随机变量的数字特征 (2)课件.ppt

《随机变量的数字特征 (2)课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机变量的数字特征 (2)课件.ppt（82页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、随机变量的数字特征第1页，此课件共82页哦我们知道，如果了解了随机变量我们知道，如果了解了随机变量X 的概率的概率分布，那么分布，那么X 的全部概率特征也就知道了。的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的。而在一些实际应用中，人是较难确定的。而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。只要知道它的某些数字特征就够了。第2页，此课件共82页哦1.数学期望数学期望引例引例 曾有人用曾有人用20枚签（其中枚签（其中10枚标有枚标有5分分值，分分值，10枚

2、标有枚标有10分分值）设赌。让游分分值）设赌。让游客从中抽出客从中抽出10枚，以枚，以10枚签的分枚签的分值总和为奖、罚依值总和为奖、罚依据。具体奖罚据。具体奖罚金额见下表金额见下表:第3页，此课件共82页哦分值分值50,10055,9560,65,85,9070,75,80金额金额这些奖是不是这么好拿呢？让我们来做一番计算。100元元10元元不奖不罚不奖不罚罚罚1元元第4页，此课件共82页哦用用X 表示奖罚金额表示奖罚金额X 的取值范围为的取值范围为-1、0、10、100我们来分别计算我们来分别计算X取以上取以上4个值的概率：个值的概率：首先从首先从20枚签中抽取枚签中抽取10枚的取法共枚的

3、取法共有有种。种。第5页，此课件共82页哦抽到这些结果的将分别有抽到这些结果的将分别有:如果抽到如果抽到5个个5分签，分签，5个个10分签，我们将得分签，我们将得到到75分；分；而抽到而抽到6个个5分签，分签，4个个10分签时分签时,将得到将得到70分；分；抽到抽到4个个5分签，分签，6个个10分签时，将得到分签时，将得到80分。分。种情况。种情况。罚钱的概率有多大？第6页，此课件共82页哦所以所以“罚一元罚一元”的概率为的概率为:第7页，此课件共82页哦再看看得到大奖100元的概率有多大？只有抽到只有抽到10个个5分签，得到分签，得到50分时，或分时，或抽到抽到10个个10分签得到分签得到1

4、00分时，才能得到分时，才能得到100元的大奖。而这样的取法只有元的大奖。而这样的取法只有2 种情况。种情况。于是便有：于是便有：第8页，此课件共82页哦X -1 0 10 100P 0.82110 0.1778 1.0825*10-3 1.0825*10-5类似地，可以得到：类似地，可以得到：X 的概率分布为：的概率分布为：第9页，此课件共82页哦如何计算平均值？频率n1/nn2/nn3/nn4/n得分x1x2x3x4人数n1n2n3n4例例:某班考试得分如下某班考试得分如下:第10页，此课件共82页哦类类 比比设想上表中的设想上表中的第二行不是相应第二行不是相应的概率值，而是的概率值，而是

5、n次试验相应的频率值。那么在这次试验相应的频率值。那么在这n次试验次试验中，中，X 的实际平均值为：的实际平均值为：第11页，此课件共82页哦当试验次数越来越大时，频率将稳定于概当试验次数越来越大时，频率将稳定于概率。而事实上，上表中的第二行正是相应的概率。而事实上，上表中的第二行正是相应的概率值，所以，上式算出的不是率值，所以，上式算出的不是n次试验中次试验中X 的的实实际际平均值，而是：如果把试验一直进行下去，我平均值，而是：如果把试验一直进行下去，我们们期望期望能得到的能得到的理论上理论上的平均值。数学上称之的平均值。数学上称之为为数学期望（expectation），记为），记为EX。第

6、12页，此课件共82页哦定义定义1设设X是离散型随机变量，它的概率分布是离散型随机变量，它的概率分布为：为：P(X=Xk)=pk,k=1,2,如果如果有限，定义有限，定义X 的数学期望：的数学期望：第13页，此课件共82页哦定义定义2设设X是连续型随机变量，其密度函是连续型随机变量，其密度函数为数为f(x),如果如果有限，定义有限，定义X的数学期望为：的数学期望为：数学期望的统计意义数学期望的统计意义第14页，此课件共82页哦例例设设X U(a,b),求求EX解：解：第15页，此课件共82页哦例例设设X b(1,p),求求EX解：解：X01P1-pp第16页，此课件共82页哦例例在一个人数（在

