高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案).doc

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1、第三章 微分中值定理及导数的应用一、选择题1、（ ）2、（ ）3、（ ）4、在区间 -1，1 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）(A) (B) (C) (D)5、设f (x) 和g (x) 都在x=a处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a处（ ）(A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、（ ）(A) -1,1 (B) 0,1 (C) -2,2 (D) 7、的凹区间是（ ）(A) (B) (C) (D) 8、函数在 处连续，若为的极值点，则必有（ ） (A) (B) (C)或不存在 (D)不存在9、当a= ( ) 时，（

2、 ）(A) 1 (B) 2 (C) (D) 010、（ ）11、（ ）二、填空题1、 2、 3、 _ 4、函数f（x）x在0,3上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点 5、设曲线ya以点（1，3）为拐点，则数组（a，b） 6、函数在区间 2,0 上的最大值为 ，最小值为 7、函数 在 上的罗尔中值点= 8、在区间 1，3 的拉格朗日中值点 = _ 9、 10、。11、yx ，5 的最小值为 12、的单调减区间是 13、 在且仅在区间_上单调増14、函数f(x)x2cosx在区间 0 , 上的最大值为 15、函数y 的单调减少区间是 16、已知点（1，3）是曲线 的拐点，则a= ，b=

3、 17、. 三、计算题1、。2、求极限 3、求函数y2的单调区间、凹凸区间、拐点4、设常数，试判别函数在内零点的个数5、求函数 的单调区间和极值。678求曲线的单调区间和凹凸区间.9. 求曲线的单调区间和凹凸区间.10求函数 图形的凹凸区间及拐点11、.12、求函数 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点13、14、15、讨论函数的单调性和凹凸性16、 求曲线 的凹凸区间和拐点17. 求函数在区间上的最大值及最小值18. 求函数 在区间 -2，0上的最大值和最小值19. 试确定常数a、b 、c 的值，使曲线 在x= 2处取到极值，且及直线 相切于点（1 ，0）四. 综合题(第1-2题每题6分，第3题

4、8分，总计20分)1证明：当x时， 2、3、 证明： 4、设 在 0,1 上可导，f(x)(x1)，求证：存在x(0，1)，使5、 试用拉格朗日中值定理证明：当 时， 6、 证明：当时，7、 8、证明：当x0时，有 1+ 9、证明当10、 证明：若，则 11、12、证明：多项式在 0，1 内不可能有两个零点13、 证明当.14、答案：一、 选择1、A 2、D 3、A 4、D 5、D 6、B 7、A 8、C 9、B 10、A 11、A二、 填空1、2、 3、4、25、6、2,17、8、9、10、11、12、13、-1414、15、16、17、三、计算题1、解：令可得驻点： 2分 列表可得函数的单

5、调递增区间为，单调递减区间为 5分 极大值为极小值 7分2、解：原式 6分3、解：令可得驻点： 2分 列表可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为 4分又令得. 5分所以凸区间为,凹区间为.拐点为. 7分4、解： 1分当时,所以在上单调增加; 2分 又,充分接近于0时, , 3分故在内有且仅有一个零点. 4分同理, 在内也有且仅有一个零点. 6分5、解：解可得驻点： 2分 列表可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为 5分 极大值为极小值 7分6、解： 原式 2分 4分 6分7、解 ： 当单调增加时，函数单调减少， 所以函数也是单调减少。 2分在区间函数是单调的减函数。所以当时，函数取得最大值

6、； 4分所以当时，函数取得最小值。 6分8、解 ： 令，于是。当时，函数单调增加；当时，函数单调减少。 2分所以函数的单调增区间为：；函数的单调减区间为：。 4分而 令，于是。 5分函数的凸区间为：；函数的凹区间为：。 6分9、解： 因为 所以令 得到。 2分函数的单调增区间为： ；函数的单调减区间为： 。 4分又由于于是函数的凸区间为： 函数的凹区间为：。 6分10、解：因为： ， 2分令，得到：所以函数的单调增区间为：，函数的单调减区间为：。 4分函数的凸区间为：，函数的凹区间为：。函数的拐点为：。 6分11、解： 3分令得 从而得曲线的可能为，又二阶导数在该两点左右异号。所以 为曲线的拐

7、点 6分12、解： 令 令 3 分列表如下xx=1(1, 2)x=2(2, 3)x=3+0-0+-0+y=f(x)单调增，凹极大值f(1)=0单调减，凹拐点（2，-2） 单调减，凸极小值f(3)=-4单调增，凸7分13、解： 令 3分比较函数在端点和驻点处的函数值，得为 6分14、解： 令， 得， .3分列表如下x-1(-1, 0)0(0, 1)1-0+-0+0-单调递减凹区间拐点单调递减凸区间极小值点单调递增凸区间拐点单调递增凹区间7分15、解： x(0,e)+0-0+单调递增，凹函数极大值单调递减，凹函数拐点 单调递减，凸函数.6分16、解： ，拐点为 4分 凹区间为 凸区间为（-1，1）

8、 6分17、解：由于 2分所以，函数在-1，3上的驻点为 。 3分当x=0时，y=2,x=2时，y=-14 5分 而x=-1时，y=-2, x=3时，y=11 7分所以函数的最大值为11，最小值为-14 8分18、解：由于 2分所以，函数在-2，0上的驻点为 。 3分当x=-1时，y=3 ，而x=-2时，y=-1, x=0时，y=1 5分所以函数的最大值为3，最小值为-1 6分19、解：根据已知条件得 4分解上面方程组得 7分四、综合题（1）证：令 ， 显然在区间上连续的，可导的。并且 2分 由于对于任意的，。 所以函数在区间上单调增函数。 4分于是对于任意的，有即为： 6分（2）证： 令 所

9、以（3）证： 令 4分 所以 f(x) 恒为常数，又，从而 6分（4）证： 因为 在 0,1 上可导，所以f(x)(x1)在0，1上连续，在（0，1）内可导。 4分 根据拉格朗日中值定理，至少存在一点x(0，1)，使 8分（5）证：设，则 1分对用拉格朗日中值定理得 ，其中 4分而，所以 6分（6）证：令 1分 则 。 3分因为当时， ， 4分所以在上是严格单调连续递增函数，并且 ， 5分故当时，即。 6分（7）证：令 1分对 利用柯西中值定理存在使得 3分即 4分又由于，所以 6分（8）证：令 2分 故时,即 5分 从而 6分（9）证：令因为 4分故时,即 6分（10）证： 令 2分 则在的范围中是可导的 ，且 。 对于任意的，有。所以函数在的范围中是单调上升的。 4分于是，对于任意的，有即：。 6分（11）证：令 显然函数在区间上连续并且可导。 2分且有：。 而且对于任意的， 4分所以对于任意的，于是原不等式成立。 6分（12）证：假设函数在区间上至少存在两个不同的零点。 2分函数在区间上连续，可导。于是有。 4分根据罗尔中值定理，则存在一点，使得 显然这是不可能的。所以假设不成立。 6分（13）证： 令 4分 所以 当x1 时，f(x)f(1)=0 , 即有 6分（14）证： 令 3分 所以， 即 .6分第 9 页