2022年高中物理竞赛讲义之—程稼夫篇 .pdf

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1、电磁学静电学1、静电场的性质静电场是一个保守场，也是一个有源场。F dlou r u u r?高斯定理静电力环路积分等于零iosqE dsEuu r uu rivqdv电场强度与电势是描述同一静电场的两种办法，两者有联系babaqEdrwwu rrabE drUUu rr过程E drdUu rr一维情况下xdUE dxdxxdUEdx2、几个对称性的电场（1）球对称的电场场源E U 点电荷214oQE r14oQEr均匀对电球面Q、R214oQrRE r0rR14oQrREr14oQrRER均匀带点球体Q、R214oQrRE r14oQrREr名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第

2、1 页，共 38 页 -314oQrrRER2231342oQQRrrRErR33342o143oRrRErEr例:一半径为1R的球体均匀带电,体电荷密度为,球内有一半径为2R的小球形空腔,空腔中心与与球心相距为a,如图(1)求空腔中心处的电场Eu r(2)求空腔中心处的电势U解:(1)在空腔中任选一点p,pEuu r可以看成两个均匀带电球体产生的电场强度之差,即1212333poooErrrrEEEuu ru ru ru ru r令12aooruuu u r3poEaEuu rr这个与p在空腔中位置无关,所以空腔中心处23ooEaEuuu rr(2)求空腔中心处的电势电势也满足叠加原理pU可

3、以看成两个均匀带电球体产生电势之差即222222212123303666ooooURaRRRaEEE假设上面球面上,有两个无限小面原ijssVV,计算isV,受到除了isV上电荷之处,球面上其它电荷对isV的静电力,这个静电力包含了jsV上电荷对isV上电荷的作用力.同样jsV受到除了isV上电荷以外,球面上其它电荷对jsV上电荷的作用力,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 38 页 -这个力同样包含了isV对jsV的作用力.如果把这里的ijssVV所受力相加,则,ijssVV之间的相互作用力相抵消。出于这个想法，现在把上半球面分成无限小的面元，把每个面元上所受的静电

4、力（除去各自小面元）相加，其和就是下半球面上的电荷对上半球面上电荷的作用力。求法:222222=f224oooRQFRREERgL再观察下,均匀带电球面上的电场强度=?通常谈论的表面上电场强度是指什么?例:求均匀带电球面,Q R,单位面积受到的静电力?of解:令RRRRRVV过程无限缓慢得出此过程中静电力做功的表达式:222224222 424ooooQQQQfRRCCRRRVV221111818RooRQQRE RE RRVV228oQRE RV22214422oooQQfRRE或者算出2oofEEE表面表面名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 38 页 -而且可以推

5、广到一般的面电荷在此面上电场强度1212EEE表面例:一个半径为R,带电量为 Q 的均匀带电球面,求上下两半球之间的静电力?解:原则上,这个作用力是上半球面上的电荷受到来自下半球面的电荷产生的电场强度的空间分布,对上半球面上各电荷作用力之和,由于下半球面上电荷所产生的电场强度分布,所以这样计较有困难.例:求半径为 R,带电量为 Q 的均匀带电球面,外侧的静电场能量密度.解:静电场(真空)能量密度212oE E本题球面外侧:214oQEER22211242ooooQEfERE推论:如果在上述带电球体外侧无限空间中充满了相对电常数为rE的多向同性均匀电合质,22122rooroE E EfE E名

6、师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 38 页 -下面求张力:它等于右半球表面所收到的静电力之和2002sincos2TFRRdE2220023cossincos2ooERd202239coscosooE Rd2294ooE R前面求出过本小题:,03dE本题:导体球放在匀强电场中,产生感应电荷的分布,令为coso由于要求导体内0Eu r,0oEEEu ruu ru rQ,33oooodEE3oooE3cosooE名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 38 页 -例:一个半径为R,原不带电的导体球放置于匀强电场oEuu r中,求由于静电感应所产生的