7、一个人数（N)很多的团体里普查某种疾病。很多的团体里普查某种疾病。如果检验阳性率如果检验阳性率p 较低，用下面这种方法进行验血是否较低，用下面这种方法进行验血是否可以减少化验次数：可以减少化验次数：按按k 个人一组进行分组个人一组进行分组,把从把从k 个人抽来的血混合在一个人抽来的血混合在一起进行检验。如果这混合血液呈阴性反应，就说明起进行检验。如果这混合血液呈阴性反应，就说明k 个人的个人的血都呈阴性反应。若呈阳性，则再对这血都呈阴性反应。若呈阳性，则再对这k 个人的血分别进行个人的血分别进行化验。化验。如果这种方法进行验血可以减少如果这种方法进行验血可以减少化验次数的话，那么化验次数的话，

8、那么k 等于几时，可以等于几时，可以使检验次数最少？使检验次数最少？第17页，此课件共82页哦以以X 表示某人的验血次数。表示某人的验血次数。若按常规方法验血，若按常规方法验血，X=1为常数；为常数；若进行分组，则若进行分组，则X 为随机变量：为随机变量：当此人所在小组的混合血液呈阴性反应当此人所在小组的混合血液呈阴性反应时时X=1/k；当此人所在小组的混合血液呈阳性当此人所在小组的混合血液呈阳性反应时反应时 X=1+1/k。第18页，此课件共82页哦PX=1/k=P该小组的混合血液呈阴性反应该小组的混合血液呈阴性反应=P小组的每一位成员的血液均呈阴性反应小组的每一位成员的血液均呈阴性反应=（

9、1-p）kPX=1+1/k=P该小组的混合血液呈阳性反应该小组的混合血液呈阳性反应=P小组中至少有一位成员的血液呈阳性反应小组中至少有一位成员的血液呈阳性反应=1-（1-p）k第19页，此课件共82页哦X的概率分布为：的概率分布为：X1/k1+1/kp（1-p）k1-（1-p）k平均验血次数平均验血次数EX=1/k*（1-p）k+(1+1/k)*(1-（1-p）k)=1-（1-p）k+1/k第20页，此课件共82页哦当当p已知时，我们可以选取已知时，我们可以选取k使之最小。使之最小。例如例如 p=0.1，当，当k=4时，时，EX=1-0.9 k+1/4=0.594。合理验血问题合理验血问题10

10、00人所需的人所需的平均平均验血次数为：验血次数为：n=1000*0.594=594次次第21页，此课件共82页哦随机变量函数的数学期望问题的提出：问题的提出：设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计的分布，我们需要计算的不是算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期的某个函数的期望，比如说望，比如说g(X)的期望的期望.那么应该如何计算那么应该如何计算呢？呢？第22页，此课件共82页哦一种方法是，因为一种方法是，因为g(X)也是随机变量，也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知故应有概率分布，它的分布可以由已知的的X的分布求出来的分布求出来.一旦我们知道了一旦我们知道

11、了g(X)的的分布，就可以按照期望的定义把分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来。计算出来。使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的。的分布，一般是比较复杂的。第23页，此课件共82页哦另一种方法是不求另一种方法是不求g(X)的分布而只根的分布而只根据据X 的分布求得的分布求得E g(X)。基本公式基本公式:设设X是一个随机变量，是一个随机变量，Y=g(X)，则：，则：第24页，此课件共82页哦公式的推广：公式的推广：设设 Z是连续型随机变量是连续型随机变量 X,Y的函数的函数 Z=g(X,Y)，（，（g为连续函数），则有：为

