圆锥曲线常用的二级结论.docx

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1、圆锥曲线常用的二级结论椭圆双曲线标准方程x2 + y2 = ( )1 ab0a2b2焦点 F1 (-c, 0), F2 (c, 0)x2 - y2 = ( )1 a0, b0a2b2焦点 F1 (-c, 0), F2 (c, 0)焦半径PF1 = a + ex0 , PF2 = a - ex0e 为离心率， x0 为点 P 的横坐标.PF1 = ex0 + a , PF2 = ex0 - ae 为离心率， x0 为点 P 的横坐标.焦半径范围a - c PF a + cP 为椭圆上一点， F 为焦点.PF a - cP 为双曲线上一点， F 为焦点.通径过焦点与长轴垂直的弦称为通径.2b2通径

2、长为a过焦点与实轴垂直的弦称为通径.2b2通径长为a如图，直线l 过焦点 F1 与椭圆相交于 A, B两点.则ABF2 的周长为4a .（即 F2 A + F2B + AB = 4a ）如图，直线l 过焦点 F1 与双曲线相交于A, B 两点.则 F2 A + F2 B - AB = 4a .焦点弦倾斜角为a的直线l 过焦点 F 与椭圆相交于 A, B 两点.2ab2焦点弦长 AB = (a2 - b2 )sin2a+ b2 .最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.倾斜角为a的直线l 过焦点 F 与双曲线相交于 A, B 两点.2ab2焦点弦长 AB = (a2 + b2 )sin2a- b2

3、.椭圆与双曲线对偶结论AF 与 BF数量关系直线l 过焦点 F 与椭圆相交于 A, B 两点，112a则+=.AFBFb2直线l 过焦点 F 与双曲线相交于 A, B 两点112a，则+=.AFBFb2已知点 P 是椭圆上一点， O 坐标原点， 则b PO a .已知点 P 是双曲线上一点， O 坐标原点， 则 PO a .焦三角形如图， P 是椭圆上异于长轴端点的一点， 已知F1PF2 =q， PF1F2 =a，PF2F1 = b，则q（1） S= b2 tan；PF1F22sinq（2） 离心率e =.sina+ sin b如图， P 是双曲线上异于实轴端点的一点，已知F1PF2 =q，

4、PF1F2 =a，PF2F1 = b，则2qb2（1） SPF1F2 = b cot 2 =q ；tan2 sinq（2） 离心率e =.sina- sin b垂径定理如图，已知直线l 与椭圆相交于 A, B 两点，点 M 为 AB 的中点， O 为原点，则b2kOM kAB = - a2 .如图，已知直线l 与双曲线相交于 A, B 两点，点 M 为 AB 的中点， O 为原点，则b2kOM kAB = a2 .（注：直线l 与双曲线的渐近线相交于A, B 两点，其他条件不变，结论依然成立）周角定理如图，已知点 A, B 椭圆长轴端点（短轴端点）， P 是椭圆上异于 A, B 的一点，b2则

5、 kPAkPB = - a2 .推广：如图，已知点 A, B 是椭圆上关于原点对称的两点， P 是椭圆上异于 A, B 的一点，若直线 PA, PB 的斜率存在且不为零，b2kPAkPB = - a2如图，已知点 A, B 双曲线实轴端点， P 是双曲线上异于 A, B 的一点，b2则 kPAkPB = a2 .推广：如图，已知点 A, B 是双曲线上关于原点对称的两点， P 是双曲线上异于 A, B的一点，若直线 PA, PB 的斜率存在且不为零，b2kPAkPB = a2 .直线l 过焦点 F (c, 0)与椭圆相交于 A, B a2两点，点 P c , 0 ，则APF = BPF （即

6、kPA + kPB = 0 ）.直线l 过焦点 F (c, 0)与双曲线相交于 a2A, B 两点，点 P c , 0 ，则APF = BPF （即 kPA + kPB = 0 ）.切线方程已知点 P (x0 , y0 )是椭圆上一点，则椭圆x xy y在点 P 处的切线方程为 0 + 0 = 1.a2b2已知点 P (x0 , y0 )是双曲线上一点，则双曲线在点 P 处的切线方程为 x0 x - y0 y = 1.a2b2双曲线的结论1. 过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题：x2y2设斜率为 k 的直线l 过定点 P (0, t )(t 0)，双曲线方程为 a

7、2 - b2线相切时的斜率为 k0 .b= 1(a 0, b 0)，过点 P 与双曲（1） 当0 kb时，直线l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上；a（2） 当 kb=时，直线l 与双曲线只有一个交点；a（3） 当 ka k0时，直线l 与双曲线只有一个交点； 时，直线l 与双曲线没有交点.x2y22. 如图， F (c, 0)是双曲线 a2 - b2= 1(a 0, b 0)的焦点，过点 F 作 FH 垂直双曲线的其中一条渐近线，垂足为 H ， O 为原点，则OH = a, FH = b .x2y23. 点 P 是双曲线-a2b2= 1(a 0, b 0)上任意一点，则点 P

8、到双曲线的渐近线的距离之积为定值a2b2a2 + b2 .x2y24. 点 P 是双曲线-a2b2= 1(a 0, b 0)上任意一点，过点 P 作双曲线的渐近线的平行线分别与渐ab近线相交于 M , N 两点， O 为原点，则平行四边形OMPN 的面积为定值.2抛物线的结论如图，抛物线方程为 y = 2 px (p 0)，准线 x = - p 与 x 轴相交于点 P ，过焦点 F p , 0 的直线l 与2 2抛物线相交于 A(x1, y1 )， B (x2 , y2 )两点， O 为原点，直线l 的倾斜角为a.1 1 22x x = p ,4 y1 y2= - p2.pp2焦半径： AF

9、= x1 + 2 ， BF = x2 + 2 ， AB = x1 + x2 + p .=2 p3. 焦点弦： AB.sin2a112p24. AF , BF 的数量关系：+=， AF BF =.AFBFpsin2ap25. 三角形 AOB 的面积 S AOB = 2 sina.6. 以焦点弦 AB 为直径的圆与准线相切；以焦半径 AF 为直径的圆与 y 轴相切.7. 直线 PA, PB 的斜率之和为零（ kPA + kPB = 0 ），即APF = BPF .8. 点 A, O, N 三点共线；点 B, O, M 三点共线.9. 如图，点 A, B 是抛物线 y = 2 px (p 0)， O 为原点，若AOB = 90o，则直线 AB 过定点(2 p, 0).