线性方程组的迭代法精选PPT.ppt

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1、关于线性方程组的迭代法第1页，讲稿共35张，创作于星期二引言引言直接法是通过有限步运算后得到线性方程组的解,解线性方程组还有另一种解法，称为迭代法,它的基本思想是将线性方程组 Ax=b 化为 x=Bx+f 再由此构造向量序列x(k):x(k+1)=Bx(k)+f若x(k)收敛至某个向量x*,则可得向量x*就是所求方程组 AX=b 的准确解.线性方程组的迭代法主要有Jocobi迭代法、Seidel迭代法和超松弛(Sor)迭代法.第2页，讲稿共35张，创作于星期二迭代法的特点迭代法的特点 若在求解过程中 xkx*(k)，由 xk+1=(xk)产生的迭代 xk向x*的逼近，在数次迭代求解之后，由于机

2、器跳动产生的xk值误差或是有效数字产生的舍入误差，都会在第k+1次迭代计算中自动弥补过来或逐步纠正过来。因此，在 迭代求解过程中产生的各种误差是可以忽略的，即迭代求解无累积误差，实际上，xk只是解的一个近似，机器的舍入误差并不改变它的此性质。迭代过程中经常要遇到向量范数，矩阵范数以及序列极限的概念。为此，下面先介绍这方面的知识和有关概念。单击此处即可单击此处即可第3页，讲稿共35张，创作于星期二几个基本概念及性质1.向量范数向量范数：对任一向量X，按一定规则确定一个实数与其相对应，该实数记 为|X|，若|X|满足下面三个性质：（1）|X|0，|X|=0当且仅当X=0。（2）对任意实数，|X|=

3、|X|。（3）对任意向量YRn，|X+Y|X|+|Y|。则称该实数|X|为向量X的范数2.矩阵范数矩阵范数：设A是NN 阶矩阵，定义|A|=Max（|AX|/|X|）=Max|AX|x0,xRn|x|=1,xRn 为矩阵A的(算子）范数。|Ax|A|x|第4页，讲稿共35张，创作于星期二三种常用的向量范数：三种常用的向量范数：例例：设：设 x=(1 ,-4,0,2)T 求它的向量范数求它的向量范数第5页，讲稿共35张，创作于星期二三种常用的矩阵范数：三种常用的矩阵范数：例例：设：设 A，求它的矩阵范数求它的矩阵范数 第6页，讲稿共35张，创作于星期二矩阵范数的性质：（1）对任意非零矩阵A,有|

4、A|恒为正数，当且仅当A=0，|A|=0.（2）|aA|=|a|A|（a为任意实数）（3）对于任意两个阶相同的矩阵A，B恒有|A+B|A|+|B|.（4）对于与矩阵A有相同维数的向量X，恒有|AX|A|X|.（5）对于同阶矩阵A，B 恒有|AB|.|A|B|谱半径：设 nn 阶矩阵A的特征值为 i(i=1,2,3n),则称 (A)=MAX|i|为矩阵A的谱半径.1 in 矩阵范数与谱半径之间的关系为:(A)|A|.单击此处单击此处试做例题试做例题第7页，讲稿共35张，创作于星期二5 几个定理及定义设x(k)为 Rn中的向量序列,x(*)为Rn中的向量对矩阵也有类似的结论 下一页下一页第8页，讲

5、稿共35张，创作于星期二 如果 矩阵 A=(aij)满足 n|aii|aij|i=1,2,n,j=1,ji 则称方阵则称方阵则称方阵则称方阵A A是严格是严格是严格是严格(行行行行)对角占优的对角占优的对角占优的对角占优的.a11 a12 a13 a1n a21 a22 a23 a2n A=L+D+U an1 an3 an4 ann -4 2 1例 矩阵 A=1 -9 7 2 -6 10U ULDD第9页，讲稿共35张，创作于星期二Jacobi 迭代一：设有方程组 a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2 .an1x1+an2x2+annxn=bn用矩

6、阵表示：Ax=b （A 为系数矩阵，非奇异；b为右端，x为解向量）上一页上一页第10页，讲稿共35张，创作于星期二假设 aii0 令 cij=-aij/aii (ij)gi=bi/aij,i=1,2,3,n 则 x1(k+1)=c12x2(k)+c13x3(k)+c1nxn(k)+g1 x2(k+1)=c21x1(k)+c23x3(k)+c2nxn(k)+g2 。xn(k+1)=cn1x1(k)+cn2x2(k)+cn(n-1)xn-1(k)+gn Jacobi迭代格式迭代格式若令若令 0 c12 c13 c1n x1 c21 0 c23 c2n x2BJ=x=.cn1 cn3 cn4 0 x

