2022年圆锥曲线解题方法技巧总结 .pdf

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1、第 1 页/共 27 页姓名学生姓名填写时间2013-12-29 学科数学年级高二教材版本人教版阶段第（1）周观察期：维护期：课题名称圆锥曲线解题方法技巧总结课时计划第（）课时共（）课时上课时间2014-1-3 教学目标大纲教学目标圆锥曲线知识点及题型回顾整理个性化教学目标培养学生分析能力和逻辑思维能力教学重点圆锥曲线知识点的综合应用教学难点掌握圆锥曲线的综合问题的处理方法教学过程名 称椭圆双曲线图 象定 义平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆 即当 22时，轨迹是当 22，轨迹是当 22时，轨迹平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即当 22时

2、，轨迹是当 22时，轨迹是当 22时，轨迹标 准方 程焦点在轴上时：焦点在轴上时：注：根据判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时：焦点在轴上时：注：根据来判断焦点在哪一坐标轴上常 数的 关系，最大，最大，可以第一部分：知识梳理名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 16 页 -第 2 页/共 27 页渐 近线焦点在轴上时：焦点在轴上时：共 焦点 方程抛物线图形方程焦点准线1.圆锥曲线的两个定义：定义 中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此 常数2a一定要大于21FF，当常数等于21FF时，轨迹是线段F1F2，当常数小于21FF时

3、，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a|F1F2|不可忽视。若2a|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是_ _（答：双曲线的左支）第二部分：题型方法技巧总结名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 16 页 -第 3 页/共 27 页如已知点)0,22(Q及抛物线42xy上一动点 P（x,y）,则 y+|PQ|的最小值是 _（答 2）2.圆锥曲

4、线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x轴上时12222byax（0ab），焦点在y轴上时2222bxay1（0ab）。方程22AxByC表示椭圆的充要条件是什么？（ABC 0，且A，B，C同号，A B）。如（1）已 知 方 程12322kykx表 示 椭 圆，则k的 取 值 范 围 为 _（答：11(3,)(,2)22）；（2）若Ryx,，且62322yx，则yx的最大值是 _，22yx的最小值是 _（答：5,2）（2）双曲线：焦点在x轴上：2222byax=1，焦点在y轴上：2222bxay1（0,0ab）。方程22AxByC表

5、示双曲线的充要条件是什么？（ABC 0，且 A，B 异号）。如设中心在坐标原点O，焦点1F、2F在坐标轴上，离心率2e的双曲线C 过点)10,4(P，则 C 的方程为 _（答：226xy）（3）抛物线：开口向右时22(0)ypx p，开口向左时22(0)ypx p，开口向上时22(0)xpy p，开口向下时22(0)xpy p。如定长为 3 的线段 AB 的两个端点在y=x2上移动，AB 中点为 M，求点 M 到 x 轴的最短距离。453.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程12122mymx表示焦点

6、在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 16 页 -第 4 页/共 27 页（答：)23,1()1,(）（2）双曲线：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，222abc

7、，在双曲线中，c最大，222cab。4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以12222byax（0ab）为例）：范围：,axabyb；焦点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为2a，短轴长为2b；准线：两条准线2axc；离心率：cea，椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆1522myx的离心率510e，则m的值是（答：3 或325）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时，则椭圆长轴的最小值为（答：22）（2）双曲线（以22221xyab（0,0ab）为例）：范

8、围：xa或,xa yR；焦点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0 xyk k；准线：两条准线2axc；离心率：cea，双曲线1e，等轴双曲线2e，e越小，开口越小，e越大，开口越大；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 16 页 -第 5 页/共 27 页两条渐近线：byxa。如（1）双曲线的渐近线方程是023yx，则该双曲线的离心率等于_（答：132或133）；（2）双曲线221axby的离心率为5，则:a

9、b=（答：4 或14）；（3）设双曲线12222byax（a0,b0）中，离心率 e2,2,则两条渐近线夹角（锐角或直角）的取值范围是 _（答：,32）；（4）已知 F1、F2为双曲线22120102009xy的左焦点,顶点为 A1、A2,P是双曲线上任意一点,则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆一定（）A相交B相切C相离D以上情况均有可能（3）抛物线（以22(0)ypx p为例）：范围：0,xyR；焦点：一个焦点(,0)2p，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴0y，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；准线：一条准线2px；离心率：cea，抛物线1e。如设Raa,0

10、，则抛物线24axy的焦点坐标为 _（答：)161,0(a）；5、点00(,)P xy和椭圆12222byax（0ab）的关系：（1）点00(,)P xy在椭圆外2200221xyab；（2）点00(,)P xy在椭圆上220220byax1；（3）点00(,)P xy在椭圆内2200221xyab6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 16 页 -第 6 页/共 27 页0是直线与双曲线相交的充分条件

11、，但不是必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（1）若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则 k 的取值范围是 _ _（答：(-315,-1)）；（2）直线 ykx 1=0 与椭圆2215xym恒有公共点，则 m 的取值范围是 _（答：1，5）（5，+）；（3）过双曲线12122yx的右焦点直线交双曲线于A、B 两点，若 AB 4，则这样的直线有 _条（答：3）；（2）相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物