12、连续函数），则有：设设 Z是离散型型随机变量是离散型型随机变量 X,Y的函数的函数 Z=g(X,Y)，（，（g为连续函数），则有：为连续函数），则有：第25页，此课件共82页哦例例 设风速设风速 V 在在（0,a）服从均匀分布。服从均匀分布。机翼上受到的压力机翼上受到的压力 W=kV2 (k0为常数）。为常数）。求求 EW解解：第26页，此课件共82页哦例例 设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度为：的概率密度为：解解：第27页，此课件共82页哦数学期望的基本性质i.设设C 是常数，则是常数，则E(C)=C;ii.若若k 是常数，则是常数，则E(kX)=k E(X);iii.E(X1+X2)

13、=E(X1)+E(X2);iv.设设X、Y 独立，则独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);第28页，此课件共82页哦例例民航送客车民航送客车解：解：设停车次数为设停车次数为Xi=1,2，10则则X=X1+X2+X10EX=EX1+EX2+EX10P(Xi=0)=P(Xi=1)=1-(9/10)20(9/10)20第29页，此课件共82页哦=8.784（次）（次）第30页，此课件共82页哦例例求二项分布的数学期望求二项分布的数学期望X B(n,p)，求，求EX 解解：X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功”次数。次数。则则X=X1+X2+Xni=1,2，n第31页，此课件共82

14、页哦E(X)=因为因为P Xi=1 =p,P Xi=0 =1-pE(Xi)=p=np可见，服从参数为可见，服从参数为n 和和p 的的二项分布二项分布的随的随机变量机变量X 的数学期望是的数学期望是np.第32页，此课件共82页哦2.方差方差上一节我们介绍了随机变量的数学期望，上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的它体现了随机变量取值的平均平均水平，是随机变水平，是随机变量的一个重要的数字特征。量的一个重要的数字特征。但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的。但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的。第33页，此课件共82页哦例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现

15、用甲、乙，现用甲、乙两台仪器各测量两台仪器各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐标上用坐标上的点表示如图：的点表示如图：甲仪器测量结果甲仪器测量结果乙仪器测量结果乙仪器测量结果测量结果的均测量结果的均值都是值都是a较好较好你认为哪台仪器较好一些呢？你认为哪台仪器较好一些呢？因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近第34页，此课件共82页哦又如又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：发炮弹，其落点距目标的位置如图：中心中心中心中心甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果你认为哪门炮射击效果好一些呢

16、你认为哪门炮射击效果好一些呢?因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.乙炮乙炮第35页，此课件共82页哦为此需要引进另一个数字特征为此需要引进另一个数字特征,用它来用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度量随机变量取值在其中心附近的离散程度度.这个数字特征就是我们这一讲要介绍的这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差第36页，此课件共82页哦方差的定义设设X是一个随机变量，若是一个随机变量，若E(X-E(X)20,或或由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若越越小，则事件小，则事件|X-EX|0,DY 0,称称为随机变量为随机变量X和和Y的相关系数的

17、相关系数。在不致引起混淆时，记在不致引起混淆时，记 为为。第62页，此课件共82页哦相关系数的性质：相关系数的性质：证证:由方差的性质和协方差的定义知，对由方差的性质和协方差的定义知，对任意实数任意实数b，有：，有：D(Y-bX)=0=b2DX+DY-2b Cov(X,Y )DY+D(bX)-2 Cov(bX,Y )第63页，此课件共82页哦D(Y-bX)=0b2DX+DY-2b Cov(X,Y )令令，则上式为，则上式为D(Y-bX)=第64页，此课件共82页哦由于方差由于方差DY 是正的是正的,故必有故必有1-0,所以所以|1。第65页，此课件共82页哦2.X和和Y独立时，独立时，=0，但

18、其逆不真，但其逆不真.由于当由于当X 和和Y 独立时，独立时，Cov(X,Y)=0.=0但由但由并不一定能推出并不一定能推出X 和和Y 独立独立.请看下例：请看下例：第66页，此课件共82页哦存在常数存在常数a,b(b0），），使使P Y=a+bX=1，即即X 和和Y 以概率以概率1 线性相关线性相关.4.X Y=0 称称 X，Y 不相关不相关第68页，此课件共82页哦相关系数刻划了相关系数刻划了X和和Y间间“线性相关线性相关”的程度的程度.相关系数的直观意义相关系数的直观意义第69页，此课件共82页哦以下几个命题等价：#Cov(X,Y)=0；#D(X+Y)=DX+DY；#E(XY)=EXEY

