92全国高中数学联赛试题及详细解析.docx

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1、一、选择题(每小题5分，共30分)1对于每个自然数n，抛物线y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|的值是( ) (A) (B) (C) (D) (A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (B)是直角三角形，但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形，也不是直角三角形5设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且|z1|=4，4z12-2z1z2+z22=0，O为坐标原点，则OAB的面积为( ) (A)8 (B)4 (C)6 (D)12来源:学科网6设f(x

2、)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f(10+x)=f(10-x)， f(20-x)=-f(20+x)，则f(x)是(A)偶函数，又是周期函数 (B)偶函数，但不是周期函数(C)奇函数，又是周期函数 (D)奇函数，但不是周期函数二、填空题(每小题5分共30分)1设x，y，z是实数，3x，4y，5z成等比数列，且，成等差数列，则+的值是_来源:学科网2在区间0，p中，三角方程cos7x=cos5x的解的个数是_3从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是_4设z1，z2都是复数，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，则ar

3、g()3的值是_5设数列a1，a2，L，an，L满足a1=a2=1，a3=2，且对任何自然数n， 都有anan+1an+21，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，则a1+a2+L+a100的值是_6函数f(x)= 的最大值是_三、(20分)求证：161) 2.用数学归纳法证明： fn(x)=2若m为奇数，则m+1为偶数，由归纳假设知，对于n=m及n=m1，有fm(x)= ym1Cym2+(1)iCym2i+(1)C y fm1(x)= ym1Cym3+(1)i1Cym+12i+(1)C 用y乘减去，同上合并，并注意最后一项常数项为(1)C=(1)C=(1)于是得

4、到yfm(x)fm1(x)=ym+1Cm1ym1+(1)，即仍有对于n=m+1，命题成立综上所述，知对于一切正整数n，命题成立 第二试一、(35分) 设A1A2A3A4为O的内接四边形，H1、H2、H3、H4依次为A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的垂心求证：H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置 显然，A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的外心都是点O，而它们的重心依次是(cos+cos+cosd)，(sin+sin+sind)、(cos+cosd+cos)，(sin+sind+sin)、(cosd+cos+cos)，(sind+s

5、in+sin)、(cos+cos+cos)，(sin+sin+sin)从而，A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的垂心依次是H1(cos+cos+cosd， sin+sin+sind)、H 2 (cos+cosd+cos，sin+sind+sin)、H 3 (cosd+cos+cos，sind+sin+sin)、H 4 (cos+cos+cos，sin+sin+sin)来源:Zxxk.Com而H1、H2、H3、H4点与点O1(cos+cos+cos+cosd，sin+sin+sin+sind)的距离都等于1，即H1、H2、H3、H4四点在以O1为圆心，1为半径的圆上证毕二、(35分)设集合Sn=1,2,L,n若X是Sn的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0)，若X的容量为奇(偶)数，则称X为的奇(偶)子集 1求证Sn的奇子集与偶子集个数相等 2求证：当n3时，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和三、(35分) 在平面直角坐标系中，任取6个格点Pi(xi，yi)(i=1，2，3，4，5，6)满足： |xi|2，|yi|2(i=1，2，3，4，5，6)； 任何三点不在一条直线上试证明：在以Pi(i=1，2，3，4，5，6)为顶点的所有三角形中，必有一个三角形的面积不大于2