7、感应电荷,所带来的两半球之间新增的张力.解:预备知识:一个半径为R 的均匀各向同性介质在匀强电场中受到极化,求极化电荷的分布.解:o时,odcoscosod求极化介质球,由于极化电荷所产生的介质球内的电场强度,Euu r例:带电圈环:,R q(均匀带电)求图中带电圈环与带电半直线之间的相互作用力.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 38 页 -解:这题取下面方法:先求均匀带电半直线产生的电场强度,对均匀带电圈处的电荷的作用力上图中圈环上的点离半直线两端点的距离为R,环上 P 点处的电场强度,可以用辅助14圈弧()在 P点产生的场强大小.2124oERR圈环受到合力在,

8、oq均为正值时，方向向左，大小为2121cos452424oooqFqEqRRR在达到静电平衡的整个空间中，如果有一个处于静电平衡的带电面，在计算此面上某处受到的静电力，无需用整个空间中的各带电体，面，线，点，计算对其作用之和，只需先求出此面上该处的电场强度，该表面受到的静电力。1212EEE表面其原因是，这样的计算，已经考虑了全空间电荷的作用，不必重复考虑。例：一个半径为R，带电量为Q 的均匀带点表面，求因表面带电所增加的表面张力系数。解：法一：球面上取一个小面元，半径为r，此面受两个力平衡：静电力，沿径向向处，大小为2202oofrf此面元边界上新增表面张力的合力，径向向里，设新增表面张力

9、系数为大小为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 38 页 -122sin2rrrrRVV力平衡方程：222or dfrR21122 2oof RR柱对称电场场源E U 无限长均匀带电直线（）12orln2or无限长均匀带电圈柱面（,R）(2 R)12orRr202orRorrln2orrRln2oRrR无限长均匀带电圈柱体（,R）（2R）12orRr212orrRRln2orrRL L3、带电荷粒子在电场中的运动例 1：一个带点粒子从一开始就在垂直于均匀带电的长直导线平面内运动，它从这导线旁飞过，最后与开始入射方向偏转小角度，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整

10、理-第 8 页，共 38 页 -如图，如果当粒子飞入带电直线电场中时，它的动能为kE，电量为e，导线单位长度带电量为，离导线距离处电场强度设为rE02，求=？解：本题情况，一般入射粒子速度比较大，由于速度快，所以带电直线受到的横向冲量就比较小（时间短），这样产生的角度就会如题中告知是一个小量，利用微元法处理，当带电粒子到达位置时相距位矢量为r，此刻带电粒子受力大小reeEF02，cos2cos0reFFy此刻 y 方向动力方程为dtdvmreycos20其中 dt 可以利用 x 方向动力学方程表达xvdxdt其中 dx 与 d满足关系（如图所示几何关系）coscosxvrddtrddxcosc

11、os20 xyvrddvmrey化简整理22002yvyxdvdmveyyxvmve02名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 38 页 -利用yxxxvvemvE0242104evvtgxy例 2：如图所示一很细、很长圆柱形的电子术由速度为V的匀速运动的低速电子组成，电子在电子束中均匀分布，沿电子束轴线每单位长度包含n 个电子，每个电子的电荷量-e（e0）,质量为 m，该电子束从远处沿垂直于平行板电容极板方向射向电容器，其前端（右端）于t=0 时刻刚好达到电容器左极板，电容器两极板上多开一个小孔使电子可以不受阻碍地穿过电容器两极板AB,加有如图所示的变化电压ABV，电压

12、的最大最小值分别为00,vv，周期为T，若以表示每个周期中电压处于最大的时间间隔，则)(T是周期中电压处于最小的时间间隔，已知的值正好使在ABV变化的第一个周期内通过电容器达电容器右边的所有电子，能够在某一个时刻bt形成均匀分布的一段电子束。设两级间距很小，电子穿越时间，且026eVmV,不计电子间相互作用（1）满足题给条件的，0t的值分别为？（2）试在下图中画出t=2T 那一刻，在0 2T时间内通过电容器的电子在电容器的右侧空间形成电流I,随离开右极板距离x 的变化曲线，并在图上标出图线特征点的横、纵坐标。取X 正方向为电流正方向，图中x=0 处为右极板B 的小孔位置，横坐标单位mevTS0

