91全国高中数学联赛试题及详细解析.docx

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1、一选择题：1由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为( ) A4 B8 C12 D24 2设a、b、c均为非零复数，且=，则的值为( ) A1 B C1，2 D1，2 3设a是正整数，a100，并且a3+23能被24整除，那么，这样的a的个数为( ) A4 B5 C9 D104设函数y=f(x)对于一切实数x满足f(3+x)=f(3x)且方程f(x)=0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为( ) A18 B12 C9 D0 5设S=(x，y)|x2y2=奇数，x，yR，T=(x，y)|sin(2x2)sin(2y2)=cos(2x2)cos(2y2)，x，yR，则( ) AST B

2、TS CS=T DST=6方程|xy2|=1|x|的图象为( ) 二填空题：1cos210+cos250sin40sin80= 2在ABC中，已知三个角A、B、C成等差数列，假设它们所对的边分别为a，b，c，并且ca等于AC边上的高h，则sin= 3将正奇数集合1，3，5，由小到大按第n组有(2n1)个奇数进行分组：1， 3，5，7， 9，11，13，15，17，(第一组) (第二组) (第三组)则1991位于第 组419912000除以106，余数是 5设复数z1，z2满足|z1|=|z1+z2|=3，|z1z2|=3，则log3|(z1)2000+(z2)2000|= 6设集合M=1，2，

3、1000，现对M中的任一非空子集X，令X表示X中最大数与最小数的和那么，所有这样的X的算术平均值为 三设正三棱锥PABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、下两部分，试求此两部分的体积比来源:学*科*网四设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦已知|OF|=a，|PQ|=B求OPQ的面积五已知0a1，x2+y=0，求证： loga(ax+ay)loga2+1991年全国高中数学联赛二试题一设S=1，2，n，A为至少含有两项的公差为正的等差数列，其项都在S中，且添加S的其他元素于A后不能构成与A有相同公差的等差数列求这种A的个数(这里只有两项的数列也看作

4、等差数列)二设凸四边形ABCD的面积为1，求证：在它的边上(包括顶点)或内部可以找出四个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于三设an是下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1、3或4求证：a2n是完全平方数这里，n=1，2，1991年全国高中数学联赛解答第一试一选择题：1由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为( ) A4 B8 C12 D24【答案】B【解析】每个正方形的顶点对应着一个正三角形故选B 3设a是正整数，a，则A、B、C、D即为所求 若SABD，取BCD的重心G，则以B、C、D、G这4点中的任意3点为顶点的三角形面积来源:学科网 若S

5、ABD=，其余三个三角形面积均 SABD=由于SABC+SACD=1，而SACD，故SABCSABD，从而SABESABD=SACE=SABE，SBCE=SABC即A、B、C、E四点即为所求 若SABD=，其余三个三角形中还有一个的面积=，这个三角形不可能是BCD，(否则ABCD的面积=)，不妨设SADC= SABD=则ADBC，四边形ABCD为梯形由于SABD=，SABC=，故若AD=a，则BC=3a，设梯形的高=h，则2ah=1设对角线交于O，过O作EFBC分别交AB、CD于E、F三设an是下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1、3或4求证：a2n是完全平方数这里，n=

6、1，2，【解析】证明：设N=，其中x1，x2，xk1，3，4且x1+x2+xk=n假定n4删去xk时，则当xk依次取1，3，4时，x1+x2+xk1分别等于n1，n3，n4故当n4时， an=an1+an3+an4 a1=a2=1，a3=2，a4=4，利用及初始值可以得到下表：来源:Zxxk.Comn123456789来源:学科网1011121314an11246915254064104169273441规律11212222332355258828131321321212可找到规律： a2(k+1)=a2k+1+a2k1+a2k2=fkfk+1+fk1fk+f= fkfk+1+fk1(fk+f

7、k1)= fkfk+1+fk1fk+1=fk+1(fk1+fk)=fk+1fk+1=f a2(k+1)+1=a2(k+1)+a2k+a2k1 =f+f+fk1fk= f+fk(fk+fk1)= f+fkfk+1=fk+1(fk+1+fk)=fk+2fk+1证明2：(用特征方程)由上证得式，且有a1=a2=1，a3=2，a4=4， 由此得差分方程：431=0 (2+1)(21)=0此方程有根=i，= 令an=in+(i)n+()2+d()2利用初值可以求出an=in+(i)n+()n+2+()n+2 a2n=()n+1()n+12 得a2n=bn=2(1)n+()n +1+()n+1= ()2(n+1)+()2(n+1)2()n+1()n+1 =()n+1()n+12记fn=()n+1()n+1，其特征根为m1，2=故其特征方程为m2m1=0于是其递推关系为fn=fn1+fn2而f0=1，f1=1，均为正整数，从而对于一切正整数n，fn为正整数从而a2n为完全平方数