随机数学概率论与数理统计概率作业A答案.doc

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1、普通高等教育“十一五”国家级规划教材随 机 数 学（A）标准化作业简答吉林大学公共数学中心2013.2第 22 页第一次作业一、填空题1解：应填.分析：样本空间含基本事件总数，事件所含基本事件数为10个，即（1,2），（2，3），（9,10），（10,1）共10个，故所求概率为.2应填0.6.分析: ,故3应填4. 应填.5应填6应填 二、选择题1（D）2.（C）3（B）4.（C）5（C）6.（A）.三、计算题1将只球随机地放入个盒子中，设每个盒子都可以容纳只球，求：（1）每个盒子最多有一只球的概率；（2）恰有只球放入某一个指定的盒子中的概率；（3）只球全部都放入某一个盒子中的概率解：此题为古

2、典概型，由公式直接计算概率.（1）.（2）.（3）.2三个人独立地去破译一份密码，已知每个人能译出的概率分别为，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解：设表示事件“第个人译出密码”，B表示事件“至少有一人译出密码”.则.3随机地向半圆内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率及区域的面积成正比，求原点及该点的连线及轴夹角小于的概率.解：此为几何概型问题.设A表示事件“原点及该点的连线及轴夹角小于”.则.4仪器中有三个元件,它们损坏的概率都是0.2,并且损坏及否相互独立.当一个元件损坏时, 仪器发生故障的概率为0.25,当两个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.6,当三个元件损坏时,仪器发生

3、故障的概率为0.95, 当三个元件都不损坏时,仪器不发生故障.求：（1）仪器发生故障的概率；（2）仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率.解: 设A表示事件“仪器出现故障”，Bi表示事件“有i个元件出现故障”，i=1，2，3.（1），所以.（2）.5在100件产品中有10件次品；现在进行5次放回抽样检查，每次随机地抽取一件产品，求下列事件的概率：（1）抽到2件次品；（2）至少抽到1件次品解：设表示取到件次品，（1）（2）四、证明题1设，证明事件及相互独立证明：由定义证明.所以事件及相互独立2已知任意事件满足，证明 证明：已知第二次作业一、填空题1应填.2. 应填-113P0.40.40.23应填

4、4应填5应填 6. 应填7. 应填 二、选择题1.（D）. 2.（D）. 3（A）4（B）5（D）6. （C）. 7（C）三、计算题1一批产品由9个正品和3个次品组成，从这批产品中每次任取一个，取后不放回，直到取得正品为止用表示取到的次品个数，写出的分布律和分布函数解：的分布律为0123P的分布函数为2设随机变量的概率分布为-2-10123P0.100.200.250.200.150.10（1）求的概率分布；（2）求的概率分布解：倒表即可.-2-10123P0.100.200.250.200.150.10Y420-2-4-6Z410149即Y-6-4-2024P0.100.150.200.25

5、0.200.10Z0149P0.250.400.250.103设连续型随机变量的概率密度为求：（1）的值；（2）的分布函数解：（1）由，得. （2）当时，当时，当时，当时，.4设随机变量服从正态分布，求：，解：5设连续型随机变量的分布函数为求：（1）常数、（2）随机变量落在内的概率（3）的概率密度函数解：（1），得（2）（3）的概率密度函数6已知随机变量的概率密度为且求（1）常数的值；（2）解:（1）由，再由解得.（2）7已知随机变量的概率密度为又设求：（1）Y的分布律；（2）计算.解：（1）分布律为 -1 1（2）.8已知随机变量的概率密度为求：随机变量的概率密度函数解：设Y的分布函数为.当

6、时，当时，因此Y的概率密度函数为四、证明题1. 设随机变量服从正态分布，证明：仍然服从正态分布，并指出参数.解：教材59页例题.2. 设随机变量服从参数为的指数分布，证明：服从上的均匀分布解：设的分布函数为取值范围为.当时，当时，当时，因此Y的概率密度函数为第三次作业一、填空题1的分布律为010.160.842. ，.3应填0.4应填5应填6. 应填3.7. 应填二、选择题1.（B）. 2（B） 3（A）. 4（C） 5（D） 6（D）. 7.（B）.三、计算题1设随机变量在1，2，3，4四个数字中等可能取值，随机变量在中等可能地取一整数值，求的概率分布，并判断和是否独立解：的概率分布为 Y

