电大离散数学图论部分期末复习辅导.doc

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1、离散数学图论部分期末复习辅导一、单项选择题1设图G，vV，则下列结论成立的是 ( ) Adeg(v)=2E Bdeg(v)=EC D解 根据握手定理（图中所有结点的度数之和等于边数的两倍）知，答案C成立。答 C2设无向图G的邻接矩阵为则G的边数为( )A6 B5 C4 D3解 由邻接矩阵的定义知，无向图的邻接矩阵是对称的即当结点vi及vj相邻时，结点vj及vi也相邻，所以连接结点vi及vj的一条边在邻接矩阵的第i行第j列处和第j行第i列处各有一个1，题中给出的邻接矩阵中共有10个1，故有102=5条边。答 B3已知无向图G的邻接矩阵为则G有（ ）A5点，8边 B6点，7边 C6点，8边 D5点

2、，7边解 由邻接矩阵的定义知，矩阵是5阶方阵，所以图G有5个结点，矩阵元素有14个1，142=7，图G有7条边。答 Dooooabcd图一oe4如图一所示，以下说法正确的是 ( ) A(a, e)是割边B(a, e)是边割集C(a, e) ,(b, c)是边割集D(d, e)是边割集定义 设无向图G=为连通图，若有边集E1E，使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图仍是连通图，则称E1是G的一个边割集若边割集为单元集e，则称边e为割边（或桥）解 割边首先是一条边，因为答案A中的是边集，不可能是割边，因此答案A是错误的删除答案B或C中的边后，得到的

3、图是还是连通图，因此答案B、C也是错误的在图一中，删去(d, e)边，图就不连通了，所以答案D正确答 D注：如果该题只给出图的结点和边，没有图示，大家也应该会做如：若图G=，其中V= a, b, c, d, e ，E= (a, b), (a, c) , (a, e) , (b, c) , (b, e) , (c, e) , (e, d)，则该图中的割边是什么？5图G如图二所示，以下说法正确的是 ( )oooabcd图二oAa是割点Bb, c是点割集Cb, d是点割集Dc是点割集定义 设无向图G=为连通图，若有点集V1V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V1的任何真子

4、集后，所得的子图仍是连通图，则称V1是G的一个点割集若点割集为单元集v，则称结点v为割点解 在图二中，删去结点a或删去结点c或删去结点b和d图还是连通的，所以答案A、C、D是错误的在图二中删除结点b和c，得到的子图是不连通图，而只删除结点b或结点c，得到的子图仍然是连通的，由定义可以知道，b, c是点割集所以答案B是正确的答 Boooabcd图三o6图G如图三所示，以下说法正确的是 ( ) A(a, d)是割边B(a, d)是边割集C(a, d) ,(b, d)是边割集D(b, d)是边割集解 割边首先是一条边，(a, d)是边集，不可能是割边在图三中，删除答案B或D中的边后，得到的图是还是连

5、通图因此答案A、B、D是错误的在图三中，删去(a, d)边和(b, d)边，图就不连通了，而只是删除(a, d)边或(b, d)边，图还是连通的，所以答案C正确7设有向图（a）、（b）、（c）及（d）如图四所示，则下列结论成立的是( )图四A（a）是强连通的 B（b）是强连通的C（c）是强连通的 D（d）是强连通的复习：定义 在简单有向图中，若在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G是单向（侧）连通的；若在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G是强连通的；若图G的底图，即在图G中略去边的方向，得到的无向图是连通的，则称图G是弱连通的显然，强连通的一定是单向连通和弱连通的

6、，单向连通的一定是弱连通，但其逆均不真定理 一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一个回路，其至少包含每个结点一次单侧连通图判别法：若有向图G中存在一条经过每个结点至少一次的路，则G是单侧连通的。答 A（有一条经过每个结点的回路）问：上面的图中，哪个仅为弱连通的？答：图(d)是仅为弱连通的请大家要复习“弱连通”的概念8设完全图K有n个结点(n2)，m条边，当（ ）时，K中存在欧拉回路Am为奇数 Bn为偶数Cn为奇数 Dm为偶数解 完全图K每个结点都是n-1度的，由定理的推论知K中存在欧拉回路的条件是n-1是偶数，从而n为奇数。答 C提示：前面提到n阶无向完全图Kn的每个结点的度数是n-1，现在要

