96全国高中数学联赛试题及详细解析.docx

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1、一、选择题(本题满分36分，每题6分)1 把圆x2+(y1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( ) (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形来源:学科网2 等比数列an的首项a1=1536,公比q=,用n表示它的前n项之积。则n(nN*)最大的是( ) (A)9 (B)11 (C)12 (D)136 高为8的圆台内有一个半径为2 的球O1，球心O1在圆台的轴上，球O1与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数

2、是( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4二、填空题(本题满分54分，每小题9分)1 集合x|1log10，xN*的真子集的个数是 2 复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=_3 曲线C的极坐标方程是=1+cos，点A的极坐标是(2,0)，曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是_ 第二试一、（本题满分25分）设数列an的前n项和Sn=2an1（n=1，2，），数列bn 满足b1=3，bk+1=ak+bk(k=1，2，)求数列bn 的前n项和二、（本题满分25分）求实数a的取值范围，使得对任意实数x和

3、任意0，恒有 （x+3+2sincos)2+(x+asin+acos)2 三、（本题满分35分）如图，圆O1和圆O2与ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。求证直线PA与BC垂直。四、（本题满分35分）有n(n6)个人聚会，已知：（1）每人至少同其中个人互相认识；（2）对于其中任意个人，或者其中有2 人相识，或者余下的人中有2人相识来源:学科网ZXXK证明：这n个人中必有三人两两认识1996年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(本题满分36分，每题6分)1 把圆x2+(y1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的

4、图形为( ) (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形2 等比数列an的首项a1=1536,公比q=，用n表示它的前n项之积。则n(nN*)最大的是( ) (A)9 (B)11 (C)12 (D)133 存在整数n,使+是整数的质数( ) (A)不存在 (B)只有一个 (C)多于一个,但为有限个 (D)有无穷多个 【答案】D【解析】如果p为奇质数，p=2k+1，则存在n=k2(kN+)，使+=2k+1故选D4 设x(,0)，以下三个数1=cos(sinx),2=sin(cosx),3=cos(x+1)的大小关系是( ) (A)321 (B)132 (C)312 (D)23

5、0707，即O2HO390，即此圆上还可再放下2个满足要求的点故选B二、填空题(本题满分54分，每小题9分)1 集合x|1log10，xN*的真子集的个数是 【答案】290-1【解析】由已知，得logx1011lgx210x100故该集合有90个元素其真子集有290-1个2 复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=_3 曲线C的极坐标方程是=1+cos，点A的极坐标是(2,0)，曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是_。4 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面

6、体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是_。【答案】3【解析】该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为2a，侧棱为b5 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有_种。(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同。)6 在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为_【答案】4【解析】把圆心平移至原点，不影响问题的结果故

7、问题即求x2+y2=1992的整数解数显然x、y一奇一偶，设x=2m，y=2n1且1m，n99则得4m2=1992(2n1)2=(198+2n)(2002n)m2=(99+n)(100n)(n1)(n) (mod 4)由于m为正整数，m20，1 (mod 4)；(n1)(n)二者矛盾，故只有(0，199)，(199，0)这4解 共有4个(199，199)，(0，0)，(398，0)第二试一、（本题满分25分）设数列an的前n项和Sn=2an1（n=1，2，），数列bn 满足b1=3，bk+1=ak+bk（k=1，2，)求数列bn 的前n项和二、（本题满分25分）求实数a的取值范围，使得对任意实

8、数x和任意0，恒有 （x+3+2sincos)2+(x+asin+acos)2 来源:学科网ZXXK三、（本题满分35分）如图，圆O1和圆O2与ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。求证直线PA与BC垂直。设P、A在EF上的射影分别为M、N，则EM=EPcosFEP=(b+c) 又BN=ccosB，故只须证ccosB+ (b+ca)= (b+c) ,即sinCcosB+ (sinB+sinCsin(B+C) =(sinB+sinC) 就是2coscossin=sinCcosBsinBcosCcosBsinC+sincos 右边= sin(CB)+sincos=cos(sinsin) =2cos cos sin 。故证。四、（本题满分35分）来源:学科网有n（n6）个人聚会，已知：（1）每人至少同其中个人互相认识；（2）对于其中任意个人，或者其中有2 人相识，或者余下的人中有2人相识证明：这n个人中必有三人两两认识