7、X12341000200304可以验证和不相互独立2. 设随机事件A、B满足令 求（1）的概率分布；（2）的概率分布.解：（1），（2）可能取值为0，1，2.3已知随机变量和相互独立，且都服从正态分布，求常数，使得概率解：X的概率密度为Y的概率密度为由于和相互独立，从而联合概率密度为解得.4已知二维随机变量的概率密度为（1）求系数；（2）条件概率密度；（3）判断和是否相互独立；（4）计算概率；（5）求的密度函数.解：（1）由得.（2）关于X和Y的边缘概率密度分别为从而X和Y是相互独立的，（3）相互独立. （4）.（5）的分布函数为所以5. 设随机变量在区间上服从均匀分布，令 求的联合分布律.解

8、：可能取的值为（-1，-1），（-1，1），（1，-1），（1，1）6设的概率密度求的概率密度.解：设的分布函数为，取值范围，当时，当时，当时，.从而的概率密度第四次作业一、填空题1应填-0.2, 2.8，,13.42应填3应填4应填13. 5应填6应填7应填，二、选择题1.（C）. 2（D） 3（B）4 （B）5（A） 6.（C） 7.（C）.三、计算题1设随机变量的概率密度为已知，求的值解：由以下三个条件解得.2设二维随机变量的概率密度为求和解：，3设二维离散型随机变量的联合概率分布为 0120010020（1）写出关于、及的概率分布；（2）求和的相关系数.解：（1）012PY012PXY

9、014P（2）,，.4在数轴上的区间内任意独立地选取两点及，求线段长度的数学期望 解：设两点的坐标分别为X，Y，则（X，Y）的联合概率密度为所求.5一民航送客车载有20名乘客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，假设每位旅客在各个车站下车的可能性相同，且各个旅客是否下车相互独立，求停车次数的数学期望解：引入随机变量，令从而，又，所以（次）.6假设由自动流水线加工的某种零件的内径（毫米）服从正态分布，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品；销售合格品获利，销售不合格品亏损，已知销售一个零件的利润（元）及零件内径的关系为问平均内径取何值时，销售一个零件的

10、平均利润最大 解：令（mm） 即平均内径取10.9mm时，销售一个零件的平均利润最大第五次作业一、填空题1应填. 2应填0.975. 二、选择题1（B）2（D）三、计算题1某保险公司多年的统计资料表明，在索赔客户中被盗索赔占20%，以表示在随机抽查的100个索赔客户中因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出的概率分布；（2）利用德莫佛拉普拉斯定理，求被盗索赔客户不少14户且不多于30户的概率的近似值解：（1）索赔户为X，则，（2）由De Moivre-Laplace极限定理2.设某种元件使用寿命（单位：小时）服从参数为的指数分布，其平均使用寿命为40小时，在使用中当一个元件损坏后立即更换另一个新

11、的元件，如此继续下去.已知每个元件的进价为元，试求在年计划中应为购买此种元件作多少预算，才可以有95%的把握保证一年够用（假定一年按照2000个工作小时计算）.解：假设一年需要个元件，则预算经费为元.设每个元件的寿命为则个元件使用寿命为由题意又由独立同分布中心极限定理，故年预算至少应为元.3一条生产线的产品成箱包装，每箱的重量时随机的.假设平均重50千克，标准差为5千克.如果用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每量车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977，（.）解：设是装运的第箱的重量，是箱数，且解得，即最多可以装98箱.第六次作业一、填空题1应填，2应填，23应

12、填，4应填5应填二、选择题1（B）2（C）3（D）4.（D）. 5（A）三、计算题1从正态总体N (20, 3) 中分别抽取容量为10和15的两个相互独立样本，求样本均值之差的绝对值大于0.3的概率解：设样本均值为，则，2设是来自正态总体的样本，试求k，使解：因为.所以，查表得，即3设是取自正态总体的一个样本，样本均值为，样本方差为，解：从而4设总体的概率密度为为总体的样本，求样本容量，使解：先求的分布函数，代入有解得，故取4.5.已知二维随机变量服从二维正态分布，判断服从的概率分布.解：由题意,且相互独立，从而,即，由F分布的定义第七次作业一、填空题1应填2应填3应填4应填535 二、选择题

13、1（B）2（D）3（C）4（A）三、计算题1设总体具有概率分布123P其中是未知参数，已知来自总体的样本值为1，2，1.求的矩估计值和最大似然估计值解：,令，解得的矩估计值为.似然函数为，令，解得的最大似然值为.2设总体X的分布函数为其中参数是未知参数，又为来自总体的随机样本，（1）求的概率密度函数；（2）求参数的矩估计量；（3）求参数的最大似然估计量.解：由题意 （1）（2）.（3）设为一组样本值，似然函数为当时，令，得的最大似然估计量为四、证明题1设总体的均值及方差都存在，及均未知，是的样本，试证明不论总体服从什么分布，样本方差都是总体方差的无偏估计证明：教材145146页.2设是总体的样

