2022年高考数学一轮复习三角函数的图像与性质理北师大版 .pdf
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1、学习好资料欢迎下载第三节三角函数的图像与性质【考纲下载】1能画出ysin x,ycos x,ytan x的图像,了解三角函数的周期性2借助图像理解正弦函数、余弦函数在0,2 ,正切函数在2,2上的性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质函数ysin x ycos x ytan x图象定义域RRx x2k,kZ 值域 1,1 1,1 R单调性递增区间:2k2,2k2(kZ);递减区间:2k2,2k32(kZ)递增区间:2k,2k (kZ);递减区间:2k,2k (kZ)递增区间:k2,k2(kZ)最值x2k2(kZ)时,ymax 1;x 2k2(kZ)时,ymin1 x2k(kZ)时,yma
2、x1;x2k(kZ)时,ymin1 无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心:(k,0)(kZ)对称轴:xk2,kZ对称中心:k2,0(kZ)对称轴:xk,kZ对称中心:k2,0(kZ)无对称轴周期221正切函数ytan x在定义域内是增函数吗?提示:不是正切函数ytan x在每一个区间k2,k2(kZ)上都是增函数,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页,共 14 页 -学习好资料欢迎下载但在定义域内不是单调函数,故不是增函数2当函数yAsin(x)分别为奇函数和偶函数时,的取值是什么?对于函数yAcos(x)呢?提示:函数yAsin(x),当k(kZ)时是奇函数,当k
3、2(kZ)时是偶函数;函数yAcos(x),当 k(kZ)时是偶函数,当k2(kZ)时是奇函数1函数ytan 3x的定义域为()A.xx323k,kZ B.xx6k,kZC.xx6k,kZ D.xx6k3,kZ解析:选D 由 3x2k,得x6k3,kZ.2设函数f(x)sin2x2,xR,则f(x)是()A最小正周期为 的奇函数B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为2的奇函数D最小正周期为2的偶函数解析:选B f(x)sin2x2 cos 2x,f(x)是最小正周期为 的偶函数3已知函数f(x)sinx3(0)的最小正周期为,则该函数的图像()A关于直线x3对称B关于点3,0 对称C关于直线x
4、6对称 D关于点6,0 对称解析:选B f(x)sinx3(0)的最小正周期为,2,即f(x)sin2x3.经验证可知f3sin233sin 0,即3,0 是函数f(x)的一个对称点4下列函数中,周期为,且在4,2上为减函数的是()Aysin2x2 Bycos 2x2Cysinx2 Dycosx2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页,共 14 页 -学习好资料欢迎下载解析:选A 由函数的周期为,可排除C,D.又函数在4,2上为减函数,排除B,故选 A.5函数y32cosx4的最大值为 _,此时x_.解析:函数y32cosx4的最大值为325,此时x42k,即x342k(kZ
5、)答案:5 342k(kZ)考点一三角函数的定义域和值域 例 1(1)求函数ylg(sin 2x)9x2的定义域;(2)求函数ycos2xsin x|x|4的最大值与最小值 自主解答 (1)由sin 2x0,9x20,得2k2x2k,kZ,3x3.3x2或 0 x2.函数ylg(sin 2x)9x2的定义域为x3x2或0 x2.(2)令tsin x,|x|4,t 22,22.yt2t1t12254,当t12时,ymax54,t22时,ymin122.函数ycos2xsin x|x|4的最大值为54,最小值为122.【方法规律】1三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,
6、常借助三角函数线或三角函数图像来求解2三角函数值域(或最值)的求法求解三角函数的值域(或最值)常见到以下几种类型的题目:形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)k的形式,再求值域(或最值);形如yasin2xbsin xc的三角函数,可先设sin xt,化为关于t的二次函数求值域(或最值);形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数,可先设tsin xcos x,化为关于t的二次函数求值域(或最值)(2013陕西高考)已知向量a cos x,12,b(3sin x,cos 2x),xR,设函数f(x)ab.(1)求f(x)的最小正周期;名师资料总结
7、-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页,共 14 页 -学习好资料欢迎下载(2)求f(x)在 0,2上的最大值和最小值解:f(x)cos x,12(3sin x,cos 2x)3cos xsin x12cos 2x32sin 2x12cos 2xcos6sin 2xsin6cos 2xsin2x6.(1)f(x)的最小正周期为T222,即函数f(x)的最小正周期为.(2)0 x2,62x656.由正弦函数的性质,当 2x62,即x3时,f(x)取得最大值1.当 2x66,即x0 时,f(0)12,当 2x656,即x2时,f212,故f(x)的最小值为12.因此,f(x)在 0,2上的最
8、大值为1,最小值为12.考点二三角函数的奇偶性、周期性和对称性 例 2(1)(2013 浙江高考)已知函数f(x)Acos(x)(A0,0,R),则“f(x)是奇函数”是“2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(2)(2012 福建高考)函数f(x)sinx4的图像的一条对称轴是()Ax4 Bx2Cx4 Dx2(3)(2013 江西高考)函数ysin 2x23sin2x的最小正周期T为_ 自主解答 (1)f(x)是奇函数时,2k(kZ);2时,f(x)Acos x2Asin x,为奇函数所以“f(x)是奇函数”是“2”的必要不充分条件(2)法一:(图像
9、特征)正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点,故令x4k2,kZ,则xk34,kZ.取k 1,则x4.法二:(验证法)x4时,ysin440,不合题意,排除 A;x2时,ysin2422,不合题意,排除B;x2时,ysin2422,不合题意,排除D;而x4时,ysin44 1,符合题意,C项正确,故选C.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页,共 14 页 -学习好资料欢迎下载(3)y sin 2x3(1 cos 2x)2sin2x33,最小正周期T22.答案 (1)B(2)C(3)【互动探究】本例(2)中函数f(x)的对称中心是什么?解:令x4k,kZ,则x4k,kZ.
