重要高中数学数列十种求通项和七种求和方法练习及答案.doc
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1、高中数列知识点总结 1. 等差数列的定义及性质定义:(为常数),等差中项:成等差数列前项和:性质: (1)若,则(2)为等差数列(为常数,是关于的常数项为0的二次函数)2. 等比数列的定义及性质定义:(为常数,),.等比中项:成等比数列,或.前项和:(要注意公比)性质:是等比数列(1)若,则3求数列通项公式的常用方法一、公式法例1 已知数列满足,求数列的通项公式。解:两边除以,得,则,故数列是以为首项,以为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得,所以数列的通项公式为。二、累加法 例2 已知数列满足,求数列的通项公式。解:由得则所以数列的通项公式为。例3已知数列满足,求数列的通项公式。解:两边
2、除以,得,则 三、累乘法 例4 已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以,则,故所以数列的通项公式为例5 (2004年全国I第15题,原题是填空题)已知数列满足,求的通项公式。解:因为所以用式式得则故四、待定系数法(重点)例6 已知数列满足,求数列的通项公式。解:设将代入式,得,等式两边消去,得,两边除以,得代入式得例7 已知数列满足,求数列的通项公式。解:设将代入式,得整理得。令,则,代入式得例8 已知数列满足,求数列的通项公式。解:设 将代入式,得,则等式两边消去,得,解方程组,则,代入式,得五、对数变换法例9 已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以。在式两边取常用对数得设六
3、、迭代法例10 已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以七、数学归纳法例11 已知,求数列的通项公式。(其他方法呢?)解:由及,得由此可猜测,往下用数学归纳法证明这个结论。(1)当时,所以等式成立。(2)假设当时等式成立,即,则当时,由此可知,当时等式也成立。根据(1),(2)可知,等式对任何都成立。八、换元法例12 已知数列满足,求数列的通项公式。解:令,则故,代入得即因为,故则,即,可化为,九、不动点法例13 已知数列满足,求数列的通项公式。解:令,得,则是函数的两个不动点。因为十、倒数法,求4. 求数列前n项和的常用方法一、公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的
4、方法. 1、 等差数列求和公式: 2、等比数列求和公式:3、 4、例1求的前n项和.例2 设Sn1+2+3+n,nN*,求的最大值.二、错位相减法(等差乘等比) 例3 求和:例4 求数列前n项的和.解:由题可知,的通项是等差数列2n的通项及等比数列的通项之积设 (设制错位)得 (错位相减)三、倒序相加法这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它及原数列相加,就可以得到n个.例5 求证:证明: 设. 把式右边倒转过来得 (反序) 又由可得 +得 (反序相加)例6 求的值解:设. 将式右边反序得 . (反序) 又因为 +得 (反序相加)89 S44.5四、
5、分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.例7 求数列的前n项和:,例8 求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解:设将其每一项拆开再重新组合得 Sn (分组)五、裂项法求和这是分解及组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:(1) (2)(3) (4)(5)(6) 例9 求数列的前n项和. 例10 在数列an中,又,求数列bn的前n项的和. 例11 求证:解:设 (裂项) (裂项求和)
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