解线性方程组的直接方法 (2)精选PPT.ppt
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1、解线性方程组的直接解线性方程组的直接方法方法第1页,此课件共80页哦二、向量和矩阵二、向量和矩阵第2页,此课件共80页哦第3页,此课件共80页哦三、特殊矩阵三、特殊矩阵设A A=(aij)Rnn .对角矩阵 如果当ij时,aij=0.三对角矩阵 如果当|i-j|1时,aij=0.上三角矩阵 如果当i j时,aij=0.上海森伯(Hessenberg)阵 如果当i j+1时,aij=0.对称矩阵 如果A AT=A A埃尔米特矩阵 设A ACnn,如果AH=A(AH=AT,即为A的共轭转置)对称正定矩阵 如果AT=A,对任意非零向量Rn,(A,)=T A 0.正交矩阵 如果A-1=AT.酉矩阵 设
2、A ACnn,如果A-1=AH.-第4页,此课件共80页哦10)初等置换阵 由单位矩阵I I交换第i行与第j行(或交换第i列与第j列),得到的矩阵记为I Iij,且 I IijA A=A A(为交换A A第i行与第j行得到的矩阵);AIAIij=B=B(为交换A A第i列与第j列得到的矩阵)。11)置换阵 由初等置换阵的乘积得到的矩阵.定理定理1 设ARnn,则下述命题等价:(1)对任何b Rn,方程组A=b有唯一解.(2)齐次方程组A=0只有唯一解=0.(3)det(A)0.(4)A-1存在(5)A的秩rank(A)=n第5页,此课件共80页哦定理定理2 若ARnn 为对称正定矩阵,则(1)
3、A A为非奇异矩阵,且A-1亦是对称正定矩阵.(2)记A Ak为A A的顺序主子阵,则A Ak(k=1,2,n)亦是对称正定矩阵,其中(3)A的特征值i0(i=1,2,n).(4)A的顺序主子式都大于零,即det(Ak)0(k=1,2,n)第6页,此课件共80页哦定理定理3 若ARnn 为对称矩阵.如果det(Ak)0(k=1,2,n),或A得特征值i0(i=1,2,n).则A为对称正定矩阵。有重特征值的矩阵不一定相似于对角矩阵,那么一般n阶矩阵A在相似变换下能简化到什么形状?定理定理4(若尔当(Jordan)标准型)设A为n阶矩阵,则存在一个非奇异矩阵P使得第7页,此课件共80页哦为若尔当块
4、.1)当A A的若尔当标准形中所有若尔当块Ji均为一阶时,此标准型变成对角矩阵;2)如果A A的特征值各不相同,则其若尔当标准型必为对角矩阵diag(1 2 n).第8页,此课件共80页哦2 2 高斯消去法高斯消去法一、高斯消去法一、高斯消去法设有线性方程组:AXAX=b b (2.12.1)首先举一个例子来说明消去法的基本思路例例2 2 用消去法解线性方程组第9页,此课件共80页哦解 第1步.将方程(2.2)乘上-2加到方程(2.4)式中的未知数X1,得到 4X2X3=11.(2.5)第2步.将方程(2.3)加到方程(2.5)上去,消去(2.5)中的未知数X2。得到与原方程组等价的三角形线性
5、方程组显然,线性方程组(2.6)是容易求解的,解为这里(-2)r1+r3r3,r2+r3r3,其中用ri表示矩阵的第i行第10页,此课件共80页哦 由此看出,用消去法解线性方程组的基本思想是用逐次消去未知数的方法把原线性方程组AX=b化为与其等价的三角形线性方程组,从而求解三角形线性方程组可用回代的方法求解。下面我们讨论求解一般线性方程组的高斯消去法。将方程组AXAX=b b 记为A A(1 1)X X=b b(1 1).其中 A A(1 1)=(a aij ij(1)(1))=(a=(aijij),b),b(1)(1)=b.=b.第11页,此课件共80页哦(1)消元过程 简记为 A A(2