14、本，存在，证明估计量都是总体的均值的无偏估计量；并判断哪一个估计量更有效 证明：，因为最小，所以更有效.第八次作业一、填空题1应填2应填3应填二、选择题1（B）2（C）3（C）三、计算题1某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装葡萄糖的净重（单位kg）是一个随机变量，它服从正态分布，当机器工作正常时，其均值为0.5kg，根据经验知标准差为kg（保持不变），某日开工后，为检验包装机的工作是否正常，从包装出的葡萄糖中随机地抽取9袋，称得净重为0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512试在显著性水平下检验机器工作是否正常解：按题意需要检验检验统计量，拒

15、绝域，经计算，故拒绝原假设，即认为机器工作不正常.2设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程解：设这次考试的考生成绩为X，则.检验统计量，拒绝域，经计算，故接受原假设，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.3设有甲，乙两种零件，彼此可以代用，但乙种零件比甲种零件制造简单，造价低，经过试验获得抗压强度（单位：）为甲种零件：88, 87, 92, 90, 91，乙种零件：89, 89, 90, 84, 88.假设甲乙两种零件的抗压强度均服从正态分

16、布，且方差相等，试问两种零件的抗压强度有无显著差异（取）？解：本题是在显著性水平下，检验假设检验统计量，拒绝域，经计算，故接受原假设，即认为两种零件的抗压强度无显著差异.4某无线电厂生产的一种高频管，其中一项指标服从正态分布，从一批产品中抽取8只，测得该指标数据如下：66,43,70,65,55,56,60,72,（1）总体均值，检验（取）；（2）总体均值未知时，检验（取）解：本题是在显著性水平下，检验假设（1）均值时，检验统计量，拒绝域：经计算，故接受原假设，即认为.（2）均值未知时，检验统计量，拒绝域：经计算，故接受原假设，即认为.综合练习一一、填空题1应填2应填 3应填 4应填 5应填6

17、应填 二、选择题1（D）2（C）3（D）4（A）三、解答下列各题1某仓库有十箱同样规格的产品，其中有五箱、三箱、两箱依次是由甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该产品的次品率依次为，今从这十箱产品中任取一箱；再从中任取一件产品（1）求取到的产品是合格品的概率；（2）若已知抽取的产品是合格品，求它由甲厂生产的概率解：设A表示“取到的产品是合格品”，表示“产品分别是甲、乙、丙厂生产的”，（1）（2）2设随机变量的概率密度为，求（1）常数；（2）的分布函数解：（1）由，得.（2）的分布函数3求总体的容量分别为10和15的两个独立样本均值之差的绝对值大于0.3的概率解：设样本均值为，则，4设总体的

18、概率密度为其中是未知参数，又为取自总体的简单随机样本，求的矩估计量和最大似然估计量. 解：（1），令，得的矩估计量.（2）设为一组样本值，则似然函数为取对数，令 得的最大似然估计量5一电子仪器由两部件构成，以和分别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知和的联合分布函数为问和是否相互独立 解：关于X和Y的边缘分布函数分别为因为，所以和相互独立6设随机变量的联合概率密度为求：（1）关于和的边缘概率密度和；（2）求.解：（1）关于X的边缘概率密度为关于的边缘概率密度 （2）.7设对某目标连续射击，直到命中次为止，每次射击的命中率为，求子弹消耗量的数学期望解：设表示第次命中到第次命中之间消耗的子弹数，

19、则且，从而8.设二维随机变量在区域上服从均匀分布，求的概率密度.方法1：，方法2：综合练习二一、填空题1应填2应填373应填0.84应填5应填二、选择题1（B）2（C）3（A）4（C）5.（D）三、设随机变量的分布函数为（1）求的概率密度；（2）计算解：（1） （2）.四、已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 解：的可能取值为0，1，2，3，的分布律为即 设表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于构成完备事件组，由全概率公式有五、设二维随机变量的概率密度为求：（1）系数；（2）边缘概率密度；（3）和是否独立.解：（1）；（2）（3），不相互独立.六、设为来自正态总体的一组简单随机样本，记，统计量证明是的无偏估计量.解：（1），所以是的无偏估计量.