2022年高考数学全国卷 6.pdf

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1、第1页（共 25页）2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）=（）A1+2i B12i C2+i D2i2（5 分）设集合 A=1，2，4，B=x|x24x+m=0 若 AB=1，则 B=（）A 1，3B 1，0C 1，3D 1，53（5 分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯（）A1 盏 B

2、3 盏 C 5 盏 D9 盏4（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A90B63C 42D365（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最小值是（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 25 页 -第2页（共 25页）A15 B9 C1 D96（5 分）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（）A12 种B18 种C24 种D36 种7（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的

3、成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩 看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩 根据以上信息，则（）A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩8（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的a=1，则输出的 S=（）A2 B3 C 4 D59（5 分）若双曲线 C：=1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x2）2+y2=4所截得的弦长为 2，则 C的离心率为（）A2 BC D10（5 分）已知直三棱柱ABC A1B1C1中，ABC=120 ，AB=2，BC=CC1=1，则名师资料总结-

4、精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 25 页 -第3页（共 25页）异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为（）ABC D11（5 分）若 x=2 是函数 f（x）=（x2+ax1）ex1的极值点，则 f（x）的极小值为（）A1 B2e3C5e3 D 112（5 分）已知 ABC是边长为 2 的等边三角形，P为平面 ABC内一点，则?（+）的最小值是（）A2 B C D1三、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13（5 分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次，X表示抽到的二等品件数，则DX=14（5 分）函数 f（

5、x）=sin2x+cosx（x 0，）的最大值是15（5 分）等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，则=16（5分）已知 F是抛物线 C：y2=8x的焦点，M 是 C上一点，FM 的延长线交 y轴于点 N若 M 为 FN的中点，则|FN|=三、解答题：共 70分解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤第1721题为必做题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60 分17（12 分）ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 sin（A+C）=8sin2（1）求 cosB；（2）若 a+c=6，ABC面积为 2，求 b

6、18（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 25 页 -第4页（共 25页）（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量 50kg 箱产量 50kg 旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精

7、确到 0.01）附：P（K2k）0.0500.010 0.001 K3.841 6.635 10.828 K2=19（12 分）如图，四棱锥PABCD中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90 ，E是 PD的中点（1）证明：直线 CE 平面 PAB；（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD所成角为 45，求二面角 MABD的余弦值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 25 页 -第5页（共 25页）20（12 分）设 O 为坐标原点，动点M 在椭圆 C：+y2=1 上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N

8、，点 P满足=（1）求点 P的轨迹方程；（2）设点 Q在直线 x=3上，且?=1证明：过点 P且垂直于 OQ的直线 l过 C的左焦点 F21（12 分）已知函数 f（x）=ax2axxlnx，且 f（x）0（1）求 a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且 e2f（x0）22（二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答如果多做，按所做的第一题计分 选修 4-4：坐标系与参数方程 （22（10 分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为 cos=4（1）M 为曲线 C1上的动点，点 P在线段 OM 上，且满足

9、|OM|?|OP|=16，求点P的轨迹 C2的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为（2，），点 B 在曲线 C2上，求 OAB面积的最大值 选修 4-5：不等式选讲 23已知 a0，b0，a3+b3=2，证明：（1）（a+b）（a5+b5）4；（2）a+b2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 25 页 -第6页（共 25页）2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）（2017?新课标）=（）A1+2i B12i C2+i

10、D2i【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i 的幂运算性质，求出结果【解答】解：=2i，故选 D【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数2（5 分）（2017?新课标）设集合 A=1，2，4，B=x|x24x+m=0 若 AB=1，则 B=（）A 1，3B 1，0C 1，3D 1，5【分析】由交集的定义可得1A 且 1B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合 B【解答】解：集合 A=1，2，4，B=x|x24x+m=0若 AB=1，则 1A 且 1B，可得 14+m=0，解得 m=3，即有 B=

11、x|x24x+3=0=1，3 故选：C【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 25 页 -第7页（共 25页）3（5 分）（2017?新课标）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯（）A1 盏 B 3 盏 C 5 盏 D9 盏【分析】设这个塔顶层有a 盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向

12、下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n 项公式列出方程，求出a的值【解答】解：设这个塔顶层有a 盏灯，宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2 倍，从塔顶层依次向下每层灯数是以2 为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯 381 盏，381=127a，解得 a=3，则这个塔顶层有 3 盏灯，故选 B【点评】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n 项和公式的实际应用，属于基础题4（5 分）（2017?新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理

13、-第 7 页，共 25 页 -第8页（共 25页）A90B63C 42D36【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6 的圆柱的一半，即可求出几何体的体积【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6 的圆柱的一半，V=?3210?326=63，故选：B【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（5 分）（2017?新课标）设 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最小值是（）A15 B9 C1 D9【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，