10、故函数f(x)sinx4的对称中心为4k,0(kZ)【方法规律】函数f(x)Asin(x)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f(x)Asin(x)为偶函数,则当x0 时,f(x)取得最大或最小值;若f(x)Asin(x)为奇函数,则当x0 时,f(x)0.(2)对于函数yAsin(x),其对称轴一定经过图像的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线xx0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断1函数y2sin(3x)|2的一条对称轴为x12,则 _.解析:由ysin x的对称轴为xk2(kZ),即 312k2(kZ),得k4(kZ)又|2,
11、所以k0,故 4.答案:42函数ycos(3x)的图像关于原点成中心对称图形,则_.解析:由题意,得ycos(3x)是奇函数,故k2(kZ)答案:k2(kZ)高频考点考点三三角函数的单调性1三角函数的单调性是每年高考命题的热点,题型既有选择题也有填空题,难度适中,为中低档题2高考对三角函数单调性的考查有以下几个命题角度:(1)求已知三角函数的单调区间;(2)已知三角函数的单调区间求参数;(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)例 3(1)(2012 新课标全国卷)已知 0,函数f(x)sinx4在2,上单调递减,则 的取值范围是()A.12,54 B.12,34C.0,12 D(0,2 名师
12、资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页,共 14 页 -学习好资料欢迎下载(2)(2013 安徽高考)已知函数f(x)4cos xsinx4(0)的最小正周期为.求 的值;讨论f(x)在区间0,2上的单调性 自 主 解 答(1)由2x ,得2 4 x4 4,由 题 意 知24,4?22k,322k(k Z)且222,则2422k,kZ,4322k,kZ,且 02,故1254.(2)f(x)4cos xsinx422sin xcos x22cos2x2(sin 2xcos 2 x)22sin2x42.因为f(x)的最小正周期为,且 0,从而有22,故 1.由知,f(x)2sin2x
13、42.若 0 x2,则42x454.当42x42,即 0 x8时,f(x)单调递增;当22x454,即8x2时,f(x)单调递减综上可知,f(x)在区间0,8上单调递增,在区间8,2上单调递减 答案 (1)A 三角函数单调性问题的常见类型及解题策略(1)已知三角函数解析式求单调区间求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”;求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中,0)的单调区间时,要视“x”为一个整体,通过解不等式求解但如果0,那么一定先借助诱导公式将 化为正数,防止把单调性弄错(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间,然后利用
14、集合间的关系求解(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)形如yAsin(x)b或可化为yAsin(x)b的三角函数的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决1若函数f(x)sin x(0)在区间0,3上单调递增,在区间3,2上单调递减,则 等于()A3 B2 C.32 D.23名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页,共 14 页 -学习好资料欢迎下载解析:选 C ysin x(0)过原点,当 0 x2,即 0 x2时,ysin x是增函数;当2x32,即2x32时,ysin x是减函数由ysin x(0)在0,3上单调递增,在3,2上单调递减知,23,故 32.2求函数
15、ytan32x的单调区间解:把函数ytan32x变为y tan2x3.由k22x3k2,kZ,得k62xk56,kZ,即k212xk2512,kZ.故函数ytan32x的单调减区间为k212,k2512(kZ)课堂归纳通法领悟 个性质周期性与奇偶性(1)周期性函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为2|,ytan(x)的最小正周期为|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x的形式,而偶函数一般可化为yAcos xb的形式种方法求三角函数值域(或最值)的方法(1)利用 sin x、cos x的有界性(2)形式复杂的函数应化为yAsin(x)k的形式,逐步
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