微分中值定理精选PPT.ppt

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1、关于微分中值定理课件第1页，讲稿共129张，创作于星期日第一节第一节 微分中值定理微分中值定理二、罗尔定理二、罗尔定理三、拉格朗日中值定理三、拉格朗日中值定理四、柯西中值定理四、柯西中值定理五、应用及小结五、应用及小结罗尔拉格朗日柯西一、函数极值与一、函数极值与Fermart引理引理第2页，讲稿共129张，创作于星期日引子AB几何解释几何解释:即:如果记C点的横坐标为,那么就有:通常称导数等于零的点为函数通常称导数等于零的点为函数的驻点（或称为稳定点，临界点）的驻点（或称为稳定点，临界点）第3页，讲稿共129张，创作于星期日一、一、函数极值与函数极值与Fermart引理引理第4页，讲稿共129

2、张，创作于星期日第5页，讲稿共129张，创作于星期日第6页，讲稿共129张，创作于星期日第7页，讲稿共129张，创作于星期日例如例如,二、二、Rolle（罗尔）定理（罗尔）定理(定理定理5.1.2)第8页，讲稿共129张，创作于星期日证证第9页，讲稿共129张，创作于星期日注意（注意（1）：）：罗尔定理的条件是充分的，并且任缺一，罗尔定理的条件是充分的，并且任缺一，则不能保证结论成立则不能保证结论成立注意（注意（2）：）：罗尔定理的条件是非必要的，缺条件时，罗尔定理的条件是非必要的，缺条件时，甚至三条都不满足时甚至三条都不满足时,结论也可能成立。请自己举例。结论也可能成立。请自己举例。第10页

3、，讲稿共129张，创作于星期日例例证证由介值定理由介值定理即为方程的小于即为方程的小于1的一个正实根的一个正实根.矛盾矛盾,返回第11页，讲稿共129张，创作于星期日第12页，讲稿共129张，创作于星期日AB三、拉格朗日(Lagrange)中值定理第13页，讲稿共129张，创作于星期日拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(定理定理5.1.3)第14页，讲稿共129张，创作于星期日分析分析:弦弦AB方程为方程为曲线曲线AB方程为方程为第15页，讲稿共129张，创作于星期日容易看出:第16页，讲稿共129张，创作于星期日证明证明:作辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式第17页，讲稿共129张，创作

4、于星期日拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理注意注意:拉氏公式拉氏公式“精确精确”表达了函数在一个区间上的表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.第18页，讲稿共129张，创作于星期日第19页，讲稿共129张，创作于星期日第20页，讲稿共129张，创作于星期日第21页，讲稿共129张，创作于星期日第22页，讲稿共129张，创作于星期日第23页，讲稿共129张，创作于星期日第24页，讲稿共129张，创作于星期

5、日第25页，讲稿共129张，创作于星期日第26页，讲稿共129张，创作于星期日第27页，讲稿共129张，创作于星期日第28页，讲稿共129张，创作于星期日第29页，讲稿共129张，创作于星期日第30页，讲稿共129张，创作于星期日第31页，讲稿共129张，创作于星期日第32页，讲稿共129张，创作于星期日第33页，讲稿共129张，创作于星期日四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证

6、明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.第34页，讲稿共129张，创作于星期日思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可缺一不可.第35页，讲稿共129张，创作于星期日思考题解答思考题解答不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件；的条件；且且不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的条件；的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.返回第36页，讲稿共129张，创作于星期日拉格朗日拉格朗日Lagrange,Joseph Louis（1736-1813）法国数学家、力学家及天文学家。拉格朗日于1736年1月25日在意大利

7、西北部的都灵出生。少年时读了哈雷介绍牛顿有关微积分之短文，因而对分析学产生兴趣。他亦常与欧拉有书信往来，于探讨数学难题等周问题之过程中，当时只有18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，奠定变分法之理论基础。后入都灵大学。1755年，19岁的他就已当上都灵皇家炮兵学校的数学教授。不久便成为柏林科学院通讯院院士。两年后，他参与创立都灵科学协会之工作，并于协会出版的科技会刊上发表大量有关变分法、概率论、微分方程、弦振动及最小作用原理等论文。这些着作使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。第37页，讲稿共129张，创作于星期日到了1764年，他凭万有引力解释月球天平动问题获得法国巴黎科学院奖金

