2022年高等数学不定积分重点难点复习 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载不定积分一、基本要求1.理解原函数概念，理解不定积分的概念及性质。2.掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分。3.了解有理函数及可化为有理函数的积分方法。二、主要内容.原函数与不定积分概念三、1.原函数设在区间上)(xF可导，且)()(xfxF（或dxxfxdF)()(）就称)(xF为)(xf在的一个原函数。2.不定积分在区间上函数)(xf的所有原函数的集合，成为)(xf在区间上的不定积分，记作dxxf)(.CxFdxxf)()(其中)(xF为)(xf在上的一个原函数，C为任意常数.不定积分的性质 1.dxxfdxxfd)()(或)()(xfdxxf)2.Cxfxdf)()

2、(或Cxfdxxf)()()3.dxxfkdxxkf)()(其中k为非零常数.4.dxxgdxxfdxxgxf)()()()(.基本积分公式 1.Ckxkdx (k为常数 2.Cxudxxuu111 3.Cxdxxln1 4.Cxxdxarctan12 5.Cxxdxarcsin12 6.Cxdxxsincos 7.Cxxdxcossin 8.Cxxdxtansec2 9.Cxxdxcotcsc2 10.Cxxdxxsectansec 11.Cxxdxxcsccotcsc 12.Cedxexx 13.Caadxaxxln1 14.Cchxshxdx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-

3、第 1 页，共 11 页 -学习好资料欢迎下载 15.Cshxchxdx 16.Cxxdxcoslntan 17.Cxxdxsinlncot 18.Cxxxdxtanseclnsec 19.Cxxxdxcotcsclncsc20.Caxaxadxarctan122 21.Caxaxaaxdxln2122 22.Caxxadxarcsin22 23.2222ln()dxxxaCxa 24.2222ln()dxxxaCxa.换元积分法1.第一类换元法.(凑微分法)dxxxf)()()()()f u duF uCFxC()(xu)2.第二类换元法dxxf)(1()()()()ftt dtF tCFx

4、C()(tx)(其中)(tx单调可导，且0)(t，)(tF为)()(ttf的一个原函数).分部积分法)()()()()()(xduxvxvxuxdvxu(其中)(xu)(xv具有连续导数).有理函数与三角函数有理式的积分两个多项式的商所表示的函数称为有理函数，有理函数总可以化为多项式与真分式的代数和，而真分式总可以分解为部分分式的代数和，所以有理函数的积分可化为整式和下列四种部分分式的积分.(1)dxax1 (2)dxaxn)(1(3)dxqpxxcbx2 (4)dxqpxxcbxn)(2而求这四种积分也可用凑微分法或第二类换元法.三角函数有理式的积分，总可用万能代换2tanxu将原不定积分化

5、为u为积分变量的有理函数的积分，但对有些三角有理式的积分，有时用三角公式转化，再用前所述的基本公式或积分方法求解，可能更简便些.四、重点与难点原函数与基本积分公式换元法、分部积分法等基本积分方法抽象函数的积分名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 11 页 -学习好资料欢迎下载五、例题解析、选择题例 2 设)(xf有原函数xxln，则xdxxln（）(A)ln4121(2Cxx (B)ln2141(2Cxx(C)ln2141(2Cxx (D)ln4121(2Cxx解2)()(2xdxfdxxxfdxxfxxfx)(2)(222而1ln)ln()(xxxxf，xxf1)(，

6、故dxxxf)(dxxxx2)1(ln22Cxxx4)1(ln222Cxxxln2422所以应选(B).例 3 解下列各题，并比较其解法：(1)dxxx22(2)dxxx222 (3)dxxx232 (4)dxxx242解(1)Cxxdxdxxx)2ln(21)2(212122222.(2)dxxdxxxdxxx)221(22)2(222222Cxx2arctan2.(3)22222223)222(212212dxxxdxxxdxxxCxxdxx)2ln(2(21)221(2222(4)dxxxdxxxdxxx)242(2442222424Cxxx2arctan22233比较上述四题，发现各小

7、题的被积函数很相似，但解法却不尽相同。注意观察被积函数的特点，第一题中分子的次数比分母低一次，正好可凑微分使变量一致；第二题中分子与分母同次，需要拆项，使分子次数低于分母，即被积函数成为多项式与真分式的代数和才可积分；第三题中名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 11 页 -学习好资料欢迎下载分子次数高于分母一次，凑微分后分子分母同次，再仿第二题求解；第四题中分子次数高于分母二次，凑微分则无效，只能根据分母情况拆项仿第二题的方法求解。由此可见在不定积分的计算过程中需针对具体情况选择适当方法求解。例 5 讨论利用第一类换元法求积的几种类型(设CuFduuf)()()(1)

8、()(1)(baxdbaxfadxbaxfduufa)(1 (baxu)CuFa)(1CbaxFa)(1 (2)()(1)(1baxdbaxfandxxbaxfnnnnduufan)(1(baxun)CuFan)(1CbaxFann)(1如求dxxx243)(cos解 原式424)(cos141dxxCx)tan(414 (3)xdxfdxxxfln)(ln1)(lnduuf)(CuF)(Cxf)(ln (xuln)如求dxxx3ln2解 原式)ln2(ln23xdxCx34)ln2(43 (4)xdxfxdxxfsin)(sincos)(sinCxF)(sinxdxfxdxcoxxfcos)

9、(cossin)(CxF)(cos名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 11 页 -学习好资料欢迎下载xdxfdxxcoxxftan)(tan1)(tan2CxF)(tan如求dxxx2cos3cos解 原式xdxsinsin1312xdxsinsin412xdxxsin)sin21sin21(41Cxxsin2sin2ln41其它一些类型，例如dxxxf211)(arctan，dxxxf211)(arcsin，dxeefxx)(例 6求dxxxx221arctan分析此题先把被积函数写成221arctanxxxxxxarctan11122xxxarctan11arct

