高等数学同济版第五章第六版教案.doc
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1、授 课 教 案课程名称: 高等数学 授课专业: 总 学 时: 开课单位: 制 定 人: 审 核 人: 制定时间: 教 案授课学时2学时课型新授课教学内容(章节)第五章 定积分 第1节 不定积分的概念及性质(1)教学目标掌握定积分的概念教学重、难点掌握定积分的概念教学方法及手段讲练结合法/板书教学教学准备教材,辅助教材教学过程:一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积设在区间上非负、连续。由直线及曲线所围成的图形称为曲边梯形.由于曲边梯形的高是变动的,所以不能直接用矩形的面积公式进行计算.而如下考虑:将区间划分为很多小区间,在每个小区间上用其中某一点处的高来近似的代替同一个小区间上的窄曲边梯形的变
2、高,那么,每个窄曲边梯形就可以近似的看成这样得到的窄矩形,而将这些所有窄矩形的面积之和作为曲边梯形面积的近似值,并把区间无限细分下去,使得每个区间的长度都趋于零,则这时所有窄矩形的面积之和的极限值就可定义为曲边梯形的面积.现将计算方法详述如下:在中任意插入若干个分点,把区间分成n个小区间,其长度依次为:, .在每个小区间上任取一点,以为底,为高的窄矩形近似地替代第i个窄曲边梯形,这样得到的n个窄矩形地面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值,即并记,则当时,取上述和式的极限,便得曲边梯形的面积2. 变速直线运动的路程备注:1、 变速直线运动的路程设某物体作直线运动,已知速度是时间间隔上的连续函数
3、,且,计算在这段时间内物体所经过的路程在内任意插入若干个分点把分成个小段, 各小段时间长依次为相应各段的路程为在上任取一个时刻,以时的速度来代替上各个时刻的速度,则得 进一步得到 =设时,得二、定积分定义定义1 设函数在上有界,在中任意插入若干个分点,把区间分成n个小区间,其长度依次为: 各个小区间的长度依次为.在每个小区间上任取一点),对应函数值为作小区间长度及的乘积并作出和 .记,如果不论对怎样分法,也不论在小区间上点怎样取法,只要当时,和式S总趋于确定的极限,这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分(简称积分), 记作,即 =,其中叫做被积函数, 叫做被积表达式,叫做积分变量,叫做积分下
4、限,叫做积分上限, 叫做积分区间.注 (1)积分区间有限,被积函数有界; (2)及“分法”、“取法”无关; (3)定积分的值及积分变量的选取无关; (4)在有界是在可积的必要条件,在连续是 在可积的充分条件。接下来的问题是:函数在上满足怎样的条件,在上一定可积?以下给出两个充分条件。注意:积分及积分变量无关,即: 函数可积的两个充分条件:定理1 设在上连续,则在上可积。定理2 设在区间上有界,且只有有限个间断点,则在上可积。如果我们对面积赋以正负号,在轴上方的图形面积赋以正号,在轴下方的图形面积赋以负号,则在一般情形下,定积分的几何意义为:它是介于轴、函数曲线的图形及两条直线 = 、 = 之间
5、的各部分面积的代数和。练习设计课后习题9教学反思及学生一起做练习,边讲边练注:1每2学时至少制定一个教案。2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。3上新课和新上课的教师要求写详案。4要求教师上课必带教案。5“备注”填写历年更新的内容(手写)。6教案可带附件(课程内容补充材料)。教 案授课学时2学时课型新授课教学内容(章节)第五章 定积分 第1节 不定积分的概念及性质(2)教学目标掌握定积分的概念教学重、难点掌握定积分的概念教学方法及手段讲练结合法/板书教学教学准备教材,辅助教材教学过程:三、定积分的性质为了以后计算及应用方便起见,首先,我们作如下补充规定: 1. 当时, =0; 2
6、. 当时, =-由上式可知,交换定积分上、下限时,绝对值不变而符号相反.假设下列性质中所列出的定积分都时存在的.性质1 =证明 = = =性质2 =(是常数)性质3 设,则 =+这个性质表明定积分对积分区间具有可加性,而且不论的相对位置如何,此等式总是成立的.性质4 如果在区间上, ,则=备注:性质5 如果在区间上, ,则推论1 如果在区间上, ,则 推论2 性质6(估值定理) 设M及m分别是函数在区间上的最大值及最小值,则据此性质,利用被积函数在积分区间上的最大值及最小值,可以估计积分值的大致范围.性质7(积分中值定理) 如果函数在闭区间上连续,则在积分区间上至少存在一个点,使下式成立:这个
7、公式叫做积分中值公式.例1 利用定积分几何意义,求定积分值 解 上式表示介于, , , 之间面积 所以 例2 证明 证明 在 上最大值为,最小值为2 练习设计课后习题9教学反思及学生一起做练习,边讲边练注:1每2学时至少制定一个教案。2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。3上新课和新上课的教师要求写详案。4要求教师上课必带教案。5“备注”填写历年更新的内容(手写)。6教案可带附件(课程内容补充材料)。教 案授课学时2学时课型新授课教学内容(章节)第五章 定积分 第二节 微积分基本公式教学目标理解积分上限函数的定义及有关运算掌握牛顿_莱布尼兹公式教学重、难点掌握牛顿_莱布尼兹公式教
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