8、。1766年，又因成功地以微分方程理论和近似解法研究科学院所提出的一个复杂的六体问题木星的四个卫星的运动问题而再度获奖。同年，德国普鲁士王腓特烈邀请他到柏林科学院工作时说：欧洲最大的王之宫廷内应有欧洲最大的数学家，于是他应邀到柏林科学院工作，并在那里居住达20年。其间他写了继牛顿后又一重要经典力学著作分析力学1788。书内以变分原理及分析的方法，把完整和谐的力学体系建立起来，使力学分析化。他于序言中更宣称：力学已成分析的一个分支。第38页，讲稿共129张，创作于星期日1786年普鲁士王腓特烈逝世后，他应法王路易十六之邀，于1787年定居巴黎。其间出任法国米制委员会主任，并先后于巴黎高等师范学院

9、及巴黎综合工科学校任数学教授。最后于1813年4月10日在当地逝世。拉格朗日不但于方程论方面贡献重大，且还推动了代数学之发展。他在生前提交给柏林科学院的两篇著名论文：关于解数值方程1767及关于方程的代数解法的研究1771中，考察了二、三及四次方程的一种普遍性解法，即把方程化作低一次之方程辅助方程或预解式以求解。但这并不适用于五次方程。在他有关方程求解条件的研究中早已蕴含了群论思想的萌芽，这使他成为伽罗瓦建立群论之先导。返回第39页，讲稿共129张，创作于星期日柯西柯西 Augustin Louis Cauchy(1789-1857)Augustin Louis Cauchy(1789-185

10、7)法国数学家。（1789、8、211857、5、23）他出身于高级官员家庭，从小受过良好的教育。1816年取得教授职位，同年，被任命为法国科学院院士。此外，他还占有巴黎大学理学院和法兰西学院的教授席位。1830年，波旁王朝被推翻，柯西拒绝宣誓效忠新的国王，因此失去所有的职位。后被前国王召到布拉格，协助宫廷教育，1838年回到巴黎，继任巴黎综合工科学校教授，并恢复了在科学院的活动。1848年任巴黎大学教授。柯西主要的贡献在微积分、复变函数和微分方程三个领域。返回第40页，讲稿共129张，创作于星期日罗尔罗尔 Rolle,Michel(1652-1791)罗尔在微积分初创阶段作出了贡献。1690

11、年他在任意次方程的一个解法一文中，给出了著名的罗尔定理（但没有证明），这个定理在微积分理论中占有重要的地位。他还提出了寻求代数方程实根上界的法则，但是这个法则却被称为马克劳林法则。此外，他对笛卡儿的分析与莱布尼兹的无穷小研究进行了评论。尽管他的批评不见得有理有据，但却促使莱布尼兹对分析的理论基础的关注。另外罗尔对含有两个变量的不定方程的整数解问题，也进行了研究。返回第41页，讲稿共129张，创作于星期日机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节 lHospital法则 第42页，讲稿共129张，创作于星期日微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限转化(或型)本节研究本节研究

12、:洛必达法则洛必达法则洛必达 目录 上页 下页 返回 结束 第43页，讲稿共129张，创作于星期日(洛必达法则)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第44页，讲稿共129张，创作于星期日例例1.求解解:原式注意注意:不是未定式不能用洛必达法则!机动 目录 上页 下页 返回 结束 第45页，讲稿共129张，创作于星期日例例2.求解解:原式思考思考:如何求(n为正整数)?机动 目录 上页 下页 返回 结束 第46页，讲稿共129张，创作于星期日例例3.求解解:原式例例4.求求解解:(1)n为正整数的情形.原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第47页，讲稿共129张，创作于星期日例例4.求(2)

13、n不为正整数的情形.从而由(1)用夹逼准则存在正整数 k,使当x1时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第48页，讲稿共129张，创作于星期日例3.例4.说明说明:1)例3,例4表明时,后者比前者趋于更快.例如,而用洛必达法则2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第49页，讲稿共129张，创作于星期日3)若例如例如,极限不存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 第50页，讲稿共129张，创作于星期日二、其他未定式二、其他未定式:解决方法解决方法:通分转化转化取倒数转化转化取对数转化转化例例5.求解解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结