10、an2拆成两项再进行积分较方便.解dxxxx221arctanxdxxarctan)111(2dxxxxdx21arctanarctanxxddxxxxxarctanarctan11arctan2Cxxxx22)(arctan21)1ln(21arctan例 7求dxexexx2)1(解dxexexx2)1(xxdeex2)1(11xexddxeexxx111dxeeeexxxxx111名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 11 页 -学习好资料欢迎下载dxeeexxxx)11(1Cexexxx1ln1例 8求dxxx221解令txsin，则tdtdxcosdxxx22

11、1tdttdttt22cotcossincosdtt)1(csc2CttcotCxxxarcsin12例 9 求dxeexx21解令tex2，即txln2，dttdx2dxeexx21dtttt212dttt)1(22dttttt)1()1(2222dtttt)111(22Cttt)1lnln1(2Cxeexx222)1ln(2例 10 求dxxxx232)1(arctan解令txtan，tdtdx2secdxxxx232)1(arctandttttt23secsectantdtt sinttd coscoscostdttt名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 11 页

12、 -学习好资料欢迎下载CtttcossinCxxxxarctan11122例 11 求dxexxx22)11(解dxexxx22)11(dxexxxx222)1(21dxxxedxxexx222)1(2122111xdedxxexxdxxexedxxexxx222111Cxex21注：最后一步等号成立是因为可设21xex的一个原函数为)(xF，于是dxxexedxxexxx222111)(1)(221CxFxeCxFxCxex21例 12 求dxxxxx)1()2(122解12)2()1()2(1222122xxDCxxBxBxAxxxx去分母后，再比较两边同次幂的系数得41A，1411B，1

13、96172B，498C，493D于是dxxxxx)1()2(122=dxxdxx2)2(14141dxxxxdxx)1(49)38()2(196172名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 11 页 -学习好资料欢迎下载而dxxxxdxxxx1)283()12(281382243)21()21(1)1(4222xxdxxxxdCxxx312arctan32)1ln(42从而dxxxxx)1()2(1222ln1961721141ln41xxxCxxx312arctan3492)1ln(4942例 13 求dxxx527)1(解令txsin，tdtdxcosdxxx527)

14、1(tdtttcoscossin107tdtt27sectanttd tantan7Ct8tan81Cxx428)1(8.例 14 求dxxx3cossin1分析对于三角函数有理式的积分，除了用“万能代换令2tanxu”之外，往往可考虑用前面的基本积分方法.解dxxx3cossin1=dxxxxx322cossincossin =dxxx3cossin+dxxxcossin1 =-xdxcoscos13+xdxtantan1 =x2cos21+xtanln+C.例 15 求dxxx2sin2sin名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 11 页 -学习好资料欢迎下载解dx

15、xx2sin2sin=dxxxxxx2sin2)cos(sin)cos(sin21=2122)cos(sin1)cos(sin)(sin3)cos(sinxxxxdcoxsxxxd=2)cos(sin1)cos(sin)cossin3)(cossin3()cos(sin21xxxxdxxxxxxd=)cosarctan(sin3cossin3cossinln32121xxxxxx+C.例 16 求dxxxxIsin3cos2sin1,dxxxxIsin3cos2cos2.解xdxII2123+1C221sin3cos2lnsin3cos2cos3sin232CxxdxxxxxII由此得Cxxx

16、Isin3cos2ln231311CxxxIsin3cos2ln321312.例 17 求dxx311解令tx31，23)1(tx，则dtttdx)1(632.dxx311dtttt)1(6132dttt)1(63Ctt253563235)1(3)1(56xxC.例 18 计算下列各题(1)dxxfxfxfxfxf32)()()()()(.(2)设xxf22tansin)2(cos，求)(xf.(3)设xxxf)1ln()(ln，求dxxf)(.(4)已知1cos)(sin2xxf且0)0(f，求dxxxf)(sincos.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 11 页

17、 -学习好资料欢迎下载解 (1)原式 =dxxfxfxfxfxf322)()()()()(=dxxfxfxfxfxfxf22)()()()()()(=)()()()(xfxfdxfxf=Cxfxf2)()(21.(2)设tx2cos，则xxxxx22222coscos1cos1tansin=xx22cos)(cos1=22)2()2(1tt即22)2()2(1)(tttf.dxxxdxxfxf)2()2(1)()(22，即Cxxxf3)2(3121)(.(3)xxeexflnln)1ln()(ln,即有xxeexf)1ln()(.xxxxdeedxeedxxf)1ln()1ln()(xxxed

18、xee1)1ln(Ceexxx)1ln()1(.(4)xxxf22sin1cos)(sin，即2)(uuf，Cuuf331)(.由00)0(Cf，331)(uuf.xdxfdxxxfsin)(sin)(sincosxxd sinsin313Cx4sin121.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 11 页 -学习好资料欢迎下载例 19 设0sin0)(xxxxxf，求dxxf)(.解由于0)0()(lim0fxfx，可知)(xf在(,)上连续.因此)(xf的原函数一定存在，设)(xF为)(xf的一个原函数.因为)(xF可导，则)(xF必连续.0cos021)(2xxxxxF0)(lim0 xFx，1)(lim0 xFx.)(xF在0 x处连续，即有101.则)(xf的一个原函数为01cos021)(2xxxxxF.故01cos021)()(2xCxxCxCxFdxxf.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 11 页 -