高等数学映射与函数课件.ppt

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1、高等数学课件映射与高等数学课件映射与函数函数第1页，此课件共78页哦一、集合一、集合1.1.集合概念集合概念:集合：集合：具有某种具有某种特定属性特定属性的事物的全体的事物的全体.用用A、B、C 表示表示.第2页，此课件共78页哦有限集：有限集：由有限个元素构成的集合由有限个元素构成的集合.无限集：无限集：由无限个元素构成的集合由无限个元素构成的集合.集合的元素：集合的元素：组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的 元素元素.用用a,b,c表示表示.集合的表示法：集合的表示法：列举法：列举法：按任意顺序列出集合的所有元素按任意顺序列出集合的所有元素,并用并用 花括号花括号

2、括起来括起来.特点：特点：具有明显性具有明显性,适用于有限集适用于有限集.第3页，此课件共78页哦构造式法：构造式法：集合与元素间的关系：（属于）集合与元素间的关系：（属于）集合与集合的关系：（包含）集合与集合的关系：（包含）特点：特点：具有明确性具有明确性,适用于任何集合适用于任何集合.第4页，此课件共78页哦数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集集合集合A内排除内排除0的数集的数集.集合集合A内排除内排除0与负数的数集与负数的数集.集合集合集合集合集合集合集合集合集合集合第5页，此课件共78页哦不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为

3、空集空集.空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.若若 ，且，且 ,则称则称A是是B的真子集的真子集,记为记为 .第6页，此课件共78页哦2、集合的运算、集合的运算 是二个集合，定义是二个集合，定义设设A、B(A与与B的的并集并集)(A与与B的的交集交集)(A与与B的的差集差集)设设I表示我们研究某个问题的全体表示我们研究某个问题的全体,则其他集合则其他集合A都是都是I的子集的子集,称称I为全集或基本集为全集或基本集.A的余集或补集记为的余集或补集记为:例如例如:在实数集在实数集R中中则有则有第7页，此课件共78页哦设设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立：为任意三个集合，则有下列法则

4、成立：（1）交换律）交换律（2）结合律）结合律（3）分配律）分配律（4）对偶律）对偶律以上这些法则都可以根据集合相等的定义验证以上这些法则都可以根据集合相等的定义验证.第8页，此课件共78页哦证明证明:两个集合的并集的余集等于它们的余集的交集两个集合的并集的余集等于它们的余集的交集.证明证明:且且且且反之反之,且且注注:在以后的证明中在以后的证明中,“”表示表示“推出推出”(或或“蕴含蕴含”),“”表示表示“等价等价”.且且于是于是第9页，此课件共78页哦直积或笛卡儿乘积直积或笛卡儿乘积例如：例如：为为xOy面上全体点的集合，面上全体点的集合，记为记为RR第10页，此课件共78页哦区间区间:是

5、指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个这两个实数叫做区间的端点实数叫做区间的端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,3.区间和邻域区间和邻域第11页，此课件共78页哦称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.第12页，此课件共78页哦无限区间无限区间用数轴可以表示区间用数轴可以表示区间,区间常用区间常用I表示表示.引进记号：引进记号：（读作（读作无穷大无穷大）（读作（读作正无穷大正无穷大）+(读作读作负无穷大负无穷大

6、）第13页，此课件共78页哦邻域邻域:邻域就是开区间邻域就是开区间第14页，此课件共78页哦 点点a的去心邻域：的去心邻域：注注 若不强调若不强调的大小，点的大小，点a的邻域记为的邻域记为U(a)点点a的左的左邻域邻域:开区间开区间(a-,-,a)点点a的右的右邻域邻域:开区间开区间(a,a+)+)第15页，此课件共78页哦二、映射1.映射(mapping)的概念第16页，此课件共78页哦第17页，此课件共78页哦2.关于映射定义的说明(1)构成映射的三要素构成映射的三要素:)3(第18页，此课件共78页哦3.单射、满射、一一映射单射、满射、一一映射第19页，此课件共78页哦例例1 1该映射既

7、非单射该映射既非单射,又非满射又非满射.第20页，此课件共78页哦例例2该映射的几何意义该映射的几何意义:将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到投影到 x 轴的区间轴的区间1,1上上.该映射不是单射该映射不是单射,是满射是满射.第21页，此课件共78页哦例例3 3该映射既是单射该映射既是单射,又是满射又是满射,故而是一一映射故而是一一映射.第22页，此课件共78页哦4.逆映射与复合映射逆映射与复合映射第23页，此课件共78页哦注意注意:第24页，此课件共78页哦例例4 4第25页，此课件共78页哦映射又称为映射又称为算子算子.根据集合根据集合X、Y的