19、；#X Y=0；#X,Y 不相关不相关。第70页，此课件共82页哦前面，我们已经看到：前面，我们已经看到：若若X与与Y独立，则独立，则X与与Y不相关，但由不相关，但由X 与与Y 不相关，不一定能推出不相关，不一定能推出X 与与Y 独立。独立。但对下述情形，独立与不相关等价但对下述情形，独立与不相关等价若若(X,Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X 与与Y 独立独立X 与与Y 不相关不相关第71页，此课件共82页哦若二维随机变量（若二维随机变量（X,Y）具有概率密度：）具有概率密度：其中其中均为常数均为常数,且且 二维正态分布返回返回第72页，此课件共82页哦三、三、矩、协方差矩阵矩、

20、协方差矩阵设设X和和Y是随机变量，是随机变量，k阶原点矩：阶原点矩：k阶中心矩：阶中心矩：k+l 阶混合原点矩：阶混合原点矩：k,l=1,2,k+l 阶混合中心矩：阶混合中心矩：k,l=1,2,第73页，此课件共82页哦协方差矩阵的定义协方差矩阵的定义将二维随机变量将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩的四个二阶中心矩排成矩阵的形式排成矩阵的形式:称此矩阵为（称此矩阵为（X1,X2）的）的协方差矩阵协方差矩阵。第74页，此课件共82页哦类似定义类似定义n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵：的协方差矩阵：都存在都存在,i,j=1,2,n若若称矩阵：称矩阵：为为(X1,X2

21、,Xn)的协方差矩阵。的协方差矩阵。第75页，此课件共82页哦下面给出下面给出n维正态分布维正态分布的概率密度的定义的概率密度的定义.设设=(X1,X2,Xn)是一个是一个n维随机维随机向量向量,若它的概率密度为：若它的概率密度为：f(x1,x2,xn)则称则称X 服从服从n元正态分布元正态分布。第76页，此课件共82页哦其中其中C是是(X1,X2,Xn)的协方差矩阵。的协方差矩阵。|C|是它的行列式，是它的行列式，表示表示C的逆矩阵，的逆矩阵，X 和和是是n维列向量，维列向量，表示表示X 的转置。的转置。第77页，此课件共82页哦n元正态分布的几条重要性质元正态分布的几条重要性质1.X=(X

22、1,X2,Xn)服从服从n元正态分布元正态分布a1X1+a2X2+an Xn均服从正态分布均服从正态分布.对一切不全为对一切不全为0的实数的实数a1,a2,an，第78页，此课件共82页哦2.若若X=(X1,X2,Xn)服从服从n元正态分布，元正态分布，Y1,Y2,Yk 是是Xj（j=1,2,n）的线性函数，）的线性函数，则则(Y1,Y2,Yk)也服从多元正态分布也服从多元正态分布.这一性质称为正态变量的线性变换不变性。这一性质称为正态变量的线性变换不变性。第79页，此课件共82页哦3.设设(X1,X2,Xn)服从服从n元正态分布，则元正态分布，则“X1,X2,Xn 相互独立相互独立”等价于等价于“X1,X2,Xn 两两不相关两两不相关”第80页，此课件共82页哦例例2设随机变量设随机变量X和和Y相互独立且相互独立且XN(1,2),Y N(0,1)。试求。试求Z=2X-Y+3的概率密度。的概率密度。解解:XN(1,2),YN(0,1)，且，且X与与Y独立，故独立，故X和和Y的联合分布为正态分布，的联合分布为正态分布，X和和Y的任意线性组合是的任意线性组合是正态分布。正态分布。即即：Z N(*,*)EZ=2EX-EY+3=2+3=5DZ=4DX+DY=8+1=9Z N(5,32)第81页，此课件共82页哦课 间 休 息第82页，此课件共82页哦