2019届浙江省基于高考试题的复习资料——二项式定理(解析版).docx

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1、九、计数原理及古典概率（二）二项式定理一、高考考什么？考试说明3了解二项式定理，二项式系数的性质。知识梳理1二项式定理：，其中组合数叫做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项，其中第r+l项），会求常数项、某项的系数等2二项式系数的性质：（1）对称性：及首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性及最大值：当时，二项式系数C的值逐渐增大，当时,C的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第1项）的二项式系数取得最大值。当n为奇数时，中间两项（第和项）的二项式系数相等并同时取最大值。（3）二项式系数的和：3.展开式系数的性质：若；令 则：（1）展开式的各项系数和为

2、（2）展开式的奇次项系数和为（3）展开式的偶次项系数和为二、高考怎么考？全面解读 从考试说明来看，二项式定理主要解决及二项展开有关的问题，从考题来看，每一年均有一题，难度为中等，从未改变。命题主要集中在常数项，某项的系数，幂指数等知识点上。掌握二项式定理主要以通项为抓手，由通项可解决常数项问题、某项的系数问题，系数要注意二项式系数及展开式系数的区别。 难度系数 原题解析2004年（7）若展开式中存在常数项，则n的值可以是( ) A8 B9 C10 D12 2005年（5）在 的展开式中，含的项的系数是（ ） A74 B 121 C74 D121 2006年 （8）若多项式则（ ） A9 B10

3、 C-9 D-102007年（6）展开式中的常数项是（ ） ABC D2008年（4）在的展开式中，含的项的系数是( ) A-15 B85 C-120 D2742009年（4）在二项式的展开式中，含的项的系数是( ) A B C D2011年（13）设二项式的展开式中的系数为A,常数项为B，若，则的值是 。2012年（14）若将函数表示为 其中，为实数，则_2013年（11）设二项式的展开式中常数项为，则 2014年（5）在的展开式中，记项的系数为，则 （ ）A. 45 B. 60 C. 120 D. 2102015年（04）（1）已知 为正整数，在及 展开式中项的系数相同，求 n的值.201

4、6年（04）（1）已知，求的值。2017年（13） 已知多项式，则= ，= 2018年（14）二项式的展开式的常数项是_附文科试题2005年（5）在的展开式中，含的项的系数是( ) A B 6 C 10 D 102006年 （2）在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）A15 B20 C30 D40三、不妨猜猜题？从考试说明来看，二项式定理主要解决及二项展开有关的问题，从考题来看，每一年均有一题，难度为中等，从未改变。命题主要集中在常数项，某项的系数，幂指数等知识点上。掌握二项式定理主要以通项为抓手，由通项可解决常数项问题、某项的系数问题，系数要注意二项式系数及展开项的系数的区别。尤其要加强求

5、二个二项式相乘的展开式中某项系数的训练，高考出现的频率很高。A组1若二项式（x22x)n的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为A -240 B -160 C 160 D 2402若(x1)5a5(x1)5a1(x1)a0，则a0和a1的值分别为()A 3280 B 3240 C 1620 D 16103若(x2+2x3)n展开式存在常数项，则n的最小值为（ ）A 3 B 4 C 5 D 64若(x2a)(x+1x)10的展开式中x6的系数为30，则a=（ ）A 12 B 2 C 12 D 25x+1x216展开式x2的系数为A 45 B 15 C 15 D 456若1+x12x8

6、=a0+a1x+a9x9，xR，则a12+a222+a929的值为A 29 B 291 C 39 D 3917设(x2+1)(2x+3)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a11(x+2)11，则a1+a2+a11的值为 （ ）A 7 B 3 C 2 D 78二项式(x+1x2)5的展开式中常数项为_所有项的系数和为_9(x2x+1)10展开式中所有项的系数和为_，其中x3项的系数为_.10(1+2x2)(x1x)8的展开式中x-2项前系数为_(用数字作答)，项的最大系数是_11已知(1+ax)(1+x)6的展开式中x3的系数为10，则a=_，此多项式的展开式中含x的奇数次幂项的系数之

7、和为_12若(x+y)(2xy)5=a1x6+a2x5y+a3x4y2 +a4x3y3+a5x2y4+a6xy5+a7y6，则a4=_，a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=_B组1(1+1x2)(1+x)6展开式中x2的系数为（ ）A 15 B 20 C 30 D 352(x+1)(2x+1)(3x+1)(nx+1)(nN*)的展开式中,一次项的系数为 ( )A Cnn1 B Cn2 C Cn+12 D 12Cn+123若x+2x2n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是第（）项（ ）A 4 B 3 C 2 D 14已知x+22x15=a0+a1x +a2x2+a3x

