五年级奥数专题：中国剩余定理.doc

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1、六 中国剩余定理 年级 班 姓名 得分 一、填空题1. 有一个数，除以3余数是1，除以4余数是3，这个数除以12余数是_.2. 一个两位数,用它除58余2,除73余3,除85余1,这个两位数是_.3. 学习委员收买练习本的钱,她只记下四组各交的钱,第一组2.61元,第二组3.19元,第三组2.61元,第四组3.48元,又知道每本练习本价格都超过1角,全班共有_人.4. 五年级两个班的学生一起排队出操,如果9人排一行,多出一个人；如果10人排一行，同样多出一个人.这两个班最少共有_人.5. 一个数能被3、5、7整除，若用11去除则余1，这个数最小是_.6. 同学们进行队列训练,如果每排8人,最后

2、一排6人；如果每排10人，最后一排少4人.参加队列训练的学生最少有_人.7. 把几十个苹果平均分成若干份,每份9个余8个,每份8个余7个,每份4个余3个.这堆苹果共有_个.8. 一筐苹果,如果按5个一堆放,最后多出3个.如果按6个一堆放,最后多出4个.如果按7个一堆放,还多出1个.这筐苹果至少有_个.9. 除以3余1,除以5余2,除以7余4的最小三位数是_.10. 有一筐鸡蛋,当两个两个取、三个三个取、四个四个取、五个五个取时，筐内最后都是剩一个鸡蛋；当七个七个取出时，筐里最后一个也不剩.已知筐里的鸡蛋不足400个,那么筐内原来共有_个鸡蛋.二、解答题11有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个

3、10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个?12. 求被6除余4,被8除余6,被10除余8的最小整数.13. 一盒围棋子,三只三只数多二只,五只五只数多四只,七只七只数多六只,若此盒围棋子的个数在200到300之间,问有多少围棋子?14. 求一数,使其被4除余2,被6除余4,被9除余8.答 案1. 7因为除以3余数是1的数是1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,除以4余数是3的数是3,7,11,15,19,23,27,31所以，同时符合除以3余数是1，除以4余数是3的数有7，19，31，这些数除以12余数均为7.2. 14用一个两位数除58余2

4、,除73余3,除85余1,那么58-2=56, 73-3=70,85-1=84能被这个两位数整除,这个两位数一定是56、70和84的公约数.2 56 70 84 7 28 35 42 4 5 6由可可见,56、70、84的两位数公约数是27=14，可见这个两位数是14.3. 41根据题意得319-261=练习本单价第二、一组人数之差，348-319=练习本单价第四、二组人数之差.即练习本单价第二、一组人数之差=58,练习本单价第四、二组人数之差=29，所以,练习本单价是58与29的公约数,这样,练习本的单价是29分,即0.29元.因此,全班人数是(2.612+3.19+3.48)0.29=11

5、.890.29=41(人)注这里为了利用练习本单价是总价的公约数这一隐含条件,将小数化成整数来考虑,为解决问题提供了方便.这里也可直接找261、319和348的公约数，但比较困难.上述解法从一定意义上说是受了辗转相除法的启示.4. 91如果将两个班的人数减少1人,则9人一排或10人一排都正好排完没有剩余,所以两班人数减1是9和10的公倍数,又要求这两班至少有几人,可以求出9和10的最小公倍数,然后再加上1.所以,这两个班最少有910+1=91(人)5. 210一个数能被3,5,7整除,这个数一定是3,5,7的公倍数.3,5,7的公倍数依次为:105,210,315,420,，其中被11除余数为

6、1的最小数是210，所以这个最小数是210.6. 46人.如果总人数少6人,则每排8人和每排10人,均恰好排完无剩余.由此可见,人数比10和8的最小公倍数多6人,10和8的最小公倍数是40,所以参加队列训练的学生至少有46人.7. 71依题意知,这堆苹果总个数,添进1个苹果后,正好是9,8,4的倍数.因为9,8,4的最小公倍数是98=72,所以这堆苹果至少有98-1=71(个).注本题为什么求9,8,4的最小公倍数呢?这是根据限制条件“这堆苹果共几十个”决定的.若限制条件改为“这堆苹果的个数在100-200之间”的话，那么这堆苹果共有982-1=141（个）.因此，在解答问题时，一定要把条件看

7、清楚，尤其要注意“隐含条件”的应用.8. 148从6和7的公倍数42,84,126,中找到除以5余3的数是378（可以先找到除以5余1的数126，再乘以3即可）.从5和7的公倍数35,70,中找到除以6余4的数是70.从5和6的公倍数30,60,90，120，中找到除以7余1的数是120.5,6,7的最小公倍数是567=210.所以,这筐苹果至少有 568-2102=148个.9. 172因为除以3余1,除以5余2的最小数是22,而3和5的最小公倍数是15,所以符合条件的数可以是22,37,52,67,.又因为677=94，所以67是符合题中三个条件的最小数，而3，5和7的最小公倍数是105，

8、这样符合条件的数有67，172，277，.所以,符合条件的最小三位数是172.10. 301先求出2,3,4,5的最小公倍数是60,然后用试验法求出60的倍数加1能被7整除的数60+1=61602+1=121603+1=181604+1=241605+1=301其中301能被7整除.所以筐内原来有301个鸡蛋.11. 如果这盒乒乓球少3个的话,8个8个地数,10个10个地数,12个12个的数都正好无剩余,也就是这盒乒乓球减少3个后是8,10,12的公倍数,又要求至少有多少个乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍数,然后再加上3.2 8 10 12 2 4 5 6 2 5 3故8,10,12的最小公倍数是22253=120.所以这盒乒乓球有123个.12. 设所求数为,则+2就能同时被6,8,10整除.由于6,8,10=120,所以=120-2=11813. 设有个围棋子,则+1是3,5,7的倍数, +1是3,5,7=357=105的倍数, +1=210, =209.14. 无解,若该数存在必为8+18(为整数),它被6除只能余2,矛盾.