13、解：（1）第一个周期内通过的所有电子在通过前是一段速度为V 的均匀电子束（孔的左侧）。通过小孔以后，分成两段速度不同的电子束。0时间内，所加电压为0V，通过小孔后速度由V减小，设为V1，满足关系02122121eVmVmV T 时间内，所加电压为0V，通过小孔后速度由V 增大，设为V2，满足关系式，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 38 页 -02221212eVmVmV再由题中告知：的值正好在ABV的变化的第一个周期内通过电容器达右边的所有电子，能够在bt时刻形成均匀分布的一段电子束V 此话要求在t=bt时刻，达到小孔右侧的这两束电子束在前端应该在某处相重达到小

14、孔右侧的两电子束的长度相等由此可写方程2121)()(VtVtVTVbb得到212VVTVmeVmeVVV0022142meVmeVVV0022142meVV026所以meVV012，meVV0222)(122VVtVBTVVVtb2122（3）由于Ttb2，观察的就是这个时刻右侧空间的电流分布，应该确定两件事情：电流在空间位置的分布电流强度的大小分布名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 38 页 -电子束长度4、静电势能、电势例 1：如图所示N 对 e、-e 离子，等间距a，沿直线排列（1）设N,试确定某个e 的电势能W和-e 的电势能W（2）N 足够大时，W W近

15、似取小题（1）的结论，求系统的电势能W（3）N 足够大时，将非边缘的一对离子e、-e 一起缓慢地移到无限远，其余离子仍在原位，试求外力做的功A.提示.32)1ln(32xxxx.312112ln解：（1）.34442000aeaeaeU.)31211(20ae2ln202aeeUWUU2ln202aeeUW（2）足够大的N,2ln2)(2102aeNWNWW（4）将一个正离子缓慢移到无限远处，余下系统电势能WW此时该正离子的空位相邻的一个负离子的所具有的电势能为aeWW024smeVTVb42201smeVTV)22(22)22(01名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，

16、共 38 页 -再将该负离子移到无限远处，余下系统的电势能1WWWW无限远处负离子移到正离子旁边，这一对正负离子的电势能aeW0224利用动能关系，求出外力做功)12ln2(244)()(02020221aeaeaeWWWWWWWWWA例 2 如图两个点电荷位于X轴上，在他们形成的电场中，若取无限远处的电势为零，则 X 轴上多点的电势如图曲线所示，当0 x时，电势U;当x，电势0U，电势为零的坐标为0 x;电势极小值为0U的点的坐标为0 x（0）,试根据图线提供的信息，确定这两个点电荷所带电的符号，电量的大小以及在X轴的位置。解：由图中信息可知，带正电荷的电荷Q1在 x=0 处，由于0 xx处

17、电势为0，所以另一个点电荷必须为负（-Q2）.它在 x0 的位置上（设距离x=0 距离为 a）利用图中x=0 点电势为零方程：0021aXQkXQkOX在0 x处，合电势为0U,方程UaXQkXQkO021X在0 x处，合电力等于0,方程0)()(20221aXQkXQkO联立三个方程得到名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 38 页 -0)2(xa，kUxQ0012，kxUQ00222)1(例 3：在水平平面上有两相垂直相交的内壁光滑的联通细管，管内放置两个质量均为m，电荷量均为q 的同号带电质点为A、B,初始时质点A至两管交点O的距离为d，质点 B位于交点 O处，

18、速度相互垂直，方向如图，大小均为mdkqu20求质点运动中，它们之间的最小距离解：通常，这里应该采用两质点的相对运动处理。设运动过程中，A,B 两质点的位置矢量为,ArBr,则相对位矢为ABrrrrrer分别写出A、B两质点的动力学方程，然后写出相对动力学方程：iierkqamrA)(22jjerkqamrB)(22iierkqjjerkqaamrrAB)()()(2222rerkqam22（其中a是 B 相对 A的相对加速度）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 38 页 -B在运动时所受的力只有相反向的静电力，这个静电力是个有心力，同时又是一个保守力，上述两个方程