8、3+a4x4+a5x5+a6x6，则a0+a2+a4=（ ）A 123 B 91 C -152 D -1205在(1+x)2+(1+x)3+(1+x)10的展开式中，含x2项的系数为（ ）A 45 B 55 C 120 D 1656已知：，则（ ）A. 28 B. 448 C. 112 D. 4487若2x12018=a0+a1x+a2x2+a2018x2018xR，则12+a222a1+a323a1+a201822018a1=（ ）A 12018 B 12018 C 14036 D 140368在(x12x2)9 的展开式中，常数项为_；系数最大的项是_9设，则a0=_； 10已知x5=a5

9、(2x+1)5+a4(2x+1)4+a1(2x+1)+a0，则a5=_，a4=_11设 (2+x) 10 a0 + a1 x + a2 x 2 + a10 x 10，则a2= _，(a0 + a2 + a4 + a10) 2(a1 + a3 + a5 + a9) 2 的值为 _12已知多项式 满足，则_， _【全解全析】原题解析2004年（7）若展开式中存在常数项，则n的值可以是( ) A8 B9 C10 D12 【答案】C。【解析】展开式的通项公式为。令有解，即有解。因此n是5的倍数。故选项为C。2005年（5）在 的展开式中，含的项的系数是（ ） A74 B 121 C74 D121 【答

10、案】D。【解析】利用等比数列的前n项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含x4的项的系数，即是代数式的含x3的项的系数：中x4的系数为，中x4的系数为， 中x3的系数为5126=121。故选D。2006年 （8）若多项式则（ ） A9 B10 C-9 D-10【答案】D。【解析】 ，题中只是展开式中的系数。故选D。2007年（6）展开式中的常数项是（ ） ABC D【答案】C【解析】，由，得，代入，得常数项为C2008年（4）在的展开式中，含的项的系数是( ) A-15 B85 C-120 D274【答案】A。【解析】含x4的项是由(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)的5个括号中4

11、个括号出x仅1个括号出常数展开式中含x4的项的系数是（1）（2）（3）（4）（5）=15。故选A。2009年（4）在二项式的展开式中，含的项的系数是( ) A B C D【答案】B 【解析】对于，对于，则的项的系数是2011年（13）设二项式的展开式中的系数为A,常数项为B，若，则的值是 。【答案】2，【解析】由题意得，。又，解之得。又，。2012年（14）若将函数表示为 其中，为实数，则_【答案】10【解析】x5(1x)15，故a3为(1x)15的展开式中(1x)3的系数，由二项展开式的通项公式得Tr1(1x)r(1)5r令r3，得T4(1x)3(1)210(1x)3故a3102013年（1

12、1）设二项式的展开式中常数项为，则 【答案】10【解析】：Tr1.令155r0，得r3，所以A(1)310.2014年（5）在的展开式中，记项的系数为，则 （ ）A. 45 B. 60 C. 120 D. 210【答案】C【解析】由题意可得，故选C2015年（04）（1）已知 为正整数，在及 展开式中项的系数相同，求 n的值.【答案】【解析】2016年（04）（1）已知，求的值。【答案】21【解析】2017年（14） 已知多项式，则= ，= 【答案】16，4【解析】2018年（14）二项式的展开式的常数项是_【答案】【解答】通项.，.常数项为.附文科试题2005年（5）在的展开式中，含的项的系

13、数是( ) A B 6 C 10 D 10【答案】B2006年 （2）在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）A15 B20 C30 D40【答案】B三、不妨猜猜题？从考试说明来看，二项式定理主要解决及二项展开有关的问题，从考题来看，每一年均有一题，难度为中等，从未改变。命题主要集中在常数项，某项的系数，幂指数等知识点上。掌握二项式定理主要以通项为抓手，由通项可解决常数项问题、某项的系数问题，系数要注意二项式系数及展开项的系数的区别。尤其要加强求二个二项式相乘的展开式中某项系数的训练，高考出现的频率很高。A组1若二项式（x22x)n的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为A -24

14、0 B -160 C 160 D 240【答案】D【解析】由已知得到2n=64，所以n=6，所以展开式的通项为Tr+1=C6r(x2)6r(2x)r=C6r(2)rx123r，令123r=0，得到r=4，所以展开式的常数项为T5=C64(2)4=240，故选D.2若(x1)5a5(x1)5a1(x1)a0，则a0和a1的值分别为()A 3280 B 3240 C 1620 D 1610【答案】A【解析】(x+1)5=(x1)+25的展开式的通项为Tk+1=C5k(x1)5k2k，则a0=C5525=32,a1=C5424=80；故选A.3若(x2+2x3)n展开式存在常数项，则n的最小值为（