14、束 第51页，讲稿共129张，创作于星期日解解:原式例例6.求机动 目录 上页 下页 返回 结束 通分转化转化取倒数转化转化取对数转化转化第52页，讲稿共129张，创作于星期日例例7.求解解:利用利用 例例5例5 目录 上页 下页 返回 结束 通分转化转化取倒数转化转化取对数转化转化第53页，讲稿共129张，创作于星期日例例8.求机动 目录 上页 下页 返回 结束 第54页，讲稿共129张，创作于星期日例例9.求分析分析:为用洛必达法则,必须改求法法1 用洛必达法则但对本题用此法计算很繁!法法2原式例3 目录 上页 下页 返回 结束 第55页，讲稿共129张，创作于星期日内容小结内容小结洛必达

15、法则洛必达法则令取对数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第56页，讲稿共129张，创作于星期日思考与练习思考与练习1.设是未定式极限,如果不存在,是否的极限也不存在?举例说明.极限说明 目录 上页 下页 返回 结束 原式分析分析:第57页，讲稿共129张，创作于星期日分析分析:3.原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第58页，讲稿共129张，创作于星期日则4.求解解:令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第59页，讲稿共129张，创作于星期日求下列极限:解解:备用题备用题机动 目录 上页 下页 返回 结束 第61页，讲稿共129张，创作于星期日令则原式=解解:(用洛必达法则)(继续用

16、洛必达法则)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第62页，讲稿共129张，创作于星期日解解:原式=第三节 目录 上页 下页 返回 结束 第63页，讲稿共129张，创作于星期日第64页，讲稿共129张，创作于星期日第65页，讲稿共129张，创作于星期日第66页，讲稿共129张，创作于星期日第67页，讲稿共129张，创作于星期日第68页，讲稿共129张，创作于星期日第69页，讲稿共129张，创作于星期日第70页，讲稿共129张，创作于星期日第71页，讲稿共129张，创作于星期日第72页，讲稿共129张，创作于星期日第73页，讲稿共129张，创作于星期日第74页，讲稿共129张，创作于星期日第75页

17、，讲稿共129张，创作于星期日第76页，讲稿共129张，创作于星期日第77页，讲稿共129张，创作于星期日第78页，讲稿共129张，创作于星期日第79页，讲稿共129张，创作于星期日第80页，讲稿共129张，创作于星期日第81页，讲稿共129张，创作于星期日第82页，讲稿共129张，创作于星期日第83页，讲稿共129张，创作于星期日第84页，讲稿共129张，创作于星期日第85页，讲稿共129张，创作于星期日第86页，讲稿共129张，创作于星期日第87页，讲稿共129张，创作于星期日第88页，讲稿共129张，创作于星期日第89页，讲稿共129张，创作于星期日第90页，讲稿共129张，创作于星期日

18、第91页，讲稿共129张，创作于星期日第92页，讲稿共129张，创作于星期日第93页，讲稿共129张，创作于星期日二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5应用举例 三、函数作图三、函数作图第94页，讲稿共129张，创作于星期日一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法回顾回顾:在其中当时,(1)则称为的极大点极大点,称为函数的极大值极大值;(2)则称为的极小点极小点,称为函数的极小值极小值.极大点与极小点统称为极值点极值点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第95页，讲稿共129张，创作于星期日定理定理 5.5.1

19、(极值判定定理极值判定定理)且在空心邻域内有导数,(1)“左左正正右右负负”,(2)“左左负负右右正正”,(自证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 点击图中任意处动画播放暂停（1）极值第一判别法）极值第一判别法第96页，讲稿共129张，创作于星期日例例1.求函数求函数的极值.解解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第97页，讲稿共129张，创作于星期日（2）极值第二判别法极值第二判别法二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.机动 目录 上页 下页 返回 结

20、束 第98页，讲稿共129张，创作于星期日例例2.求函数的极值.解解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第99页，讲稿共129张，创作于星期日3.判别法的推广判别法的推广则:数,且1)当为偶数时,是极小点;是极大点.2)当为奇数时,为极值点,且不是极值点.当充分接近时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:利用在点的泰勒公式,可得第100页，讲稿共129张，创作于星期日例如例如,例2中所以不是极值点.极值的判别法(定理1定理3)都是充分的.说明说明:当这些充分条件不满足时