7、问：无向完全图Kn的边数是多少？答：n(n1)/29若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( )A平面图 B对偶图C欧拉图 D连通图定义 给定图G，若存在一条路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该路称为汉密尔顿路；若存在一条回路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该回路称为汉密尔顿回路；具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图由定义可知，汉密尔顿图是连通图 答 D10若G是一个欧拉图，则G一定是( )A平面图 B汉密尔顿图C连通图 D对偶图定义4.1.1给定无孤立结点图G，若存在一条路经过图G的每条边一次且仅一次，则该路称为欧拉路（即，欧拉路中没有重复的边，并且包含了图中的每条边）若存在一条回路经过图G的每

8、条边一次且仅一次，则该回路称为欧拉回路具有欧拉回路的图就称为欧拉图由定义可知，欧拉图是连通图 答 C11设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )Aev2 Bve2Cev2 Dev2答 A（定理：欧拉公式v-e+r = 2）问：如果连通平面图G有4个结点，7条边，那么图G有几个面？12无向树T有8个结点，则T的边数为( )A6 B7 C8 D9答 B13无向简单图G是棵树，当且仅当( )AG连通且边数比结点数少1BG连通且结点数比边数少1CG的边数比结点数少1DG中没有回路答 A（定理（树的等价定义）14已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数

9、为( )A8 B5 C4 D3解 这棵无向树T有7条边，所有结点的度数之和为14，而4度、3度、2度的分支点各一个共3个结点占用了9度，所以剩下的5个结点占用5度，即这5个结点每个都是1度结点，故有5片树叶答 B15设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( )条边，才能确定G的一棵生成树A BC D答 A（n个结点的连通图的生成树有条边，必须删去条边）16设无向图G的邻接矩阵为则G的边数为( )A1 B6 C7 D14答 C17如图二（下图）所示，以下说法正确的是 ( )Ae是割点 Ba, e是点割集Cb, e是点割集 Dd是点割集图二答 A18设有向图（a）、（b）、（c）及（d）如

10、图六（下图）所示，则下列结论成立的是( )图六A（a）只是弱连通的 B（b）只是弱连通的C（c）只是弱连通的 D（d）只是弱连通的答 D19无向完全图K4是（ ）A欧拉图 B汉密尔顿图 C非平面图 D树答 B20以下结论正确的是( )A无向完全图都是欧拉图B有n个结点n1条边的无向图都是树C无向完全图都是平面图D树的每条边都是割边答 D二、填空题1已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是 解 设G有x条边，则由握手定理，答 152设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是 解 从图G中删除结点f，得到的子图是不连通图，即结点集f是点割集；从图G中删除结

11、点c和e，得到的子图是不连通图，而只删除c或e，得到的子图仍然是连通的，所以结点集c, e也是点割集而其他结点集都不满足点割集的定义的集合，所以应该填写：f、c, e答 f、c,e提示：若f是图G的割点，则f是图G的点割集，删除f点后图G是连通吗？3设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则G的结点 等于边数的两倍答 的度数之和4无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且 答 G的结点度数都是偶数（定理4.1.1的推论）5设G=是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于 ，则在G中存在一条汉密尔顿路答 n-1（定理）6若图G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，

12、在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|及W满足的关系式为 答 W |S|（定理4.2.1）7设完全图K有n个结点(n2)，m条边，当 时，K中存在欧拉回路答 n为奇数（同一、8题）8结点数v及边数e满足 关系的无向连通图就是树答 e=v-1（定理（树的等价定义）9设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去 条边后使之变成树解 由握手定理（定理3.1.1）知道图G有182=9 条边，又由定理5.1.1中给出的图T为树的等价定义之一是“图T连通且e=v-1”，可以知道图G的生成树有5条边，从而要删去4条边答 410设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为

13、i = 答 4（定理：(m-1)i=t-1）三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由）1如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路解 错误只有当G是连通图且其结点度数均为偶数时，图G才存在一条欧拉回路2如下图所示的图G存在一条欧拉回路解 错误因为图G有两个奇数度（3度）结点，所以不存在欧拉回路注：这是一个汉密尔顿图，但不是欧拉图。可见汉密尔顿图不一定是欧拉图其实，欧拉图也不一定是汉密尔顿图如下图所示，图（1）是欧拉图又是汉密尔顿图，图（2）是欧拉图但不是汉密尔顿图，图（3）不是欧拉图但它是汉密尔顿图，图（4）不是欧拉图也不是汉密尔顿图。3如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔

14、顿图图G解 正确图G有4个3度结点a，b，d，f，所以图G不是欧拉图图G有汉密尔顿回路abefgdca，所以图G是汉密尔顿图4设G是一个有7个结点16条边的连通简单图，则G为平面图解 错误由定理知，若G有v个结点e条边，且v3，则e3v-6但本题中，1637-6不成立5设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面解 正确由欧拉定理，连通平面图G的结点数为v，边数为e，面数为r，则v-e+r=2于是有r=2-v+e=2-6+11=7问：“完全图K6是平面图”是否正确？答 不正确因为完全图K6有6个结点15条边，且1536-6=12，即e 3v-6对K6不成立，所以K6不是平面图四、计