6、2)X X=b b(2 2),其中A(2),b(2)的元素计算公式为 第1步:设首先计算乘数用mi1乘(2.1)的第1个方程组,加到第i个中,消去方程组(2.1)的从第2个方程到第n个方程中的未知数X1,得到与方程组(2.1)等价的线性方程组第12页,此课件共80页哦第k步:若用乘第k行加到第i行中,得到简记为A(k)X=b(k),同理可得第13页,此课件共80页哦 继续上述过程,且设akk(k)0(k=1,2,n-1),直到完成第n-1步消元计算,最后得到 由方程组(2.1)约化为方程组(2.10)的过程称为消元过程若ARnn是非奇异矩阵,则由(2.10)得到这个过程称为回代过程.(2)回代
7、过程第14页,此课件共80页哦说明说明:若线性方程组的系数矩阵非奇异,则它总可以通过带行交换的高斯消去法进行求解。定理定理5 5 设A=b,其中ARnn.(1)如果则可以通过高斯消去法将Ax=b约化为(2)如果系数矩阵A A非奇异,总可以通过带行交换的高斯消去法进行求解。但是,高斯消去法对于某些简单的矩阵可能会失败,比如:由此需要对前述的算法进行修改,首先研究原来矩阵A A在什么条件下才能保证等价的三角线性方程组(2.10)求解.下面的定理给出了这个条件。第15页,此课件共80页哦证明 首先利用归纳法证明定理6的充分性.显然,当k=1时,定理6成立,现设定理6充分性对k-1是成立的,求证定理6
8、充分性对k亦成立.设Di0(i=1,2,k),于是由归纳法假设aii(i)0(i=1,2,k-1),可用高斯消去法将A(1)约化到A(k),即第16页,此课件共80页哦(2.13)由设Di0(i=1,2,k),利用(2.13)式,则有akk(k)0,由定理6充分性对k亦成立.显然,由假设aii(i)0(i=1,2,k),利用(2.13)式亦可推出Di0(i=1,2,k).第17页,此课件共80页哦第18页,此课件共80页哦二、矩阵的三角分解二、矩阵的三角分解下面建立高斯消去法与矩阵的因式分解的关系.设方程组Ax=b的系数矩阵A的各顺序主子式均不为0.由于对A施行行的初等变换相当于用初等矩阵左乘
9、A.第19页,此课件共80页哦第20页,此课件共80页哦 从而我们可以知道,高斯消去法实质是将A分解为两个三角矩阵的相乘的因式分解,于是有如下重要定理。第21页,此课件共80页哦第22页,此课件共80页哦第23页,此课件共80页哦3 3 高斯主元素消去法高斯主元素消去法例例4 4 采用3位十进制,用消元法求解 解法解法1:第24页,此课件共80页哦解法解法2:全主元消去法;列主元消去法.第25页,此课件共80页哦一、列主元消去法一、列主元消去法设有线性方程组:AX=b第一步:先在A A的第一列选取绝对值最大的元素作主元素,然后交换其增广矩阵的第1行和第i1行(当i11时),再进行第1次消元.得
10、到第26页,此课件共80页哦重复上述过程,设已完成第k-1步的选主元素,交换两行及消元计算,约化为其中A(k)的元素仍记为aij,b(k)的元素仍记为b.第k步选主元素(在A(k)右下角方阵的第1列内选),即确定ik,使然后交换第k行和第ik(k=1,2,n-1)行(当ikk时),再进行第k次消元.第27页,此课件共80页哦最后将原线性方程组化为回代求解第28页,此课件共80页哦算法算法(列主元消去法).设AX=b,本算法用A得具有行交换的列主元素消去法,消元结果冲掉A,乘数mij冲掉aij,计算解X冲掉常数项b,行列式存放在det中.1.det12.对于k=1,2,n-1 (1)按列选主元
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