8、不同情形的不同情形,在不同的数学分支中在不同的数学分支中,映映射又有不同的惯用名称射又有不同的惯用名称.如如:从非空集合从非空集合X到数集到数集Y的映射又称为的映射又称为X上的上的泛函泛函.从非空集合从非空集合X到它自身的映射又称为到它自身的映射又称为X上的上的变换变换.从实数集从实数集(或其子集或其子集)X到实数集到实数集Y的映射称为定义在的映射称为定义在X上的上的函数函数.第26页，此课件共78页哦注意注意:只有单射才存在逆映射只有单射才存在逆映射.例例1,2,3中中,只有例只有例3有逆映射有逆映射:第27页，此课件共78页哦三、函数三、函数1.1.函数概念函数概念因变量自变量定义定义 设

9、数集设数集 ，则称映射，则称映射 为定义在为定义在D上上的函数，通常简记为的函数，通常简记为D称为定义域称为定义域,记作记作 ,即即 .第28页，此课件共78页哦对每个对每个 ,按对应法则按对应法则 f 总有唯一确定的总有唯一确定的值值y与之对应与之对应,这个值称为函数这个值称为函数f 在在x处的函数值处的函数值,记记作作f(x),即即y=f(x).函数值函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数的全体所构成的集合称为函数f 的值的值 域域,记作记作 或或 f(D),即即第29页，此课件共78页哦函数是从实数集到实数集的映射函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在其值域总在R内内.函数的函数的两

10、要素两要素:定义域定义域 与对应法则与对应法则 f.如果两个函数的定义域相同如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的否则就是不同的.作业第作业第7题题第30页，此课件共78页哦约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有定义域是自变量所能取的使算式有(实际实际)意义意义的一切实数值的一切实数值.如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数单值函数，否，否则叫与则叫与多值函数多值函数例如例如:第31页，此课件共

11、78页哦对于多值函数对于多值函数,往往只要附加一些条件往往只要附加一些条件,就可以将它就可以将它化为单值函数化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支单值分支.例如例如,在由方程在由方程给出的对应法则中给出的对应法则中,附加附加“”的条件的条件,就可得到一个单值分支就可得到一个单值分支第32页，此课件共78页哦表示函数的主要方法有三种表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、表格法、图形法、解析法（公式法）解析法（公式法）.定义定义:点集点集称为函数称为函数的图形的图形.第33页，此课件共78页哦 (1)符号函数符号函数几个特殊的函数举例几个特殊的函

12、数举例1-1xyo定义域定义域 D=(,+),值域值域 =1,0,1.第34页，此课件共78页哦(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过x的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线1.2-2.5=1=-330定义域定义域 D=(=(,+),+),值域值域 =Z Z.第35页，此课件共78页哦例例3 函数函数y=2它的定义域它的定义域值域值域它的图形是一条平行它的图形是一条平行于于x轴的直线轴的直线.Oxyy=2第36页，此课件共78页哦例例4 函数函数定义域定义域 D=(=(,+),+),这个函数称为绝对值函数

13、这个函数称为绝对值函数.Oxy值域值域 =0,+).第37页，此课件共78页哦绝对值绝对值:运算性质运算性质:绝对值不等式绝对值不等式:第38页，此课件共78页哦分段函数：分段函数：在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法对应法 则用不同的式子来表示的函数则用不同的式子来表示的函数,称为称为 分段函数。分段函数。第39页，此课件共78页哦例例5 函数函数是一个分段函数是一个分段函数.它的定义域它的定义域 D=0,+).=0,+).如如:yxO1第40页，此课件共78页哦例例6 6解：解：分段函数的定义域，是使函数有定义的实分段函数的定义域，是使函数有定义的实数的全体数的全体.故

14、（故（1）的定义域的定义域 （2）的定义域的定义域第41页，此课件共78页哦第42页，此课件共78页哦2、函数的特性、函数的特性M-Myxoy=f(x)D有界有界无界无界M-MyxoD1函数的有界性函数的有界性:第43页，此课件共78页哦(2)(2)有界与否是和有界与否是和D有关的有关的.(1)(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的当一个函数有界时，它的界是不唯一的.注意注意:使使(3)证明无界的方法证明无界的方法:对于任意正数对于任意正数 M,总存在总存在第44页，此课件共78页哦1.有界有界4.无界无界,有界有界.第45页，此课件共78页哦2函数的单调性函数的单调性:xyo第46页，此课