7、n a11 g1 a22 g=g2 易看出：BJ=D-1(D-A)=I-D-1,D=.ann gn 把方程组写成容易迭代的形式：第11页，讲稿共35张，创作于星期二Jacobi迭代公式迭代公式第12页，讲稿共35张，创作于星期二Seidel迭代法迭代法 为了加快收敛速度，同时为了节省计算机的内存，我们作如下的改进：每算出一个分量的近似值，立即用到下一个分量的计算中去，即用迭代格式：这样所得的迭代法就称为Gauss-Seidel迭代法，也称为“异步迭代法”，简称为GS迭代法利用Ax=b 及A=L+D+U,其中D为对角矩阵,L,U分别为严格下，上三角矩阵则有，GS迭代法的矩阵形式为:第13页，讲稿

8、共35张，创作于星期二Seidel迭代法的具体形式迭代法的具体形式Seidel迭代格式迭代格式 x1(k+1)=c12x2(k)+c13x3(k)+c1nxn(k)+g1 x2(k+1)=c21x1(k+1)+c23x3(k)+c2nxn(k)+g2 。xn(k+1)=cn1x1(k+1)+cn2x2(k+1)+cn(n-1)xn-1(k+1)+gn 假设 aii0 令 cij=-aij/aii (ij)gi=bi/aij,i=1,2,3,n 第14页，讲稿共35张，创作于星期二收敛性及误差估计Jacobi迭代和GS迭代格式可表述为统一形式:对于其收敛性，我们有如下定理：定理：对任意初始向量x

9、(0)及任意右段向量 g，由此产生的迭代向量序列x(k)收敛的充要条件是证明：必要性：设x(k)收敛，其极限为 x*，则第15页，讲稿共35张，创作于星期二因上式对任意均成立，故Bk 0 (k ),(B)1 充分性：设(B)1,则IB为非奇异阵,且 =0,所以 有唯一解,记为 则 定理：若|B|R THEN R=ABS(S(I)-T)240 NEXT I250 PRINT K;”-”;:FOR I=1 TO N:PRINT“X(;I;”)=“;INT(X(I)*100000+0.5)/100000;:NEXT I:PRINT 255 IF R1 THEN 280 260 NEXT K.:第28

10、页，讲稿共35张，创作于星期二270 PRINT“DRE DAI SH BAI”280END290DATA 10,-1,-2,7.2300DATA-1,10,-2,8.3310DATA-1,-1,5,4.2320DATA 0,0,0 RUN?3,10E-6,20 返回第29页，讲稿共35张，创作于星期二五.方法优缺点讨论由以上例题的求解过程可明显看出GS迭代法的收敛速度比简单迭代法快，但对于任意给定的一个方程组分别用简单迭代法和GS迭代法求解时，两种迭代法可能都收敛，也可能都不收敛也有可能是GS迭代法收敛而J迭代法不收敛但亦有相反情况，即简单迭代法收敛而GS迭代法不收敛而且交换方程组中的方程和

11、未知数的次序都会影响GS迭代法的计算结果，但这种交换对简单迭代法是没有影响的返回第30页，讲稿共35张，创作于星期二SOR法介绍法介绍利用利用Seidel Seidel 迭代法迭代法 ，考虑如下，考虑如下Sor Sor 迭代格式迭代格式一步一步SeidelSeidel迭代迭代松弛因子松弛因子Sor Sor 迭代格式也是线性迭代形式迭代格式也是线性迭代形式第31页，讲稿共35张，创作于星期二第32页，讲稿共35张，创作于星期二第33页，讲稿共35张，创作于星期二举例检验举例检验Jacoai迭代的收敛性迭代的收敛性以知三阶线性方程组：8x1-3x2+2x3=204x1+11x2-x3=336x1+3x2+12x3=36首先将原方程组写为迭代形式的方程组，即：x1=20/8 0+3/8 x2 2/8x3x2=33/114/11x1 0+1/11x3x3=36/12 6/12x1 3/12x2 0求任一行之和的最大值1,即：|M|=max5/8,5/11,9/12=9/121i或求任一列之和的最大值1,即：|M|1=max114/132,60/96,30/88=114/1321结论：该方程组采用Jacoai迭代法计算是收敛的。第34页，讲稿共35张，创作于星期二感感谢谢大大家家观观看看第35页，讲稿共35张，创作于星期二