4-1：和圆有关的比例线段-教案.doc

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1、高二数学选修4-1 五 和圆有关的比例线段教学目标：1理解相交弦定理及其推论；掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；2掌握切线长定理及构造相似三角形证明切割线定理的方法及技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力3能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点教学重点：正确理解相交弦定理及其推论切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理教学难点：定理的灵活运用以及定理及推论问的内在联系教学活动：一复习导入：1证明：已知：弦AB和CD交于O内一点P求证：PAPBPCPD相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等2从一般到特殊

2、，发现结论 对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互 相垂直 思考：（1）若AB是直径，并且ABCD于P根据相交弦定理，能得到什么结论? 推论： 如果弦及直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项（2）若再连结AC，BC，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：PC2PAPB ；AC2APAB；CB2BPAB二范例讲解一例1： 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长 根据题意列出方程并求出相应的解例2： 已知：线段a，b求作：线段c，使c2ab分析：这个作图求作的形式符合相

3、交弦定理的推论的形式，因此可作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段作法：口述作法三课堂练习一 练习1： 如图，AP2厘米，PB25厘米，CP1厘米，求CD（变式练习：若AP2厘米，PB25厘米，CP，DP的长度皆为整数那么CD的长度是多少?）练习2： 如图，CD是O的直径，ABCD，垂足为P，AP4厘米，PD2厘米求PO的长练习3： 如图：在O中，P是弦AB上一点，OPPC，PC 交O于C 求证：PC2PAPB 分析：由APPB，联想到相交弦定理，想到延长 CP交O于D，于是有PCPDPAPB又根据条件OPPC易 证得PCPD问题得证探究：1、相交弦定理是两弦相交于圆内一点

4、如果两弦延长交于圆外一点P，那么该点到割线及圆交点的四条线段PA，PB，PC，PD的长之间有什么关系？2、当其中一条割线绕交点旋转到及圆的两交点重合为一点时，猜想：由圆外这点到割线及圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA，PB，PT之间又有什么关系？3、用语言表达上述结论切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线及圆交点的两条线段长的比例中项推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线及圆的交点的两条线段长的积相等（也叫做割线定理）四范例讲解二例1： 已知：O的割线PAB交O于点A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求O的半径（分析：由于PO既不是O的

5、切线也不是割线，故须将PO延长交O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是O的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解 ）例2：如图7-90，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D、EAB=12，AO=15，AD=8求：两圆的半径五课堂练习二1、P为O外一点，OP及O交于点A，割线PBC及O交于点B、C，且PB=BCOA=7，PA=2，求PC的长2、已知：如图7-92，O和O都经过A和B，PQ切O于P，交O于Q、M，交AB的延长线于N求证：PN2=NMNQ六课堂反思：观察图形，要证的数量关系中，线段属于不同的两圆，NP是O的切线，NMQ是O的割线，能够把这两条线联系

6、在一起的是两圆的公共割线NBA具备了在两圆中运用切割线定理及其推论的条件例：如图7-93，四边形ABCD内接于O，AB长7cm，CD=10cm，ADBC=12，延长BA、CD相交于E，从E引圆的切线EF求EF的长分析：此题中EF是O的切线，由切割线定理：EF2=EDEC=EAEB，故要求EF的长，须知ED或EA的长，而四边形ABCD内接于O，可EB长为2x，应用割线定理，可求得x，于是EF可求证明：四边形ABCD内接于OEADECBEB=2xx(x+10)=(2x-7)2xx=8EF2=8(8+10)EF=12答：EF长为12cm六 和圆有关的比例线段习题课 班级 姓名 学号 教学目标：1理解

7、相交弦定理及其推论；掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；2掌握切线长定理及构造相似三角形证明切割线定理的方法及技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力3能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点教学重点：正确理解相交弦定理及其推论切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理教学难点：定理的灵活运用以及定理及推论问的内在联系教学活动：一切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 二。切线长定理对于切线长定理，应明确（1

8、）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角及过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点及圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。三利用切线长定理解题 例1. 如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。解图1例2 ：如图7，在直角三角形ABC中，A90，以AB边为直径作O，交斜边BC于点D，过D点作O的切线交AC于E。 求证：BC2OE。 点悟：

9、由要证结论易想到应证OE是ABC的中位线。而OAOB，只须证AECE。 图7 证明：连结OD。 ACAB，AB为直径 AC为O的切线，又DE切O于D EAED，ODDE OBOD，BODB 在RtABC中，C90BODE90 CEDC EDEC AEEC OE是ABC的中位线 BC2OE 例3： 如图8，在正方形ABCD中，AB1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E及点A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。 当DEF45时，求证点G为线段EF的中点； 解：由DEF45，得 ，DFEDEF DEDF 又ADDC AEFC 因为AB是圆

10、B的半径，ADAB，所以AD切圆B于点A；同理，CD切圆B于点C。又因为EF切圆B于点G，所以AEEG，FCFG。 因此EGFG，即点G为线段EF的中点。 图8四、反馈测试 一、选择题1. 已知：PA、PB切O于点A、B，连结AB，若AB8，弦AB的弦心距3，则PA（ ） A. B. C. 5 D. 82. 下列图形一定有内切圆的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形3. 已知：如图1直线MN及O相切于C，AB为直径，CAB40，则MCA的度数（ ）A. 50 B. 40 C. 60 D. 55图14. 圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则

11、另一弦长为（ ） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm5. 在ABC中，D是BC边上的点，AD，BD3cm，DC4cm，如果E是AD的延长线及ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（ ） A. B. C. D. 6. PT切O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交O于B和A，B在线段PD上，若CD2，AD3，BD4，则PB等于（ ） A. 20 B. 10 C. 5 D. 二、填空题7. AB、CD是O切线，ABCD，EF是O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则EOF_度。8. 已知：O和不在O上的一点P，过P的直线交O于A、B两点，若PAPB24，OP5，则O

12、的半径长为_。9. 若PA为O的切线，A为切点，PBC割线交O于B、C，若BC20，则PC的长为_。10. 正ABC内接于O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交O于点D，连结BD交AC于P，则_。三、解答题11. 如图2，ABC中，AC2cm，周长为8cm，F、K、N是ABC及内切圆的切点，DE切O于点M，且DEAC，求DE的长。图212. 如图3，已知P为O的直径AB延长线上一点，PC切O于C，CDAB于D，求证：CB平分DCP。图313. 如图4，已知AD为O的直径，AB是O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BMMNNC，若AB，求O的半径。 图4五总结、扩展1要经常复习学过的知识，把新旧知识结合起来，不断提高综合运用知识的能力2学习例题时，不要就题论题，而是注重研究思路、体会和掌握方法，学会分析问题和解决问题的一般方法3学会分析一些基本图形的结构及所具有的基本关系式4总结规律：本课以方程的思想方法为指导，利用代数方法，即通过方程或方程组的求解解决所求问题，设未知数时，可直接或间接设，列方程或方程组时，寻求已知量及未知量之间的关系而几何定理是列方程的根据六课后反思第 - 4 - 页