15、）A 3 B 4 C 5 D 6【答案】C【解析】(x2+2x3)n的展开式的通项公式为Tr+1=Cnr（x2）nr（2x3）r=Cnr2rx2n5r，r=0，1，2，n，由题意可得2n5r=0，即n=5r2，由n正整数，可得r=2时，n取得最小值5故选：C4若(x2a)(x+1x)10的展开式中x6的系数为30，则a=（ ）A 12 B 2 C 12 D 2【答案】D【解析】 由题意二项式(x+1x)10的展开式为Tr+1=C10rx10r(1x)r=C10rx102r， 展开式的x6为x2C103x4aC102x6=(C103aC102)x6，所以C103aC102=30， 解得a=2，故

16、选D.5x+1x216展开式x2的系数为A 45 B 15 C 15 D 45【答案】B【解析】由题得x+1x2-16=(x+1x2)16，设Tr+1=C6r(x+1x2)6r(1)r=C6r(1)r(x+1x2)6r,对于二项式(x+1x2)6r，设其通项为Uk+1=C6rkx6rk(1x2)k=C6rkx6r3k，令6-r-3k=2,所以r+3k=4,r,kN,方程的解为r=1,k=1或者r=4,k=0.所以x+1x2-16展开式x2的系数为C61(1)1C51+C64(1)4C20=15.故答案为：B6若1+x12x8=a0+a1x+a9x9，xR，则a12+a222+a929的值为A

17、29 B 291 C 39 D 391【答案】D【解析】令x=0,则a8=1,令x=2,a0+2a1+22a2+.+29a9=39 2a1+22a2+.+29a9=391 故答案为：D.7设(x2+1)(2x+3)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a11(x+2)11，则a1+a2+a11的值为 （ ）A 7 B 3 C 2 D 7【答案】D【解析】题中所给等式(x2+1)(2x+3)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a11(x+2)11中，令x=2可得：4+14+39=a0，即a0=5，令x=1可得：1+12+39=a0+a1+a2+a3+a11，即a0+a1+a2+a3

18、+a11=2，据此可知：a1+a2+a11的值为25=7.本题选择D选项.8二项式(x+1x2)5的展开式中常数项为_所有项的系数和为_【答案】 5 32【解析】展开式的通项为Tr+1=C5r(x)5r(1x2)r=C5rx5252r，令5252r=0，解得r=1，所以展开式中的常数项为T2=C51=5，令x=1，得到所有项的系数和为25=32，得到结果.9(x2x+1)10展开式中所有项的系数和为_，其中x3项的系数为_.【答案】1210【解析】令x=1，则展开所有项的系数和为(1-1+1)10=1若要凑成x3有以下几种可能：一是1个x2，1个(-x)，8个1，二是3个(-x)，7个1，则有

19、C101x2C91-xC8818=-90x3C103-x3C7717=-120x3-90x3+-120x3=-210x3故x3项的系数为-21010(1+2x2)(x1x)8的展开式中x-2项前系数为_(用数字作答)，项的最大系数是_【答案】084【解析】(x-1x)8通项Tr+1=C8rx8r(1x)r=(1)rC8rx82r，当r=5时，T6=56x2，当r=6时，T7=28x4，所以x-2项前系数为0。由二项式定理展开可得：(x1x)8=C80x8C81x6+C82x4C83x2+C84x0C85x2+C86x4C87x6+C88x8(1+2x2)(x-1x)8=2C80x10+(C80

20、2C81)x8(C812C82)x6+(C822C83)x4(C832C84)x2+(C842C85)x0(C852C86)x2+(C862C87)x4(C872C88)x6+C88x8所以最大项为(C832C84)x2，即84x2。所以填0和84。11已知(1+ax)(1+x)6的展开式中x3的系数为10，则a=_，此多项式的展开式中含x的奇数次幂项的系数之和为_【答案】 -2 -32【解析】由题意的，展开式中含x3的系数为C63+AC62=20+15a=10，解得a=2，令fx=(12x)(1+x)6=a0+a1x+a2x2+a7x7，令x=1，则a0+a1+a2+a7=64；令x=1，则

21、a0a1+a2+a7=0，两式相减，则展开式中含x奇次幂的系数之和为a1+a3+a5+a7=f(1)f(1)2=32.12若(x+y)(2xy)5=a1x6+a2x5y+a3x4y2 +a4x3y3+a5x2y4+a6xy5+a7y6，则a4=_，a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=_【答案】 40 2【解析】2xy5的二项展开式通项为Tr+1=C5r(2x)5r(y)r=C5r25r(1)rx5ryr，令r=3得T4=40x2y3；令r=2得T3=80x3y2，再及x+y相乘，可得x3y3的系数为40+80=40,a4=40.在(x+y)(2x-y)5=a1x6+a2x5y+a3x4y

