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1、计算方法非线性方程求解第1页,此课件共52页哦2 二分法二分法 原理:原理:若若 f Ca,b,且,且 f(a)f(b)0,则,则 f 在在(a,b)上上必有一根。必有一根。abx1x2abx*2xx*第2页,此课件共52页哦误差分析:误差分析:第第1步产生的步产生的有误差有误差第第 k+1 步产生的步产生的 xk 有误差有误差 对于给定的精度对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数可估计二分法所需的步数 k:优点:优点:简单简单;对对f(x)要求不高要求不高(只要连续即可只要连续即可).缺点:缺点:无法求复根及偶重根无法求复根及偶重根 收敛慢收敛慢 第3页,此课件共52页哦第4页,此课件共5
2、2页哦第5页,此课件共52页哦 迭代法是数值计算中的一类重要方法,应用广泛。迭代法是一种重要的逐次逼近方法。这种方法用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的结果。2 迭代法迭代法等价变换为的不动点由此也称为不动点迭代法,迭代法的一般形式:第6页,此课件共52页哦,.迭代公式若 收敛,即存在 x*使得 ,且 连续,则由 可知 ,即 是 的不动点,也就是f 的根。从一个初值 出发,计算第7页,此课件共52页哦xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*x0p0 x1p1 x0p0 x1p1 x0p0 x1p1x0p0 x1p1y=(x)y=(x)y=(x
3、)y=(x)第8页,此课件共52页哦第9页,此课件共52页哦(I)当当 x a,b 时,时,(x)a,b;(II)0 L 1 使得使得 则任取则任取 x0 a,b,由,由 xk+1=(xk)得到的序列得到的序列 收敛于收敛于 (x)在在a,b上的唯一不动点。并且有误差估计式:上的唯一不动点。并且有误差估计式:(k=1,2,)k考虑方程考虑方程 x=(x),(x)Ca,b,若若定理定理1第10页,此课件共52页哦注2注1第11页,此课件共52页哦 不动点唯一不动点唯一反证:若不然,设还有反证:若不然,设还有 ,则,则而而 当当k 时,时,xk 收敛到收敛到 x*?令令有根有根证明:证明:(x)在
4、在a,b上存在不动点上存在不动点第12页,此课件共52页哦第13页,此课件共52页哦第14页,此课件共52页哦第15页,此课件共52页哦第16页,此课件共52页哦第17页,此课件共52页哦连续第18页,此课件共52页哦注:事实上,定理3是充分必要的,即另有结论:第19页,此课件共52页哦第20页,此课件共52页哦第21页,此课件共52页哦两个迭代值组合的方法:第22页,此课件共52页哦第23页,此课件共52页哦三个迭代值组合的方法:第24页,此课件共52页哦xyy=xy=g(x)x*x0P(x0,y0)y0 z0P(y0,z0)第25页,此课件共52页哦第26页,此课件共52页哦第27页,此课
5、件共52页哦第28页,此课件共52页哦3 牛顿法牛顿法引入:引入:将非线性方程线性化将非线性方程线性化 Taylor 展开展开取取 x0 x*,将将 f(x)在在 x0 做一阶做一阶Taylor展开展开:,在在 x0 和和 x 之间。之间。将将(x*x0)2 看成高阶小量,则有:看成高阶小量,则有:xyx*x0(f C1,f(x*)0)单根情形第29页,此课件共52页哦定理定理1 (收敛的充分条件收敛的充分条件)设)设 f C2a,b,若,若(1)f(a)f(b)0;则则Newtons Method产生的序列产生的序列 xk 收敛到收敛到f(x)在在 a,b 的唯一根。的唯一根。第30页,此课
6、件共52页哦第31页,此课件共52页哦定理定理2 (局部收敛性局部收敛性)设)设 f C2a,b,若,若 x*为为 f(x)在在a,b上的根,且上的根,且 f(x*)0,则存在,则存在 x*的邻域的邻域 使得任取使得任取初值初值 ,Newtons Method产生的序列产生的序列 xk 收敛到收敛到x*,且满足,且满足第32页,此课件共52页哦证明:证明:Newtons Method 事实上是一种特殊的不动点迭代事实上是一种特殊的不动点迭代 其中其中 ,则,则收敛收敛由由 Taylor 展开:展开:只要只要 f(x*)0,则令,则令 可得结论。可得结论。第33页,此课件共52页哦第34页,此课
7、件共52页哦第35页,此课件共52页哦第36页,此课件共52页哦定理定理3 (全局收敛性定理)设(全局收敛性定理)设 f C2a,b,若,若(1)f(a)f(b)0;(2)在整个在整个a,b上上 f(x)0,f”(x)0;(3)则任取则任取x0 a,b,Newtons Method产生的序列产生的序列 xk 都都 收敛到收敛到f(x)=0 在在 a,b的根的根x*。第37页,此课件共52页哦重根情形第38页,此课件共52页哦第39页,此课件共52页哦第40页,此课件共52页哦第41页,此课件共52页哦第42页,此课件共52页哦原理:原理:若由 xk 得到的 xk+1 不能使|f|减小,则在 xk 和 xk+1 之间找一个更好的点 ,使得 。xkxk+1第43页,此课件共52页哦求复根求复根 Newton 公式中的自变量可以是复数记 z=x+i y,z0 为初值,同样有设代入公式,令实、虚部对应相等,可得第44页,此课件共52页哦4 第45页,此课件共52页哦第46页,此课件共52页哦第47页,此课件共52页哦第48页,此课件共52页哦第49页,此课件共52页哦5 第50页,此课件共52页哦第51页,此课件共52页哦第52页,此课件共52页哦
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