14、共 25 页 -第9页（共 25页）【解答】解：x、y 满足约束条件的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值，由解得 A（6，3），则 z=2x+y 的最小值是：15故选：A【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力6（5 分）（2017?新课标）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（）A12 种B18 种C24 种D36 种【分析】把工作分成 3 组，然后安排工作方式即可【解答】解：4 项工作分成 3 组，可得：=6，安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作

15、由 1 人完成，可得：6=36种故选：D【点评】本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考查计算能力7（5 分）（2017?新课标）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 25 页 -第10页（共 25页）A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后

16、甲说话，继而可以推出正确答案【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）乙看到了丙的成绩，知自己的成绩丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，故选：D【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题8（5 分）（2017?新课标）执行如图的程序框图，如果输入的a=1，则输出的 S=（）A2 B3 C 4 D5名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 25 页 -第11页（共 25页）【分析】执行程序框图，依次写出

17、每次循环得到的S，k 值，当 k=7 时，程序终止即可得到结论【解答】解：执行程序框图，有S=0，k=1，a=1，代入循环，第一次满足循环，S=1，a=1，k=2；满足条件，第二次满足循环，S=1，a=1，k=3；满足条件，第三次满足循环，S=2，a=1，k=4；满足条件，第四次满足循环，S=2，a=1，k=5；满足条件，第五次满足循环，S=3，a=1，k=6；满足条件，第六次满足循环，S=3，a=1，k=7；76 不成立，退出循环输出，S=3；故选：B【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础9（5 分）（2017?新课标）若双曲线 C：=1（a0，b0）的一条渐近线

18、被圆（x2）2+y2=4 所截得的弦长为 2，则 C的离心率为（）A2 BC D【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线 C：=1（a0，b0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线 C：=1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x2）2+y2=4 所截得的弦长为 2，可得圆心到直线的距离为：=，解得：，可得 e2=4，即 e=2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 25 页 -第12页（共 25页）故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应

19、用，考查计算能力10（5 分）（2017?新课标）已知直三棱柱 ABC A1B1C1中，ABC=120 ，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为（）ABC D【分析】设 M、N、P分别为 AB，BB1和 B1C1的中点，得出 AB1、BC1夹角为 MN和 NP 夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP 和MNP 的余弦值即可【解答】解：如图所示，设 M、N、P分别为 AB，BB1和 B1C1的中点，则 AB1、BC1夹角为 MN 和 NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，），可知 MN=AB1=，NP=BC1=；作 BC中点 Q，则

20、PQM 为直角三角形；PQ=1，MQ=AC，ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC22AB?BC?cos ABC=4+1221（）=7，AC=，MQ=；在MQP中，MP=；在PMN 中，由余弦定理得cosMNP=；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 25 页 -第13页（共 25页）又异面直线所成角的范围是（0，AB1与 BC1所成角的余弦值为【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题11（5 分）（2017?新课标）若 x=2 是函数 f（x）=（x2+ax1）ex1的极值点，则 f（x）的极小值为（）A

21、1 B2e3C5e3 D 1【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可【解答】解：函数 f（x）=（x2+ax1）ex1，可得 f（x）=（2x+a）ex1+（x2+ax1）ex1，x=2 是函数 f（x）=（x2+ax1）ex1的极值点，可得：4+a+（32a）=0解得 a=1可得 f（x）=（2x1）ex1+（x2x1）ex1，=（x2+x2）ex1，函数的极值点为：x=2，x=1，当 x2 或 x1 时，f（x）0 函数是增函数，x（2，1）时，函数是减函数，x=1时，函数取得极小值：f（1）=（1211）e11=1故选：A【点评】本题考查函数

22、的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 25 页 -第14页（共 25页）查计算能力12（5 分）（2017?新课标）已知 ABC是边长为 2 的等边三角形，P 为平面ABC内一点，则?（+）的最小值是（）A2 B C D1【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则 A（0，），B（1，0），C（1，0），设 P（x，y），则=（x，y），=（1x，y），=（1x，y），则?（+）=2x22y+2y2=2 x2+（y）2当

23、 x=0，y=时，取得最小值 2（）=，故选：B【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键三、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13（5 分）（2017?新课标）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100 次，X表示抽到的二等品件数，则DX=1.96【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 25 页 -第15页（共 25页）则 DX

24、=npq=np（1p）=1000.020.98=1.96故答案为：1.96【点评】本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二项分布是解题的关键14（5 分）（2017?新课标）函数 f（x）=sin2x+cosx（x 0，）的最大值是1【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出【解答】解：f（x）=sin2x+cosx=1cos2x+cosx，令 cosx=t且 t 0，1，则 f（t）=t2+t+=（t）2+1，当 t=时，f（t）max=1，即 f（x）的最大值为 1，故答案为：1【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题15（5 分