21、,不等于极值不存在.例如例如:为极大值,但不满足定理1定理3的条件.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第101页，讲稿共129张，创作于星期日二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到.求函数最值的方法求函数最值的方法:(1)求 在 内的极值可疑点(2)最大值最小值机动 目录 上页 下页 返回 结束 第102页，讲稿共129张，创作于星期日特别特别:当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)机动 目录 上页 下页

22、 返回 结束 第103页，讲稿共129张，创作于星期日例例3.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解解:显然且故函数在取最小值0;在及取最大值5.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第104页，讲稿共129张，创作于星期日因此也可通过例例3.求函数说明说明:求最点.(good!)与最值点相同,由于令(自己练习)在闭区间上的最大值和最小值.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第105页，讲稿共129张，创作于星期日思考与练习思考与练习1.设则在点a处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示提示:利用极限的保号性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第106页，讲稿共129张，

23、创作于星期日2.设在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示提示:利用极限的保号性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第107页，讲稿共129张，创作于星期日3.设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示提示:A机动 目录 上页 下页 返回 结束 第108页，讲稿共129张，创作于星期日试问为何值时,在时取得极值,还是极小.解解:由题意应有又取得极大值为备用题备用题 1.求出该极值,并指出它是极大机动 目录 上页 下页 返回 结束 第109页，讲稿共129张，创

24、作于星期日第110页，讲稿共129张，创作于星期日第111页，讲稿共129张，创作于星期日第112页，讲稿共129张，创作于星期日第113页，讲稿共129张，创作于星期日第114页，讲稿共129张，创作于星期日第115页，讲稿共129张，创作于星期日(k 为某一常数)例例4.铁路上 AB 段的距离为100 km,工厂C 距 A 处20AC AB,要在AB 线上选定一点D 向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D 点应如何选取?20解解:设则令得又所以为唯一的极小点,故AD=15km时运费最省.总运费物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点,问Km,公路,机动 目录 上页

25、 下页 返回 结束 第116页，讲稿共129张，创作于星期日清楚(视角最大)?观察者的眼睛1.8m,例例5.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于解解:设观察者与墙的距离为xm,则令得驻点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙2.4m处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最机动 目录 上页 下页 返回 结束 第117页，讲稿共129张，创作于星期日四、函数作图四、函数作图步骤步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周

26、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第118页，讲稿共129张，创作于星期日例例1.描绘的图形.解解:1)定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点）(极小)4)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第119页，讲稿共129张，创作于星期日例例2.描绘方程的图形.解解:1)定义域为2)求关键点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第120页，讲稿共129张，创作于星期日3)判别曲线形态(极大极大)(极小极小)4)求渐近线为铅直渐近线无无定定义义机动 目录 上页 下页 返回 结束 第121页，讲稿共129张，创作于星期日又因即5)求特殊点为斜渐近线机动 目录 上页 下页 返回 结束 第122页

27、，讲稿共129张，创作于星期日6）绘图(极大极大)(极小极小)斜渐近线铅直渐近线特殊点机动 目录 上页 下页 返回 结束 无无定定义义第123页，讲稿共129张，创作于星期日例例3.描绘函数的图形.解解:1)定义域为图形对称于 y轴.2)求关键点机动 目录 上页 下页 返回 结束 3)判别曲线形态(极大极大)(拐点拐点)第124页，讲稿共129张，创作于星期日(极大极大)(拐点拐点)为水平渐近线5)作图4)求渐近线机动 目录 上页 下页 返回 结束 第125页，讲稿共129张，创作于星期日思考与练习思考与练习 1.曲线(A)没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第126页，讲稿共129张，创作于星期日拐点为,凸区间是,2.曲线的凹区间是,提示提示:及渐近线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第127页，讲稿共129张，创作于星期日备用题备用题 求笛卡儿叶形线的渐近线.解解:令 y=tx,代入原方程得曲线的参数方程:因所以笛卡儿叶形线有斜渐近线机动 目录 上页 下页 返回 结束 第128页，讲稿共129张，创作于星期日感感谢谢大大家家观观看看第129页，讲稿共129张，创作于星期日