2022年高等代数试题及参考答案 .pdf

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1、第 1 页，共 6 页高等代数（一）考试试卷一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。错选、多选、不选均不给分，6 小题，每小题 4 分，共24 分）1.以下乘积中（）是 4 阶行列式ijDa 展开式中取负号的项.A、11223344a a a a.B、14233142a a a a.C、12233144a a a a.D、23413214a a a a.2行列式13402324a中元素a的代数余子式是（）.A、0324.B、0324.C、1403.D、1403.3设,A B都是n阶矩阵，若 ABO，则正确的是（）.A、()()r

2、Ar Bn.B、0A.C、AO或 BO.D、0A.4下列向量组中，线性无关的是（）.A、0.B、,0.C、12,r，其中12m.D、12,r，其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合.5设 A是n阶矩阵且()r Arn，则 A中（）.A、必有r个行向量线性无关.B、任意r个行向量线性无关.C、任意r个行向量构成一个极大线性无关组.D、任意一个行向量都能被其它r个行向量线性表出.6n阶矩阵 A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（）条件.A、充要.B、充分非必要.C、必要非充分.D、非充分非必要.二、判断题（正确的打，错误的打，5 小题，每小题 2 分，共 10 分）.1 若 A为n阶矩阵，

3、k 为非零常数，则 kAk A.（）2 若两个向量组等价，则它们包含的向量个数相同.（）3 对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变.（）4 正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵.（）5 任何数域都包含有理数域.（）三、填空题（每空 4分，共 24分）.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 6 页 -第 2 页，共 6 页1行列式000100200100000Dnn.2 已 知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1，则，(,).3矩阵12311211022584311112A，则()r A.4设线性方程组11 11221121 1222221122nnnnnnnnnn

4、a xa xa xba xa xa xba xa xa xb有解，其系数矩阵A与增广矩阵A的秩分别为s和t，则s与t 的大小关系是.5设111123111,124111051AB，则1A B.四、计算题（4 小题，共 42分）1计算行列式（1）111111111111aaaa；（2）111116541362516121612564.（每小题 6 分，共 12 分）2用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx的全部解.（10 分）3求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,

5、1,1)等价的正交单位向量组.（10分）4求矩阵211020413A的特征根和特征向量.（10分）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 6 页 -第 3 页，共 6 页一、单选题（每题4 分，共 24 分）题号1 2 3 4 5 6 答案B C A D A B 二、判断题（每题2 分，共 10 分）题号1 2 3 4 5 答案三、填空题（每空4 分，共 24 分）1(1)2(1)!n nn；2（1）6；（2）0；3 3；4 st；5.351222312212112.四、计算题（共 42 分）1（12 分，每小题各 6 分）(1)解：1113111111111131111

6、1(3)111311111111311111aaaaaaaaaaaaaaa.（3 分）311110100(3)(3)(1)00100001aaaaaa .（3 分）注：中间步骤形式多样，可酌情加分 (2)解：222233331111111116541654136251616541216125641654，此行列式为范德蒙行列式.（3 分）进而名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 6 页 -第 4 页，共 6 页2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654原式.（3 分）2（10 分）解：用初等变换把增广矩阵化为

7、阶梯形12132112132112132121113603177401154111222201154103177423517105017116301711631213211213210115410115410317740048510171163000000.（3 分）得同解方程组12345234534523215414851xxxxxxxxxxxx取45,xx为自由未知量，得方程的一般解为12345234534521321544185xxxxxxxxxxxx（其中45,xx为自由未知量）将450,0 xx代入得特解01551(,0,0)444.（3分）用同样初等变换，得到与导出组同解的方程组1

8、2345234534523205404850 xxxxxxxxxxxx仍取45,xx为自由未知量，得一般解12345234534523254485xxxxxxxxxxxx，将451,0 xx和450,4xx分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4).（3 分）所以，原方程组的全部解为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 6 页 -第 5 页，共 6 页01122kk，12,k k为数域 P 中任意数。.（1 分）注：答案不唯一，但同一齐次方程组的基础解系必等价。3(10 分)解：因123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5

9、,1,1)是线性无关向量组，现将123,正交化，令11，2122111(,)4(1,1,0,4)(1,1,1,1)(0,2,1,3)(,)4313233121122(,)(,)814(3,5,1,1)(1,1,1,1)(0,2,1,3)(,)(,)414(1,1,2,0).（6 分）再将向量组123,单位化，得1111111(,)2222，22214(0,2,1,3)14，3336(1,1,2,0)6.即123,就是与123,等价的正交单位向量组。.（4 分）注：答案不唯一。4（10 分）解：A 的特征多项式为2211()020(1)(2)413fEA所以 A的特征值为1,2（2重）.（4 分）1对应的齐次线性方程组为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -第 6 页，共 6 页1232123030440 xxxxxxx它的基础解系是1101，11k（10k）为 A的属于特征值1的特征向量；.（3 分）2对应的齐次线性方程组为12340 xxx它的基础解系是1144231,001；2233kk（23,kk不同时为零）为 A的属于特征值 2的特征向量.（3 分）注：答案不唯一.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -