中国科学院大学硕士研究生入学考试统一命题科目试题概率论与数理统计.pdf

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1、中国科学院大学中国科学院大学 20202020 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：科目名称：概率论与数理统计概率论与数理统计 考生须知：考生须知： 1本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 本试卷可能用到的常数：分别以( )Z， 2( ) n 表示标准正态分布、卡方分布的上 分位数，(0.005)2.57Z，(0.01)2.33Z，(0.025)1.96Z，(0.05)1.65Z， 2 0.05(7) 14.067， 2 0.05(8) 15.507， 2

2、 0.05(8) 16.919。 1. (20 分）设有n个事件 1, , n AA，其概率分别为 1, , n pp，设01 i p， 1,in. (1) 试用数学归纳法证明： 11 nn ii ii PAp ； (2) 设n个事件 1, , n AA独立，记 1n ppp. 证明：事件“ 1, , n AA都不发 生”的概率小于 p e 。 2. (10 分）一个均匀骰子有两面涂成白色，有四面涂成黑色。抛掷这个骰子直至 首次出现白色为止。试问：游戏至少持续四次或更多次数的概率是多少？ 科目名称：概率论与数理统计第 1 页共 3 页 3. (15 分)小王外出可以乘坐飞机、高铁、轮船、汽车四

3、种交通工具，其概率分 别为 5%、15%、30%、50%，乘坐几种交通工具如期到达的概率依次为 90%、90%、 70%、60%。 (1) 求小王如期到达的概率； (2) 已知小王误期到达，求他乘坐高铁的概率。 4. (10 分）设随机变量X的概率密度为 2 2 ,0 ( ) 0, x x f x 其他 ，定义随机变量 sinYX。 求Y的概率密度( ) Y fy。 5. (15 分）设随机变量X与Y相互独立且均服从指数分布，其密度函数为 ( ) 0, 0 x xe f x ， 其他 。XY和 X Y 是否独立？说明理由或给出证明。 6. (15 分）设随机向量(, )X Y有概率密度函数 2

4、2 22 ,1 1( , ) 0, c xy xyf x y 其他 。 (1) 求常数c以及X的边缘概率密度； (2) 求给定 1 2 X 时，Y的条件概率密度。 7. (10 分）设二维随机向量(, )X Y服从均值为0,0，协方差阵为 1 1 的二维 正态分布。 求max,EX Y 。 科目名称：概率论与数理统计第 2 页共 3 页 8. (15 分)计算器在进行加法时， 将每个加数舍入最靠近它的整数后再进行加法， 假设所有舍入误差独立且服从( 0.5,0.5)上均匀分布(可以认为误差足够多)。试 问：最多可以有多少个数相加，能使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.9？ 9.

5、(20 分）设总体 X 服从均匀分布,2,0,U未知， 1, , n XX为取自总体 X 的独立同分布样本。 (1) 求的矩估计 1 和极大似然估计 2 ； (2) 判断 1 和 2 是否为无偏估计量。 10. (10 分）若两种固体燃料的燃烧率均服从正态分布，均值分别为 12 , ，并且 已知燃烧率的标准差均近似地为 12 =0.05/cm s，取样本容量为 12 20nn， 得两种燃烧率的样本均值分别为 1 18/xcm s， 2 24/xcm s。设所有样本独立， 求两燃烧率总体均值差 12 的置信水平为 0.99 的置信区间。 11. (10 分）要求某种导线电阻的标准差不得超过0.005，今在生产的一批导线 中取样品 9 根，测得其标准差0.007s 。设总体为正态分布，参数均未知。问 在显著性水平0.05下，能否认为这批导线的标准差显著地偏大？ 科目名称：概率论与数理统计第 3 页共 3 页