnmnC1mnC1mnC+1mnC说明：公式特征：下标相同而上标差1 的两个组合数之和，等于下标比原下标多1 而上标与大的相同的一个组合数；此性质的作用：恒等变形，简化运算例 11一个口袋内装有大小不同的7 个白球和 1 个黑球，（1）从口袋内取出3 个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3 个球，使其中含有1 个黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：（1）5638C,或38C27C37C，；（2）2127C；（3）3537C例 12（1）计算：69584737CCCC；（2

20、）求证：nmC2nmC+12nmC+2nmC解：（1）原式4565664889991010210CCCCCCC；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 12 页 -证明：（2）右边1121112()()nnnnnnnmmmmmmmCCCCCCC左边例 13解方程：（1）3213113xxCC；（2）解方程：333222101xxxxxACC解：（1）由原方程得123xx或12313xx，4x或5x，又由111312313xxxN得28x且xN，原方程的解为4x或5x上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把4x和5x代入检验,这样运算量小得多.（2）原方程可化为233311

21、0 xxxCA，即5333110 xxCA，(3)!(3)!5!(2)!10!xxxx，11120(2)!10(1)(2)!xx xx，2120 xx，解得4x或3x，经检验：4x是原方程的解例 14证明：pnpmpmpnnmCCCC。证明：原式左端可看成一个班有m个同学，从中选出n个同学组成兴趣小组，在选出的n个同学中，p个同学参加数学兴趣小组，余下的pn个同学参加物理兴趣小组的选法数。原式右端可看成直接在m个同学中选出p个同学参加数学兴趣小组，在余下的pm个同学中选出pn个同学参加物理兴趣小组的选法数。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。例 15证明：110mmnmmnCCCC

22、mnmmmnCCC0（其中mn）。证明：设某班有n个男同学、m个女同学，从中选出m个同学组成兴趣小组，可分为1m类：男同学0 个，1 个，m个，则女同学分别为m个，1m个，0 个，共有选法数为110mmnmmnCCCC0mmnCC。又由组合定义知选法数为mnmC，故等式成立。例 16证明：32132nnnCCC12nnnnnC。证明：左边=32132nnnCCCnnnC=313212111nnnCCCCCCnnnCC1，其中iniCC1可表示先在n个元素里选i个，再从i个元素里选一个的组合数。设某班有n个同学，选出若干人（至少1 人）组成兴趣小组，并指定一人为组长。把这种选法按取到的人数名师资

23、料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 12 页 -i分类（，21in，），则选法总数即为原式左边。现换一种选法，先选组长，有n种选法，再决定剩下的1n人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有12n种，所以选法总数为12nn种。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。例 17证明：3222132nnnCCC222)1(nnnnnCn。证明：由于iniiinCCCCi112可表示先在n个元素里选i个，再从i个元素里选两个（可重复）的组合数，所以原式左端可看成在例3 指定一人为组长基础上，再指定一人为副组长（可兼职）的组合数。对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一

24、个人两种情况。若组长和副组长是同一个人，则有12nn种选法；若组长和副组长不是同一个人，则有22)1(nnn种选法。共有12nn+22)1(nnn22)1(nnn种选法。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。例 18第 17 届世界杯足球赛于2002 年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有32 支球队有幸参加，他们先分成8 个小组循环赛，决出16 强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级 16 强），这支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？答案是：642248824C，这题如果作为习题课应如何分析解：可分为如下几类比

25、赛：小组循环赛：每组有6 场，8 个小组共有48 场；八分之一淘汰赛：8 个小组的第一、二名组成16 强，根据抽签规则，每两个队比赛一场，可以决出8 强，共有 8 场；四分之一淘汰赛：根据抽签规则，8 强中每两个队比赛一场，可以决出4 强，共有 4场；半决赛：根据抽签规则，4 强中每两个队比赛一场，可以决出2 强，共有 2 场；决赛：2 强比赛 1 场确定冠亚军，4 强中的另两队比赛1 场决出第三、四名共有 2场.综上，共有642248824C场五、课堂练习：1 判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：（1）从 4个风景点中选出2 个安排游览，有多少种不同的方法？（2）从 4个风景点中选出

26、2 个，并确定这2 个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？27名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（）A42B21C7D63如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（）A15对B25对C30对D20对名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 12 页 -4设全集,Ua b c d，集合A、B是U的子集，若A有3个元素，B有2个元素，且ABa，求集合A、B，则本题的解的个数为（）A42B21C7D35从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有种不同的选法6从6位同学中选出2人去参加座谈会，有种不同的选法7圆上有1

27、0 个点：（1）过每 2 个点画一条弦，一共可画条弦；（2）过每 3 个点画一个圆内接三角形，一共可画个圆内接三角形8（1）凸五边形有条对角线；（2）凸n五边形有条对角线9计算：（1）315C；（2）3468CC10,A B C D E 5个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？11空间有10 个点，其中任何4 点不共面，（1）过每 3个点作一个平面，一共可作多少个平面？（2）以每 4 个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？12壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？13写出从,a b c d e这

28、5个元素中每次取出4个的所有不同的组合答案：1.（1）组合,（2）排列 2.B 3.A 4.D 5.30 6.15 7.（1）45 （2）120 8.（1）5（2）(3)/2n n9.455；2710.10；20 11.310120C；410210C12.1234444442115CCCC13.,a b c d；,a b c e；,a b d e；,a c d e；,b c d e六、小结：组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理学生探究过程：（完成如下表格）名称内容分类原理分步原理名师资料总结-精品资料欢迎下

29、载-名师精心整理-第 10 页，共 12 页 -名 称排列组合定义种数符号计算公式关系性质，七、课后作业：八、板书设计（略）九、教学反思：排列组合问题联系实际生动有趣，题型多样新颖且贴近生活，解法灵活独到但不易掌握，许多学生面对较难问题时一筹莫展、无计可施，尤其当从正面入手情况复杂、不易解决时，可考虑换位思考将其等价转化，使问题变得简单、明朗。教科书在研究组合数的两个性质mnnmnCC，11mnmnmnCCC时，给出了组合数定义的解释证明，即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一个组合问题的两种计算方法，由组合个数相等证出要证明的组合等式。这种构造法证明构思精巧，把枯燥的公式还原为有趣的实

30、例，能极大地激发学习兴趣。本文试给几例以说明。教学反思：1 注意区别“恰好”与“至少”从 6 双不同颜色的手套中任取4 只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种定义相同点不同点名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 12 页 -2 特殊元素（或位置）优先安排将 5 列车停在5 条不同的轨道上，其中a 列车不停在第一轨道上，b 列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有种3“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种4、混合问题，先“组”后“排”对某种产品的6 件不同的正品和4 件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5 次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？5、分清排列、组合、等分的算法区别(1)今有 10 件不同奖品,从中选 6 件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?(2)今有 10 件不同奖品,从中选 6 件分给三人,其中 1 人一件 1 人二件 1 人三件,有多少种分法?(3)今有 10 件不同奖品,从中选 6 件分成三份,每份 2 件,有多少种分法?6、分类组合,隔板处理从 6 个学校中选出30 名学生参加数学竞赛,每校至少有1 人,这样有几种选法?名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 12 页 -