离散型随机变量及其分布函数PPT讲稿.ppt

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1、离散型随机变量及其分布函数离散型随机变量及其分布函数第1页，共32页，编辑于2022年，星期日一、离散型随机变量的分布函数一、离散型随机变量的分布函数离散型离散型(1)离散型离散型 若随机变量所有可能的取值为有限个或可列无若随机变量所有可能的取值为有限个或可列无穷个，则称其为离散型随机变量穷个，则称其为离散型随机变量.观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数.随机变量随机变量 X 的可能值是的可能值是:随机变量随机变量连续型连续型实例实例11,2,3,4,5,6.非离散型非离散型其它其它第2页，共32页，编辑于2022年，星期日实例实例2 若随机变量若随机变量 X 记为记为“连续射击连

2、续射击,直至命中时直至命中时的射击次数的射击次数”,则则 X 的可能值是的可能值是:实例实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次,则随机变量则随机变量 X 记为记为“击中目标击中目标的次数的次数”,则则 X 的所有可能取值为的所有可能取值为:第3页，共32页，编辑于2022年，星期日实例实例2 随机变量随机变量 X 为为“测量某零件尺寸时的测误差测量某零件尺寸时的测误差”.则则 X 的取值范围为的取值范围为 (a,b)内的任一值内的任一值.实例实例1 随机变量随机变量 X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.(2)连续型连续型

3、若若随机变量所有可能的取值可以连续随机变量所有可能的取值可以连续地充满某个区间地充满某个区间,则称其为则称其为连续型随机变量连续型随机变量.则则 X 的取值范围为的取值范围为 第4页，共32页，编辑于2022年，星期日说明说明 定义定义第5页，共32页，编辑于2022年，星期日离散型随机变量的分布律也可表示为离散型随机变量的分布律也可表示为或或第6页，共32页，编辑于2022年，星期日例例1 1 设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号灯设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号灯.每每盏灯以盏灯以 的概率禁止汽车通过的概率禁止汽车通过.以以 表示汽车首次停下时已经过的信号灯盏数（信号表示汽车首

4、次停下时已经过的信号灯盏数（信号灯的工作是相互独立的），求灯的工作是相互独立的），求 的分布律的分布律.第7页，共32页，编辑于2022年，星期日分布函数分布律离散型随机变量的分布函数与其分布律之间的关系：离散型随机变量的分布函数与其分布律之间的关系：也就是：也就是：第8页，共32页，编辑于2022年，星期日二、常见离散型随机变量的概率分布二、常见离散型随机变量的概率分布 设随机变量设随机变量 X 只取只取0与与1两个值两个值,它的分布律为它的分布律为1.两点分布两点分布则称则称 X 服从服从(0-1)分布分布或或两点分布两点分布或或伯努利分布伯努利分布.第9页，共32页，编辑于2022年，星

5、期日 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两任何一个只有两种可能结果的随机现象种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布都属于两点分布.说明说明第10页，共32页，编辑于2022年，星期日2.二项分布二项分布若若X的分布律为：的分布律为：称随机变量称随机变量X X服从参数为服从参数为n,pn,p的的二项分布二项分布。记为。记为 ,其中其中q q1 1p p二项分布二项分布两点分布两点分布第11页，共32页，编辑于2022年，星期日分析分析 这是不放回抽样这是不放回抽

6、样.但由于这批元件的总数很大但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此因而此抽样可近似当作放回抽样来处理抽样可近似当作放回抽样来处理.例例2第12页，共32页，编辑于2022年，星期日解解第13页，共32页，编辑于2022年，星期日图示概率分布图示概率分布第14页，共32页，编辑于2022年，星期日解解因此因此例例3第15页，共32页，编辑于2022年，星期日3.泊松分布泊松分布 第16页，共32页，编辑于2022年，星期日泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初罗瑟福和