19、为角动量守恒，守恒量可由初始值确定。初始时，相对于A的运动为右图，守恒方程联系初态和相距最近状态，mmvr,dqkumrqkmvmduvmrmmmm220220)2(2121联系消去mv，解得mr解之前利用22020kqmdumdkqu联立解得0urdvmm，drm451例 4：电荷均匀分布在半径为R的圆面上，电荷量的密度为，试求园面边缘的电势。解：利用rdqku0，其中drrdqm2（这里m是 r 的函数）mmmdRdrRrsin2,cos2mmmmmmdRrdRrdqsin4)sin2(2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 38 页 -020sin4mmmdRk

20、u02cos4mmdRkmmmmddRkcos)cos(4020002444sin04RRRkdRkm电势和电势能例 1：当电荷连续分布时，求静电能量有两个公式udqW，udqW21试说明这两个公式的物理意义，并以平行板电容为例，分别利用上述公式求出它在电容C，蓄电量为Q 时的静电场。解：（1）利用udqW计算UrdEdAUdAdAUdqdAdq)()(UUdqdA2202121CUCQdqcqUdqdAWQ名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 38 页 -（2）利用udqW21计算)(QUdqUi,)(QUdqUi22121)(21)()(2121CUQUUUQQU

21、QUUdqW导体旁移动电荷，求外力做功例 1：如图一个原来不带电电荷的同心球壳，内外半径分别为a，b，球心处放一个点电荷，电量为 Q 现在用外力把此点电荷从球心移到无限远处，求外力做功等于多少？解：由于在Q 移动过程中，导体球壳表面感应电荷变化，所产生的电场不是静电场，因此需要另外想办法。初始时刻，Q 未移动之前，在 Q 处，导体球壳内，外表面的感应电荷产生的静电场有电势，其值：（另 Q=nq，然后逐个移动q 计算外力做功)(11()(011qQbakquuqdAdA)2)(11()(022qQbakquuqdAdA.)(11(nqQbakqdAdAnn外力做功之和名师资料总结-精品资料欢迎下

22、载-名师精心整理-第 17 页，共 38 页 -bakQnnqnQbakqnqQqQqQbakqAA11212)1(11)(.)2()()11(2其中初始吧Q=nq（分散），移到无限远，又把nq=Q（集中）,合起来做功为零。解法二：如图外力做功a-bab4其中,2020CCQWWAfbakQQA1121aba-bk222例 2：一块接地无限大导体平板，离板距离为a 处有一个带电量为Q 的点电荷，现在吧Q沿垂直于板的方向移到无限远处，求外力做多少功？解法一：上一例的解法解法二：。解法三：设移动 Q 过程中离板距离达到X，且移动缓慢，移动过程中外力始终等于作用在Q 上的静电力，即名师资料总结-精品

23、资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 38 页 -22)2(xQkF所以外力做功为aaaQkxdkQxdxkQFdxA4)1(4141222电场线例 1：计算在通过导体面上以0 为圆心，R为半径的圆上的电量等于由Q 发出的全部电量一半的条件下，求R=?解：一个方法是先求出导体面上相对于0 的表明感应电荷面密度的分布，求出半径为R的园面上电量为21时，R=?这里采用初等方法，由于导体板右侧电场强度分布是由点电荷Q 和导体板上感应电荷共同激发产生，或者等价的认为：导体板右侧电场分布是由点电荷Q 及其相应的电荷-Q 共同激发产生。由于右侧空间电场强度分布的非球形对称性，所以计算通过导体板上半

24、径为R 的园面上电通量较困难，这是因为右侧的电场，已经由Q,-Q 两点电荷产生的场叠加后形成的分布。这里采用方法是：在计算通过导体板上园面的电通量宁可不用叠加后的电场计算，而用叠加前的由Q 发出，由-Q 吸收的两个球对称的电场来处理，其结果显然是相同的。以 Q 为球心，r 为半径做一个球面假设由 Q 发出的电量为N,那么具有球对称的，由Q 发出的电通量，通过圆的电通量为224)cos1(2rrN同样，由-Q 吸收电场线，通过导体上同一个园面上的电通量必为这个值，而且通量方向相同。写出通过圆面电通量的方程：224)cos1(2221rrNN名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19

