90全国高中数学联赛试题及解答.doc

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1、1990年全国高中数学联赛第一试(10月14日上午8001000)一选择题(本题满分30分，每小题5分)1设(，),则(cosa)cosa，(sina)cosa，(cosa)sina的大小顺序是A(cosa)cosa(sina)cosa(cosa)sinaB(cosa)cosa(cosa)sina (sina)cosa C(sina)cosa(cosa)cosa(cosa)sina D(cosa)sina (cosa)cosab0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|1的点的集合用阴影表示是下面图中的( )二填空题(本题满分30分，每小题5分)1设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b

2、=2，则 +的最小值是 2设A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t60)，cos(2t60)为动点，则当t由15变到45时，线段AP扫过的面积是 3设n为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2n(x4+y4+z4)成立，则n的最小值是 4对任意正整数n，连结原点O与点An(n，n+3)，用f(n)表示线段OAn上的整点个数(不计端点)，试求f(1)+f(2)+f(1990)5设n=1990，则 (13C+32C33C+3994C3995C= 68个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有 种不同和排列方法(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相

3、同的)三(本题满分20分)已知a，b均为正整数，且ab，sin=，(其中0)，An=(a2+b2)nsinn求证：对于一切自然数n，An均为整数四n2个正数排成n行n列a11 a12 a13 a14 a1na21 a22 a23 a24 a2na31 a32 a33 a34 a3na41 a42 a43 a44 a4nan1 an2 an3 an4 ann其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知a24=1，a42=，a43=，求a11+a22+ann五设棱锥MABCD的底面为正方形，且MA=MD，MAAB，如果AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径第二

4、试(10月14日上午10301230)一(本题满分35分)四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4求证OP、O1O3、O2O4三直线共点 OOABCDP1OOO234F二(本题满分35分)设 E=1，2，3，200， G=a1，a2，a100E且G具有下列两条性质： 对任何1ij100，恒有 ai+aj201； ai=10080试证明：G中的奇数的个数是4的倍数且G中所有数字的平方和为一个定数三(本题满分35分)某市有n所中学，第i所中学派出Ci名代表(1Ci39，1in)来到体育馆观看球赛，全部学生总数

5、为Ci=1990看台上每一横排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下1990年全国高中数学联赛(解答)第一试一选择题(本题满分30分，每小题5分)1设(，),则(cosa)cosa，(sina)cosa，(cosa)sina的大小顺序是A(cosa)cosa(sina)cosa(cosa)sinaB(cosa)cosa(cosa)sina (sina)cosa C(sina)cosa(cosa)cosa(cosa)sina D(cosa)sina (cosa)cosa(sina)cosa (1990年全国高中数学联赛)解：(，)

6、0cossin1， (cosa)cosa(sina)cosa；(cosa)sina0但x3+y3+3=xy，等号当且仅当x3=y3=时，即x=，y=时成立故选B5设非零复数x、y满足x2+xy+y2=0，则代数式+的值是( ) A21989 B1 C1 D以上答案都不对解：=或2，其中=cos120+isin1201+2=0且3=1若=，则得()1990+()1990=1若=2，则得()1990+()1990=1选B6已知椭圆+=1(ab0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|1的点的集合用阴影表示是下面图中的( )解：+=1，由a2b2，故得1+=，1b+=15故选C二填空题(本题满分

7、30分，每小题5分)1设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则 +的最小值是 解：ab()2=1，从而anbn1，故 + = 1等号当且仅当a=b=1时成立即所求最小值=12设A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t60)，cos(2t60)为动点，则当t由15变到45时，线段AP扫过的面积是 解：点P在单位圆上，sin(2t60)=cos(1502t)，cos(2t60)=sin(1502t).当t由15变到45时，点P沿单位圆从(，)运动到(,)线段AP扫过的面积=扇形面积=3设n为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2n(x4+y4+z4)成立，则n的最

8、小值是 解：(x2+y2+z2)2=x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2x4+y4+z4+(x4+y4)+(y4+z4)+(z4+x4)=3(x4+y4+z4)等号当且仅当x=y=z时成立故n=34对任意正整数n，连结原点O与点An(n，n+3)，用f(n)表示线段OAn上的整点个数(不计端点)，试求f(1)+f(2)+f(1990)解 线段OAn的方程为y=x(0xn)，故f(n)等于该线段内的格点数若n=3k(kN+)，则得y=x (0xn)(kN*)，其内有两个整点(k，k+1)，(2k，2k+2)，此时f(n)=2；若n=3k1(kN+)时，则由于n与n+3互质，故OA

9、n内没有格点，此时f(n)=0 f(1)+f(2)+f(1990)=2=13265设n=1990，则 (13C+32C33C+3994C3995C= 解：取(+i)1990展开的实部即为此式而(+i)1990=+i故原式=68个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有 种不同和排列方法(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)解：每个女孩与其后的两个男孩组成一组，共8组，与余下9个男孩进行排列，某个女孩始终站第一个位子，其余7组在8+91个位子中选择7个位子，得C=C种选法7个女孩可任意换位，25个男孩也可任意换位，故共得C7!25!种排列方法三(本题满分20分)已

10、知a，b均为正整数，且ab，sin=，(其中01即O与平面MAB的距离r，同理O与平面MCD的距离r故球O是放入此棱锥的最大球 所求的最大球半径=1第二试(10月14日上午10301230)一(本题满分35分)四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4求证OP、O1O3、O2O4三直线共点 证明 O为ABC的外心， OA=OB O1为PAB的外心，O1A=O1B OO1AB作PCD的外接圆O3，延长PO3与所作圆交于点E，并与AB交于点F，连DE，则1=2=3，EPD=BPF， PFB=EDP=90 PO3

11、AB，即OO1PO3同理，OO3PO1即OO1PO3是平行四边形 O1O3与PO互相平分，即O1O3过PO的中点同理，O2O4过PO中点 OP、O1O3、O2O4三直线共点二(本题满分35分)设 E=1，2，3，200， G=a1，a2，a100E且G具有下列两条性质： 对任何1i395，故每排至少可坐5所学校的学生1990=19910，故如果没有“同一学校的学生必须坐在同一横排”的限制，则全部学生只要坐在10排就够了现让这些学生先按学校顺序入坐，从第一排坐起，一个学校的学生全部坐好后，另一个学校的学生接下去坐，如果在某一行不够坐，则余下的学生坐到下一行这样一个空位都不留，则坐10排，这些学生

12、就全部坐完这时，有些学校的学生可能分坐在两行，让这些学校的学生全部从原坐处起来，坐到第11、12排去由于，这种情况只可能在第一行末尾与第二行开头、第二行末尾与第三行开头、第九行末尾与第十行开头这9处发生，故需要调整的学校不超过10所，于是第11、12行至多各坐5所学校的学生，就可全部坐完这说明12行保证够坐其次证明，11行不能保证就此学生按条件全部入坐：199=633+11990=3458+18取59所学校，其中58所学校34人，1所学校18人则对前58所学校的学生，每排只能坐5所学校而不能坐6所学校故11排只能坐其中55所学校的学生即11排不够坐综上可知，最少要安排12横排才能保证全部学生都能坐下- 9 -