算法案例教案.doc
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1、课题:13算法案例第1课时 辗转相除法及更相减损术、秦九韶算法一、教学目标:根据课标要求:在学生学习了算法的初步知识,理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后,再结合典型算法案例,让学生经历设计算法解决问题的全过程,体验算法在解决问题中的重要作用,体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考及数学表达能力。制定以下三维目标:1、知识及技能理解算法案例的算法步骤和程序框图.2、过程及方法:引导学生得出自己设计的算法程序.3、情感态度及价值观:体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考及数学表达能力.二、重点及难点:重点:引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框
2、图和算法程序.解决策略:通过分析解决具体问题的算法步骤来引导学生写出算法,根据算法画出程序框图,再根据框图用规范的语言写出程序。难点:体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考及数学表达能力.解决策略:让学生能严谨地按照自己是程序框图写出程序。三、学法及教学用具:1、学法:直观感知、操作确认。2、教学用具:多媒体。四、教学过程(一)引入课题 大家喜欢打乒乓球吧,由于东、西方文化及身体条件的不同,西方人喜欢横握拍打球,东方人喜欢直握拍打球,对于同一个问题,东、西方人处理问题方式是有所不同的.在小学,我们学过求两个正整数的最大公约数的方法:先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的
3、商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来. 当两个数公有的质因数较大时(如8 251及6 105),使用上述方法求最大公约数就比较困难.下面我们介绍两种不同的算法辗转相除法及更相减损术,由此可以体会东、西方文化的差异. (二)研探新知(1)怎样用短除法求最大公约数?(2)怎样用穷举法(也叫枚举法)求最大公约数?(3)怎样用辗转相除法求最大公约数?(4)怎样用更相减损术求最大公约数?讨论结果:(1)短除法求两个正整数的最大公约数的步骤:先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是两个互质数为止,然后把所有的除数连乘起来.(2)穷举法(也叫枚举法)穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤:从
4、两个数中较小数开始由大到小列举,直到找到公约数立即中断列举,得到的公约数便是最大公约数.(3)辗转相除法辗转相除法求两个数的最大公约数,其算法步骤可以描述如下:第一步,给定两个正整数m,n.第二步,求余数r:计算m除以n,将所得余数存放到变量r中.第三步,更新被除数和余数:m=n,n=r.第四步,判断余数r是否为0.若余数为0,则输出结果;否则转向第二步继续循环执行.如此循环,直到得到结果为止. 这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的,因而又叫欧几里得算法.(4)更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术. 九章算术是中国古代的数学专著,其中的“更相减损术”也
5、可以用来求两个数的最大公约数,即“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也.以等数约之.”翻译为现代语言如下:第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数,若是,用2约简;若不是,执行第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差及较小的数比较,并以大数减小数,继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)或这个数及约简的数的乘积就是所求的最大公约数.(三)范例分析例1 用辗转相除法求8 251及6 105的最大公约数,写出算法分析,画出程序框图,写出算法程序.解:用两数中较大的数除以较小的数,求得商和余数:8 251=6 1051+2 146.由此可得,
6、6 105及2 146的公约数也是8 251及6 105的公约数,反过来,8 251及6 105的公约数也是6 105及2 146的公约数,所以它们的最大公约数相等.对6 105及2 146重复上述步骤:6 105=2 1462+1 813.同理,2 146及1 813的最大公约数也是6 105及2 146的最大公约数.继续重复上述步骤:2 146=1 8131+333,1 813=3335+148,333=1482+37,148=374.最后的除数37是148和37的最大公约数,也就是8 251及6 105的最大公约数.这就是辗转相除法.由除法的性质可以知道,对于任意两个正整数,上述除法步骤
7、总可以在有限步之后完成,从而总可以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数.算法分析:从上面的例子可以看出,辗转相除法中包含重复操作的步骤,因此可以用循环结构来构造算法.算法步骤如下:第一步,给定两个正整数m,n.第二步,计算m除以n所得的余数为r.第三步,m=n,n=r.第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;否则,返回第二步.程序框图如右图:程序:INPUT m,nDO r=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND例2 用更相减损术求98及63的最大公约数.解:由于63不是偶数,把98和63以大数减小数,并辗转相减,如下图所示.98-63=3563
8、-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=7所以,98和63的最大公约数等于7.前面我们学习了辗转相除法及更相减损术,现在我们来学习一种新的算法:秦九韶算法.(1)怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢?一个自然的做法就是把5代入多项式f(x),计算各项的值,然后把它们加起来,这时,我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算,5次加法运算.另一种做法是先计算x2的值,然后依次计算x2x,(x2x)x,(x2x)x)x的值,这样每次都可以利用上一次计算的结果,这时,我们一共做了4次乘法运算,5次加法运算.第二种做法及第一种做法相比,乘法的运算次
9、数减少了,因而能够提高运算效率,对于计算机来说,做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多,所以采用第二种做法,计算机能更快地得到结果.(2)上面问题有没有更有效的算法呢?我国南宋时期的数学家秦九韶(约12021261)在他的著作数书九章中提出了下面的算法:把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0改写成如下形式:f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+a1)x+ a0=(anxn-2+an-1xn-3+a2)x+a1)x+a0=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0.求多项式的值时,首先计算最内层括号内
10、一次多项式的值,即v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,vn=vn-1x+a0,这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值.上述方法称为秦九韶算法.直到今天,这种算法仍是多项式求值比较先进的算法.(3)计算机的一个很重要的特点就是运算速度快,但即便如此,算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数,那么这样的算法就只能是一个理论的算法.例3 已知一个5次多项式为f(x)=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8,用秦九韶算法求这个多项式当x=
11、5时的值.解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:f(x)=((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8,按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=5时的值:v0=5;v1=55+2=27;v2=275+3.5=138.5;v3=138.55-2.6=689.9;v4=689.95+1.7=3 451.2;v5=3 415.25-0.8=17 255.2;所以,当x=5时,多项式的值等于17 255.2.算法分析:观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见vk的计算要用到vk-1的值,若令v0=an,我们可以得到下面的公式:这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结
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