7、盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放射出的与分析放射性物质放射出的 粒子个数的情况时粒子个数的情况时,他们做了他们做了2608 2608 次观察次观察(每次时间为每次时间为7.5 7.5 秒秒)，发现，发现放射性物质在规定的一段时间内放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子其放射的粒子数数X 服从泊松分布服从泊松分布.第17页，共32页，编辑于2022年，星期日地震地震 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换

8、台的电话呼唤次数等都服从泊松分布话呼唤次数等都服从泊松分布.火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水第18页，共32页，编辑于2022年，星期日电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等,都服从泊松分布都服从泊松分布.第19页，共32页，编辑于2022年，星期日泊松定理泊松定理证明证明第20页，共32页，编辑于20

9、22年，星期日第21页，共32页，编辑于2022年，星期日二项分布二项分布 泊松分布泊松分布n很大很大,p 很小很小上面我们提到上面我们提到第22页，共32页，编辑于2022年，星期日 ：设：设1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数出事故的次数为为 X,则则可利用泊松定理计算可利用泊松定理计算所求概率为所求概率为解解例例4 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设每辆汽车设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率在一天的某段时间内出事故的概率为为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通辆汽车通过过,问出事故的次数不小于问出事故

10、的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?第23页，共32页，编辑于2022年，星期日4.几何分布几何分布 若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为则称则称 X 服从服从几何分布几何分布.实例实例 设某批产品的次品率为设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回对该批产品做有放回的抽样检查的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止直到第一次抽到一只次品为止(在此之在此之前抽到的全是正品前抽到的全是正品),那么所抽到的产品数目那么所抽到的产品数目 X 是一个是一个随机变量随机变量,求求X 的分布律的分布律.第24页，共32页，编辑于2022年，星期日所以所以 X 服从几何分布服从几何分布.说明说

11、明 几何分布可作为描述某个试验几何分布可作为描述某个试验 “首次成功首次成功”的概率模型的概率模型.解解第25页，共32页，编辑于2022年，星期日5.超几何分布超几何分布设设X的分布律为的分布律为 超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到.说明说明第26页，共32页，编辑于2022年，星期日1.常见离散型随机变量的分布常见离散型随机变量的分布两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布几何分布几何分布三、内容小结三、内容小结超几何分布超几何分布第27页，共32页，编辑于2022年，星期日第28页，共32页，编辑于2022年，星期日二项分布二项分布泊

12、松分布泊松分布两点分布两点分布第29页，共32页，编辑于2022年，星期日例例1 1 为了保证设备正常工作为了保证设备正常工作,需配备适量的维修工人需配备适量的维修工人(工人工人配备多了就浪费配备多了就浪费,配备少了又要影响生产配备少了又要影响生产),现有同类型设备现有同类型设备300台台,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们我们也只考虑这种情况也只考虑这种情况),问至少需配备多少工人问至少需配备多少工人,才能保证设才能保证设备发生故障但不能及时维修的概

13、率小于备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?解解所需解决的问题所需解决的问题使得使得合理配备维修工人问题合理配备维修工人问题备份题备份题第30页，共32页，编辑于2022年，星期日由泊松定理得由泊松定理得故有故有即即个工人个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于概率小于0.01.故至少需配备故至少需配备8第31页，共32页，编辑于2022年，星期日例例2 (人寿保险问题人寿保险问题)有有2500个同年龄同社会阶层的人个同年龄同社会阶层的人在保险公司里参加了人寿保险在保险公司里参加了人寿保险,在每一年里每个人死亡在每一年里每个人死亡的概率为的概率为0.002,每个参加保险的人在每个参加保险的人在1月月1日付日付12元保元保险费险费,而在死亡时而在死亡时,家属可在公司里领取家属可在公司里领取2000元元.问问(1)保险公司亏本的概率是多少保险公司亏本的概率是多少?(2)保险公司获利不少于一万元的概率是多少保险公司获利不少于一万元的概率是多少?保险公司在保险公司在1月月1日的收入是日的收入是 2500 12=30000元元解解:设设X表示这一年内的死亡人数表示这一年内的死亡人数,则则第32页，共32页，编辑于2022年，星期日