15、件共78页哦xyo第47页，此课件共78页哦3.单调增单调增4.单调减单调减,单调增单调增.第48页，此课件共78页哦3函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数yxox-xsocx第49页，此课件共78页哦奇函数奇函数yxox-xSinx，tanx第50页，此课件共78页哦5.偶函数偶函数6.奇函数奇函数7.非奇非偶函数非奇非偶函数第51页，此课件共78页哦4函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.函数函数sinx,cosx的周期是的周期是函数函数tanx的周期是的周期是第52页，此课件共78页哦有理数点有理数点无理数点无理数点1

16、xyo例例10 狄利克雷函数狄利克雷函数它是一个周期函数它是一个周期函数,任何有理数都是它的周期任何有理数都是它的周期,但它没有最小正周期但它没有最小正周期.第53页，此课件共78页哦3.3.反函数与复合函数反函数与复合函数反函数的反函数的定义定义:设函数设函数是单射是单射,则它存在逆映射则它存在逆映射称此映射称此映射为函数为函数 f 的反函数的反函数.如如:函数函数是单射是单射,其反函数为其反函数为若函数若函数f(x)在在D上是单调函数上是单调函数,则则也是也是f(D)上的单调函数上的单调函数.注意注意：反函数的反函数的求法求法第54页，此课件共78页哦DD)(xfy=函数函数第55页，此课

17、件共78页哦 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.相对于反函数相对于反函数原来的函数原来的函数y=f(x)称为直接函数称为直接函数.第56页，此课件共78页哦复合函数复合函数定义定义:定义定义,且且函数函数u=g(x)在在D上有上有则由下式确定的函数则由下式确定的函数称为由函数称为由函数u=g(x)和函数和函数 构成的复合构成的复合函数函数,它的定义域为它的定义域为D,变量变量u称为中间变量称为中间变量.函数函数g与函数与函数f 构成的复合函数通常记为构成的复合函数通常记为设函数设函数 的定义域为的定义域为的定义域为的定义域为设函数设函数 第57页，此课件共

18、78页哦函数函数g与函数与函数f 构成复合函数构成复合函数的条件是的条件是:函数函数g在在D上的值域上的值域 g(D)必须含在必须含在 f 的定义域的定义域内内,即即注意注意：1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;第58页，此课件共78页哦是由是由 这三个函数复合而成的。这三个函数复合而成的。2.复合函数可以由两个以上的简单函数经过复合复合函数可以由两个以上的简单函数经过复合构成构成.第59页，此课件共78页哦4.函数的运算函数的运算设函数设函数f(x),g(x)的定义域依次为的定义域依次为则可以定义这两个函数的下列运算：则可以定义这两个函数

19、的下列运算：和和(差差)积积商商;),()()(Dxxgxfxgf =第60页，此课件共78页哦5、基本初等函数、基本初等函数1、幂函数幂函数定义域：视定义域：视 的取值而定。的取值而定。第61页，此课件共78页哦偶奇增增奇减第62页，此课件共78页哦2、指数函数、指数函数第63页，此课件共78页哦3、对数函数、对数函数第64页，此课件共78页哦4、三角函数、三角函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数余切函数余切函数正割函数正割函数余割函数余割函数第65页，此课件共78页哦奇有有偶奇奇周期内增周期内减第66页，此课件共78页哦5、反三角函数、反三角函数定义域：定义域：-1，1值域

20、：值域：主值区间：主值区间：主值分支：主值分支：第67页，此课件共78页哦定义域：定义域：-1，1值域：值域：主值区间：主值区间：主值分支：主值分支：第68页，此课件共78页哦第69页，此课件共78页哦 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角三角函数和反三角函数统称为函数统称为基本初等函数基本初等函数.第70页，此课件共78页哦6、初等函数、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的的函数函数,称为称为初等函数初等函数.第71页，此

21、课件共78页哦奇函数奇函数.偶函数偶函数.双曲函数双曲函数双曲正弦双曲正弦双曲余弦双曲余弦第72页，此课件共78页哦奇函数奇函数,有界函数有界函数,双曲正切双曲正切第73页，此课件共78页哦双曲函数常用公式双曲函数常用公式第74页，此课件共78页哦反双曲函数反双曲函数反双曲正弦反双曲正弦奇函数奇函数,在在 内单调加内单调加.第75页，此课件共78页哦反双曲余弦反双曲余弦第76页，此课件共78页哦奇函数奇函数,第77页，此课件共78页哦四、小结四、小结集合的概念集合的概念函数的概念函数的概念函数的特性函数的特性有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.反函数反函数集合集合,数集，数集，区间区间,邻域邻域,绝对值绝对值满射，单射，一一映射，逆映射，复合映射满射，单射，一一映射，逆映射，复合映射映射的概念映射的概念初等函数初等函数第78页，此课件共78页哦