25、页，共 38 页 -3对应的 R为：aRaRtg3,3例 2：一个半径为R的接地导体球，球外距球心为d 处放置一个电量为q 的点电荷A,已知导体球面上0，区域的感应电荷量为q21，求0解：本系统球外有一个点电荷Q 和导体球上感应电荷共同激发产生的电场分布，或者说球外有一个由电荷q 及其相应的电荷qdRq如图212122224)cos1(24)cos1(221rrNdRrrNN)cos1(cosdR几何关系：RxdRqqrr2102222cos2RddRr202coscosrRdrDA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 38 页 -202201coscoscosrRd

26、rdRRrBD)1(22rRdRrd化简整理得：)3(2cos2230dRRd例 3：点电荷+q 和-q（q a.条件为02bcacabcab112例：在正 N 变形的顶点上依次分布着电荷，所带电量公差为q 的等差数列，即q，2q，3q Nq,从 N 边行中心到任意一个顶点的距离均为R，求多边形中心电场强度E 的大小解：（1）先确定N 边行带电系统在中心O 点的合场强方向当 N 为偶数时，图（b）作 N1 边中垂线XX(过 O 点)设想以XX轴将正 N 边行对折，即将右边1,2,3 多点叠加在右边N,N-1，N-2上，各点电荷量均为（N+1）q，由对称性，各点在O 点引起的电场元矢量和的方向垂

27、直于XX轴，可知原系统在O 点的和电场方向必与XX轴垂直。这是因为对折前后沿XX方向电场分量为0 当 N 奇数时，同样做中垂线XX，设想以XX为轴将正N 边行对折，即将右边 1,2,3名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 30 页，共 38 页 -多点叠加在右边N,N-1，N-2上，叠加后，除XX轴上的一个顶点的电量为qN21（下端）除外，其余多点的电量均为（N+1）q。再将与图（c）所示系统关于XX轴成完全对称的另一个系统（第二次叠加）与之叠加，叠加后的系统如图（d），此新的系统多顶点的电量均为（N+1）q，因此这个系统的中心0 点，电场强度为0，因此图（c）所示系统在O 点的电

28、场强度没有沿XX轴方向的分量。由此可知，原系统在 O 点合场强方向必与XX轴垂直，综上可知，无论N 为什么数，原系统在O 点的合场强方向垂直（2）现取 N0 为YY轴，将两个N 边行带电系统关于YY轴镜像对称地叠加如图（e），此时除 N 点电荷为 2Nq，其他多点电荷均为Nq，显然两个系统叠加后再O 点引起的合场强方向沿YO方向大小为20RNqkE,每个系统对应场强与0E关系为这就是原正N 边行中心处电场强度E的大小电偶极子观察远处电场强度时，可用一个量来代表这个电偶极子：电偶极距Lqpe名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 31 页，共 38 页 -小结：（1）电偶极子的电偶极距

29、Lqpe（2）电偶极子在其延长线方向和中垂线上的电场强度分布如图所示3011241rpE，30141rpE（3）如图所示，在 p（r，）点处，电偶极子的产生电场强度分量为3030sin41cos241rpErpEr（4）电偶极子在p（r，）处产生的电势，如图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 32 页，共 38 页 -3041rrpU，或者30cos41rpUE与 U的关系2121UUrdE,dXdUExUE柱坐标下UrUrrUUEsin1,1,（5）电偶极子在外电场的势能（如图所示）2121UUrdE2121UUrdM)cos(cos)cos(coscossinsin21122

30、12121qELqELqELdqELdqELdqELEpqELUcos名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 33 页，共 38 页 -例：解：分析t=0 时产生大的一个微粒，由于此时以及随后A板加上正电压U0，所以这个带负电的微粒，将被加速。这个微粒可以有T/2 的加速时间，在这段时间内，设微粒可以经历的路程为 X，2022221221TLmqUTax依据所给表达式20222163TmqUL2022163TLmqUL所以 xL 这个说明t=0 时产生的第一个微粒可以到达A 板设10ttt这段时间产生微粒正好能全部到达A 板，这里最后产生的那个微粒刚好能到 A 板，这个微粒产生后向A