25、）（2017?新课标）等差数列 an的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，则=【分析】利用已知条件求出等差数列的前n 项和，然后化简所求的表达式，求解即可【解答】解：等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得 a2=2，数列的首项为 1，公差为 1，Sn=，=，则=2 1+=2（1）=故答案为：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 25 页 -第16页（共 25页）【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力16（5 分）（2017?新课标）已知 F是抛物线 C：y2=8x的焦点，M

26、是 C上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N若 M 为 FN的中点，则|FN|=6【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M 坐标，然后求解即可【解答】解：抛物线 C：y2=8x的焦点 F（2，0），M 是 C上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N若 M 为 FN的中点，可知 M 的横坐标为：1，则 M 的纵坐标为：，|FN|=2|FM|=2=6故答案为：6【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力三、解答题：共 70分解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤第1721题为必做题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60 分17（12 分）（2

27、017?新课标）ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 sin（A+C）=8sin2（1）求 cosB；（2）若 a+c=6，ABC面积为 2，求 b【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知A+C=B，再利用诱导公式化简sin（A+C），利用降幂公式化简8sin2，结合 sin2B+cos2B=1，求出 cosB，（2）由（1）可知 sinB=，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，sinB=4（1cosB），sin2B+cos2B=1，16（1cosB）2+cos2B=1，（17cosB 15）（cosB 1）=0，名

28、师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 25 页 -第17页（共 25页）cosB=；（2）由（1）可知 sinB=，SABC=ac?sinB=2，ac=，b2=a2+c22accosB=a2+c22=a2+c215=（a+c）22ac15=361715=4，b=2【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题18（12 分）（2017?新课标）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相

29、互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量 50kg 箱产量 50kg 旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 25 页 -第18页（共 25页）确到 0.01）附：P（K2k）0.0500.010 0.001 K3.841 6.635 10.828 K2=【分析】（1）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生

30、的频率，即可求得其概率；（2）完成 22 列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据频率分布直方图即可求得其平均数【解答】解：（1）记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由 P（A）=P（BC）=P（B）P（C），则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）5=0.62，故 P（B）的估计值 0.62，新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）5=0.66，故 P（C）的估计值为，则事件 A 的概

31、率估计值为 P（A）=P（B）P（C）=0.620.66=0.4092；A发生的概率为 0.4092；（2）22 列联表：箱产量 50kg箱产量 50kg 总计旧养殖法6238100新养殖法3466100总计96104200则 K2=15.705，由 15.7056.635，有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）由题意可知：方法一：=5（37.50.004+42.50.020+47.50.044+52.5名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 25 页 -第19页（共 25页）0.068+57.50.046+62.50.010+67.50.008），=510.

32、47，=52.35（kg）新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图的面积：（0.004+0.020+0.044）5=0.034，箱产量低于 55kg的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044+0.068）5=0.680.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+52.35（kg），新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题19（12 分）（2017?新课标）如图，四棱锥PABCD中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面A

33、BCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90 ，E是 PD的中点（1）证明：直线 CE 平面 PAB；（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD所成角为 45，求二面角 MABD的余弦值【分析】（1）取 PA的中点 F，连接 EF，BF，通过证明 CE BF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可（2）利用已知条件转化求解M 到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角 MABD的余弦值即可名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 25 页 -第20页（共 25页）【解答】（1）证明：取 PA的中点 F，连接 EF，BF，因为 E是 PD的中点，所以

34、 EFAD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90 ，BC AD，BCEF 是平行四边形，可得CE BF，BF?平面 PAB，CF?平面 PAB，直线 CE 平面 PAB；（2）解：四棱锥 PABCD中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90 ，E是 PD的中点取 AD的中点 O，M 在底面 ABCD上的射影 N 在 OC上，设 AD=2，则 AB=BC=1，OP=，PCO=60 ，直线 BM 与底面 ABCD所成角为 45，可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，作 NQAB于 Q，连接 MQ，所以 MQ

35、N 就是二面角 MABD 的平面角，MQ=，二面角 MABD的余弦值为：=名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 25 页 -第21页（共 25页）【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力20（12 分）（2017?新课标）设 O 为坐标原点，动点M 在椭圆 C：+y2=1上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P满足=（1）求点 P的轨迹方程；（2）设点 Q在直线 x=3上，且?=1证明：过点 P且垂直于 OQ的直线 l过 C的左焦点 F【分析】（1）设 M（x0，y0），由题意可得 N（x0，0），设