15、算题1设G=，V= v1，v2，v3，v4，v5，E= (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) ，试(1) 给出G的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵；(3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形解 （1）G的图形为：（2）图G的邻接矩阵为：（3）图G的每个结点的度数为：（4）由关于补图的定义3.1.9可知，先在图G补充边画出完全图（见下面左图），然后去掉原图的边，可得图G补图（见下面右图）：注意：补图中，如果没有标出结点v3，则是错的2图G=，其中V= a, b, c, d, e，E= (a, b), (a, c), (a,

16、e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) ，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G的图形；（2）写出G的邻接矩阵；（3）求出G权最小的生成树及其权值解 （1）G的图形如左下图：（2）G的邻接矩阵为：（3）图G有5个结点，其生成树有4条边，用Kruskal算法求其权最小的生成树T：第1步，取具最小权1的边(a,c)；第2步，取剩余边中具最小权1的边(c,e)；第3步，取剩余边中不及前2条边构成回路的具最小权2的边(a,b)；第4步，取剩余边中不及前3条边构成回路的具最小权3的边(b,d)所求最小生成树T如下图，其权为注意：在用

17、避圈法求最小的生成树的关键是：“取图中权数最小的边，且及前面取到的边不构成圈”，很多学生只注意到取权数最小的边了，而忽略了“不构成圈”的要求。如果题目给出如解(1) 中所示赋权图，要求用Kruskal算法（避圈法）求出该赋权图的最小生成树，大家应该会吧3已知带权图G如右图所示(1) 求图G的最小生成树；(2)计算该生成树的权值解 （1）图G有6个结点，其生成树有5条边，用Kruskal算法求其权最小的生成树T：第1步，取具最小权1的边；第2步，取剩余边中具最小权2的边；第3步，取剩余边中不及前2条边构成回路的具最小权3的边；第4步，取剩余边中不及前3条边构成回路的具最小权5的边；第5步，取剩余

18、边中不及前4条边构成回路的具最小权7的边所求最小生成树T如右图（2）该最小生成树的权为4设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权解 （Huffman算法）：首先组合2+3，求带权5, 5, 7, 17, 31的最优二叉树；再组合5+5，求带权7, 10, 17, 31的最优二叉树；然后组合7+10，求带权17, 17, 31的最优二叉树；继续组合17+17，求带权31, 34的最优二叉树；最后组合31+34，得65，这是树根所带的权。可从树根开始往下画，即得所求最优二叉树T如下图：所求最优二叉树T的权为：讲评：作业中最优二叉树往往都能画对了

19、，但计算总权值时可能会把有些权的层数计算错了，导致总权值计算错误，大家一定要细心。注意：这4个计算题的解题方法大家一定要掌握。补充：教材第101页例3 给定如图所示有向图，其邻接矩阵以及邻接矩阵的乘积如下：从上面的矩阵中可以得到一些结论，如：（1）从A2中第1行第3列的为1可知，结点v1及v3之间有一条长度为2的路；（2）从A3中第1行第2列的为2可知，v1及v2之间有2条长度为3的路；（3）从A4中第2行第2列的为4可知，在结点v2有4条长度为4的回路如果改成问题：试求：（1）图G中结点v1及v3之间长度为2的路径条数； 1条（2）图G中v1及v2之间长度为3的路径条数； 2条（3）图G中经

20、过v2的长度为4的回路条数 4条五、证明题证明题同学一般都做不好，原因是对证明题方法没有掌握，也是对一些概念不清楚所造成的。因此，希望大家认真学习教材和老师讲课中的证明方法，并通过作业逐步掌握做证明题的方法。1设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数证明图G及它的补图中的奇数度顶点个数相等证明 设，则是由n阶无向完全图的边删去E所得到的所以对于任意结点，u在G和中的度数之和等于u在中的度数由于n是大于等于3的奇数，从而的每个结点都是偶数度的（度），于是若在G中是奇数度结点，则它在中也是奇数度结点故图G及它的补图中的奇数度结点个数相等2设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加条边才能使其成为欧拉图证明 由定理知，k必为偶数要使这k个奇数度结点变成偶数度结点，从而使图G变成欧拉图，可在每两个奇数度结点间添加一条边故在图G中至少要添加条边才能使其成为欧拉图第 8 页