22、2 +a4x3y3+a5x2y4+a6xy5+a7y6中，令x=y=1得a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=(1+1)(21)5=2.B组1(1+1x2)(1+x)6展开式中x2的系数为（ ）A 15 B 20 C 30 D 35【答案】C【解析】当(1+1x2)选择1时，(1+x)6展开式选择x2的项为C62x2 ；当（(1+1x2)选择1x2时，(1+x)6展开式选择x2的项为C64x4， 所以（(1+1x2)(1+x)6展开式中x2的系数为C62+C64=30. 故选C.2(x+1)(2x+1)(3x+1)(nx+1)(nN*)的展开式中,一次项的系数为 ( )A Cnn1 B C

23、n2 C Cn+12 D 12Cn+12【答案】C【解析】由题意，可得展开式中一次项的系数为1+2+3+n=，故选C.3若x+2x2n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是第（）项（ ）A 4 B 3 C 2 D 1【答案】B【解析】x+2x2n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，Cn5最大，n=10；展开式的通项公式为Tr+1=C10rx10-r2x2r=2rC10rx5-5r2 令5-5r2=0 ，解得r=2，即展开式中的常数项是第3项故选：B4已知x+22x15=a0+a1x +a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则a0+a2+a4=（ ）A 123

24、B 91 C -152 D -120【答案】C【解析】在（x+2）（2x1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6中，取x=1，得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=3，取x=1，得a0a1+a2a3+a4a5+a6=243，2（a0+a2+a4+a6）=240，即a0+a2+a4+a6=120，又a6=C5025=32，a0+a2+a4=152故答案为：C5在(1+x)2+(1+x)3+(1+x)10的展开式中，含x2项的系数为（ ）A 45 B 55 C 120 D 165【答案】D【解析】(1+x)2+(1+x)3+(1+x)10的展开式中含x2项的系数

25、为C22+C32+C42+C102=C113=165.故选D.6已知：，则（ ）A. 28 B. 448 C. 112 D. 448【答案】A【解析】x(x2)8=x-1+1x-1-18，当第一个因子取x-1时，第二个因子取C83x-15-13=-56当第一个因子取1时，第二个因子取C82x-16-12=28故a6-56+28=-28故选：A7若2x12018=a0+a1x+a2x2+a2018x2018xR，则12+a222a1+a323a1+a201822018a1=（ ）A 12018 B 12018 C 14036 D 14036【答案】C【解析】（12x）2018=a0+a1x+a2

26、x2+a2018x2018（xR），根据二项式的展开式的通项得到a1=C20182017212017=20182，令x=0，可得a0=1，原式令x=12，可得a0+a12+a222+.+a201822018=0得到a222+a323+a201822018=-a0a12 12+a222a1+a323a1+a201822018a1=12+1a1a222+a323+a201822018=12+1a1a0a12=a0a1=4036. 结合两式得到故选：C8在(x12x2)9 的展开式中，常数项为_；系数最大的项是_【答案】 212 9x3【解析】因为Tr+1=C9rx9r(12x2)r=C9r(12)

27、rx93r，所以由93r=0得r=3,常数项为C93(12)3=212因为系数最大的项系数为正，所以只需比较C90(12)0=1，C92(12)2=9，C94(12)4=638，C96(12)6=2116，C98(12)8=9256大小因此r=2时系数最大，项是9x3，9设，则a0=_； 【答案】 9;120【解析】因为表示的为x的4次幂的系数，那么根据等式左边表示的为等比数列的求和，得到和式，然后利用对x的幂指数赋值，得到结论为12010已知x5=a5(2x+1)5+a4(2x+1)4+a1(2x+1)+a0，则a5=_，a4=_【答案】 132 532【解析】x5=(12)5（2x+1）1

28、5=132（2x+1）55（2x+1）4+10（2x+1）3 =a5（2x+1）5+a4（2x+1）4+a1（2x+1）+a0， 则a5=132，a4=532故答案为：132 ；-53211设 (2+x) 10 a0 + a1 x + a2 x 2 + a10 x 10，则a2= _，(a0 + a2 + a4 + a10) 2(a1 + a3 + a5 + a9) 2 的值为 _【答案】 720 1【解析】(2+x)10展开式的通项为Tr+1=C10r(2)10rxr，令r=2，得C102(2)102=4516=720，所以a2=720；因为(a0+a2+a4+a10)2(a1+a3+a5+a9)2 =(a0+a2+a4+a10+a1+a3+a9)(a0+a2+a4+a10)(a1+a3+a9)所以，令x=1，得a0+a2+a4+a10+a1+a3+a9=(2+1)10，令x=1，得(a0+a2+a4+a10)(a1+a3+a9)=(21)10，所以，两式相乘得(a0+a2+a4+a10)2(a1+a3+a5+a9)2=(2+1)10(21)10=1.12已知多项式 满足，则_， _【答案】 【解析】多项式 满足令，得，则该多项式的一次项系数为令，得故答案为5，72第 20 页