36、P（x，y），运用向量的坐标运算，结合 M 满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；（2）设 Q（3，m），P（cos，sin ），（0 2），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有 Q 的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为1，即可得证【解答】解：（1）设 M（x0，y0），由题意可得 N（x0，0），设 P（x，y），由点 P满足=可得（xx0，y）=（0，y0），可得 xx0=0，y=y0，即有 x0=x，y0=，代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，即有点 P的轨迹方程为圆 x2+y2=2；（2）证明：设 Q（3，m），P（cos，sin ）

37、，（0 2），?=1，可得（cos，sin）?（3cos，msin）=1，即为 3cos 2cos2+msin 2sin2=1，解得 m=，即有 Q（3，），名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 25 页 -第22页（共 25页）椭圆+y2=1的左焦点 F（1，0），由 kOQ=，kPF=，由 kOQ?kPF=1，可得过点 P且垂直于 OQ 的直线 l 过 C的左焦点 F【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：斜率之积为1，考查化简整理的运算能力，属于中档

38、题21（12 分）（2017?新课标）已知函数 f（x）=ax2axxlnx，且 f（x）0（1）求 a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且 e2f（x0）22【分析】（1）通过分析可知 f（x）0 等价于 h（x）=axalnx0，进而利用h（x）=a可得 h（x）min=h（），从而可得结论；（2）通过（1）可知 f（x）=x2xxlnx，记 t（x）=f（x）=2x2lnx，解不等式可知 t（x）min=t（）=ln210，从而可知 f（x）=0 存在两根 x0，x2，利用f（x）必存在唯一极大值点x0及 x0可知 f（x0），另一方面可知f（x0）f（）=【解答】（1）解：

39、因为 f（x）=ax2axxlnx=x（axalnx）（x0），则 f（x）0 等价于 h（x）=axalnx0，因为 h（x）=a，且当 0 x时 h（x）0、当 x时 h（x）0，所以 h（x）min=h（），又因为 h（1）=aaln1=0，所以=1，解得 a=1；（2）证明：由（1）可知 f（x）=x2xxlnx，f（x）=2x2lnx，令 f（x）=0，可得 2x2lnx=0，记 t（x）=2x2lnx，则 t（x）=2，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 25 页 -第23页（共 25页）令 t（x）=0，解得：x=，所以 t（x）在区间（0，）上单调递

40、减，在（，+）上单调递增，所以 t（x）min=t（）=ln210，从而 t（x）=0 有解，即 f（x）=0 存在两根x0，x2，且不妨设f（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+）上为正，所以 f（x）必存在唯一极大值点x0，且 2x02lnx0=0，所以 f（x0）=x0 x0lnx0=x0+2x02=x0，由 x0可知 f（x0）（x0）max=+=；由 f（）0 可知 x0，所以 f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，所以 f（x0）f（）=；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且 e2f（x0）22【点评】本题考查利用导数研究函数的

41、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题（二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答如果多做，按所做的第一题计分 选修 4-4：坐标系与参数方程 （22（10 分）（2017?新课标）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为 cos=4（1）M 为曲线 C1上的动点，点 P在线段 OM 上，且满足|OM|?|OP|=16，求点P的轨迹 C2的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为（2，），点 B 在曲线 C2上，求 OAB面积的最大值【分析】（1）设 P（x，y），利用相似得出 M 点坐标，根

42、据|OM|?|OP|=16 列方程化简即可；（2）求出曲线 C2的圆心和半径，得出 B到 OA的最大距离，即可得出最大面积名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 25 页 -第24页（共 25页）【解答】解：（1）曲线 C1的直角坐标方程为：x=4，设 P（x，y），M（4，y0），则，y0=，|OM|OP|=16，=16，即（x2+y2）（1+）=16，x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，两边开方得：x2+y2=4x，整理得：（x2）2+y2=4（x0），点 P的轨迹 C2的直角坐标方程：（x2）2+y2=4（x0）（2）点 A 的直角坐标

43、为 A（1，），显然点 A 在曲线 C2上，|OA|=2，曲线 C2的圆心（2，0）到弦 OA的距离 d=，AOB的最大面积 S=|OA|?（2+）=2+【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题 选修 4-5：不等式选讲 23（2017?新课标）已知 a0，b0，a3+b3=2，证明：（1）（a+b）（a5+b5）4；（2）a+b2【分析】（1）由柯西不等式即可证明，（2）由 a3+b3=2 转化为=ab，再由均值不等式可得：=ab（）2，即可得到（a+b）32，问题得以证明【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）（+）2=（a3+b3）24，当且仅当=，即 a=b=1时取等号，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 24 页，共 25 页 -第25页（共 25页）（2）a3+b3=2，（a+b）（a2ab+b2）=2，（a+b）（a+b）23ab=2，（a+b）33ab（a+b）=2，=ab，由均值不等式可得：=ab（）2，（a+b）32，（a+b）32，a+b2，当且仅当 a=b=1时等号成立【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 25 页，共 25 页 -