12、线相切；（3）相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线2222byax1 外一点00(,)P xy的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切

13、线，共四条；P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如（1）过点)4,2(作直线与抛物线xy82只有一个公共点，这样的直线有_（答：2）；（2）过点(0,2)与双曲线116922yx有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_ _ 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 16 页 -第 7 页/共 27 页（答：44 5,33）；（3）过双曲线1222yx的右焦点作直线l交双曲线于A、B 两点，若AB4，则满足

14、条件的直线l有_条（答：3）；（4）对于抛物线C：xy42，我们称满足0204xy的点),(00yxM在抛物线的内部，若点),(00yxM在抛物线的内部，则直线l：)(200 xxyy与抛物线C 的位置关系是 _（答：相离）；（5）过抛物线xy42的焦点F作一直线交抛物线于P、Q 两点，若线段PF 与 FQ 的长分别是p、q，则qp11_（答：1）；（6）设双曲线191622yx的右焦点为F，右准线为l，设某直线m交其左支、右支和右准线分别于RQP,，则PFR和QFR的大小关系为_(填大于、小于或等于)（答：等于）；（7）求椭圆284722yx上的点到直线01623yx的最短距离（答：8 13

15、13）；（8）直线1axy与双曲线1322yx交于A、B两点。当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？当a为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？（答：3,3；1a）；7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点 F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径red，其中d表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。如（1）已知椭圆1162522yx上一点 P 到椭圆左焦点的距离为3，则点 P 到右准线的距离为_（答：353）；（2）已知抛物线方程为xy82，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于_；（3）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M

16、的坐标为 _（答：7,(2,4)）；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 16 页 -第 8 页/共 27 页（4）点 P 在椭圆192522yx上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为 _（答：2512）；（5）抛物线xy22上的两点 A、B 到焦点的距离和是5，则线段 AB 的中点到y轴的距离为 _（答：2）；（6）椭圆13422yx内有一点)1,1(P，F 为右焦点，在椭圆上有一点M，使MFMP2之值最小，则点M 的坐标为 _（答：)1,362(）；8、焦 点 三 角 形（椭 圆 或 双 曲 线 上 的 一 点 与 两 焦 点 所 构 成 的

17、三 角 形）问 题：20tan|2Sbc y，当0|yb即P为短轴端点时，maxS的最大值为bc；对于双曲线2tan2bS。如（1）短轴长为5，离心率32e的椭圆的两焦点为1F、2F，过1F作直线交椭圆于A、B 两点，则2ABF的周长为 _（答：6）；（2）设 P 是等轴双曲线)0(222aayx右支上一点，F1、F2是左右焦点，若0212FFPF，|PF1|=6，则该双曲线的方程为（答：224xy）；（3）椭圆22194xy的焦点为F1、F2，点 P为椭圆上的动点，当PF2PF1 0)上异于原点的两点，0OA OB，点 C 坐标为（0，2p）（1）求证：A,B,C 三点共线；（2）若AMBM

18、（R）且0OMAB试求点 M 的轨迹方程。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 16 页 -第 15 页/共 27 页FAPHBQFFPHy0 xA（1）证明：设221212(,),(,)22xxA xB xpp，由0OA OB得2221212120,422xxx xx xppp，又222121121(,2),(,)22xxxACxpABxxpp222211121(2)()022xxxxpxxpp，/ACAB，即 A,B,C 三点共线。（2）由（1）知直线 AB 过定点 C，又由0OMAB及AMBM（R）知 OMAB，垂足为M，所以点M 的轨迹为以OC 为直径的圆，除

19、去坐标原点。即点M 的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x 0，y 0)。15.圆锥曲线中线段的最值问题：例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,42)与到准线的距离和最小,则点P 的坐标为_(2)抛物线C:y2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标为。分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF，则PFPH，因而易发现，当A、P、F 三点共线时，距离和最小。（2）B 在抛物线内，如图，作QRl 交于 R，则当 B、Q、R三点共线时，距离和最小。解：（1）（2，2）（2）（1,41）点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化

20、的一个典型例题，请仔细体会。例 2、F是椭圆13422yx的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P 为椭圆上一动点。（1）PFPA的最小值为（2）PFPA2的最小值为分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径FP或准线作出来考虑问题。解：（1）4-5设另一焦点为F，则F(-1,0)连 AF,PF名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 16 页 -第 16 页/共 27 页542)(22FAaPAFPaFPaPAPFPA当 P是FA 的延长线与椭圆的交点时,PFPA取得最小值为4-5。（2）3 作出右准线l，作 PHl 交于 H，因 a2=4，b2=3，c2=1，a=2，c=1，e=21，PHPFPHPF2,21即PHPAPFPA2当 A、P、H 三点共线时，其和最小，最小值为3142Axca作业见附页测试卷一份！课后记本节课教学计划完成情况：照常完成提前完成延后完成学生的接受程度：完全能接受部分能接受不能接受学生的课堂表现：很积极比较积极一般不积极学生上次的作业完成情况：数量%完成质量分存在问题备注班主任签字家长或学生签字教研主任审批名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 16 页 -