31、 板加速的时间设为t1，则ttT12，求 t1，如图所示找方程,设加速度 a，Ldd21)(,2111211tavtad2212)2(20dav五个方程，五个未知量，联立求解得41Tt说明：41Ttt时刻产生的那个微粒未到A 板名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 34 页，共 38 页 -假设某一个时刻产生的一个微粒，将要到达但是还未到达A 板，掉过来反向加速，求到达 B 板需要多长？（近A 板时，速度为零）20222)2(212mLqUaaL20202244mqULqUmL利用题给式子20222163TmqUL423T反向向 B加速时间为)4(238382TTTT这个微粒可足够

32、时间到达B板，这种情况正好是4Tt时，在 A 板附近的那个微粒。24TtTt时间内产生的那个微粒可以肯定，这些微粒不能到达A 板，而且在距A 板前一段距离停止，然后反向加速，反之，那么这些微粒到达B板需要?1如图所示，A 板处，在02v的作用下已经经历了8T的时间，所以反向向B 的加速时间 将1，而 离 A 板 较 远 处 开 始 向B 板 加 速 到 达B 板 时 间 将，因 此24TtTt内产生的微粒，在掉头向 B加速过过程中有更富裕的时间到达B板。最后的结论：在20Ttt时间内产生的微粒，只有40Ttt内产生的微粒可以到达A 板，粒子数目为80 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整

33、理-第 35 页，共 38 页 -例：细直开口管子质量为m，可无摩擦的沿线滑行，管子均匀带电Q，长度为l.系统处于图中所示的电场中，在画箭头区域为均匀电场，场强为E,未画箭头的区域宽度为Ll、无电场。求：管子的振幅A 沿线振动的周期。解：（1）当长度为X(Xl)的管子进入到电场中时，管子受到的电场力为)(,lQEkkxQElxF可见管子进入电场的过程中受力与位移大小成正比，与位移方向相反的力作用，管子在这个阶段做简谐振动。（2）设管子振动到振幅位置，管子左（右）端进入左（右）电场边界距离为0X,由图中几何关系lALX220解得220LlAx下面分两种情况讨论管子运动周期当lx0时，即到达振幅位

34、置时，管子还未完全进入到电场区域。这种情况，管子的振动周期由两部分构成A:电场区域的一个全振动时间ETB:无电场区域来回的匀速直线运动时间0TkmTE2，00)(2vlLT式子中0v为管子做简谐振动的最大速度，即管子在无电场区域运动速度。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 36 页，共 38 页 -根据简谐振动运动过程000 xmkxv带入0T表达式)22()(2)(200LlAmklLxmklLT22220LlAlLkmkmTTTE当lx0时，即振幅位置时管子已经完全进入到电场区域，这种情况管子的振动周期由三部分组成：A、无电场区域匀速运动0TB、管子未完全进入电场区域时简谐振

35、动时间ETC、管子完全进入电场区域后，在电场中作匀变速直线运动ET设管子完全进入电场区域时速度为tv，管子在电场中作变速直线运动，速度为mQE，位移)(0lx，有)(20lxmQEvt设管子刚进入电场区域时速度，即管子做简谐振动的速度为0v，能量守恒：2220212121mklmvmvt从中解得)(2020lxmQElmkv，利用)(lQEk)2(00lxmQEv再利用简谐振动的规律tvvtcos0，得到lxlxkmvvtt0002)(2arccosarccos1这个 t 是管子在一个周期内，在电场区域作简谐振动所需时间的四分之一，因此名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 37 页，共 38 页 -lxlxkmtTE002)(2arccos44再由QElxmlLvlLT)(2)(2)(2000QElxmmQElXTE)(24)(2400QElxmlxlxkmlXQEmlLTTTTEE)(242)(2arccos4)2()(200000将)(lQEk，220LlAx带入得到最后结果。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 38 页，共 38 页 -