2010届高三数学一轮复习强化训练精品――几何证明选讲 doc--高中数学 .doc

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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2010 届高三数学一轮复习强化训练精品届高三数学一轮复习强化训练精品几何证明选讲几何证明选讲基础自测基础自测1.如图所示，已知在ABC 中，C=90，正方形 DEFC内接于ABC，DEAC，EFBC，AC=1，BC=2，则 AFFC=.答案答案212.从不在O 上的一点 A 作直线交O 于 B、C，且 ABAC=64，OA=10，则O 的半径等于.答案答案241或 63.设 P 为ABC 内一点，且AP=52AB+51AC，则ABP 的面积与ABC 的面积之比等于.答案答案514.如图所示，AC 为O 的直径，BDAC 于 P，

2、PC=2，PA=8，则 CD 的长为，cosACB=.答案答案25555.如图所示，PA 与圆 O 相切于 A，PCB 为圆 O 的割线，并且不过圆心 O，已知BPA=30，PA=23，PC=1，则圆 O 的半径等于.答案答案7例例 1 1已知：如图所示，以梯形 ABCD 的对角线 AC 及腰 AD 为邻边作平行四边形 ACED，连接 EB，DC 的延长线交 BE 于 F.求证：EF=BF.证明证明连接 AE 交 DC 于 O.四边形 ACED 为平行四边形，O 是 AE 的中点（平行四边形对角线互相平分）.四边形 ABCD 是梯形，DCAB.在EAB 中，OFAB，O 是 AE 的中点，F

3、是 EB 的中点，即 EF=BF.例例 2 2如图所示，在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，F 为 AB上任意一点，CF 交 AD 于点 E.求证：AEBF=2DEAF.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网证明证明过点 D 作 AB 的平行线 DM 交 AC 于点 M，交 FC 于点 N.在BCF 中，D 是 BC 的中点，DNBF，DN=21BF.DNAF，AFEDNE，AFAE=DNDE.又 DN=21BF，AFAE=BFDE2，即 AEBF=2DEAF.例例 3 3（20082008苏、锡、常、镇三检）苏、锡、常、镇三检）自圆 O 外一点 P 引切线与圆

4、切于点 A，M 为 PA 的中点，过 M 引割线交圆于 B，C 两点.求证：MCP=MPB.证明证明PA 与圆相切于 A，MA2=MBMC，M 为 PA 中点，PM=MA，PM2=MBMC，MCPM=PMMB.BMP=PMC，BMPPMC，MCP=MPB.例例 4 4（14 分）如图所示，AB 是O 的直径，G 为 AB 延长线上的一点，GCD 是O 的割线，过点 G 作 AB 的垂线，交 AC 的延长线于点 E，交 AD 的延长线于点 F，过 G 作O 的切线，切点为 H.求证：（1）C，D，F，E 四点共圆；（2）GH2=GEGF.证明证明（1）连接 BC.AB 是O 的直径，ACB=90

5、.AGFG，AGE=90.又EAG=BAC，ABC=AEG.又FDC=ABC，FDC=AEG.FDC+CEF=180.C，D，F，E 四点共圆.7 分（2）GH 为O 的切线，GCD 为割线，GH2=GCGD.由 C，D，F，E 四点共圆，得GCE=AFE，GEC=GDF.GCEGFD.GFGC=GDGF，即 GCGD=GEGF.CH2=GEGF.14 分例例 5 5（20082008徐州三检）徐州三检）如图所示，圆 O 是ABC 的外接圆，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D，CD=27，AB=BC=3.求http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网BD 以及 AC

6、 的长.解解由切割线定理得：DBDA=DC2，即 DB（DB+BA）=DC2，DB2+3DB-28=0，得 DB=4.A=BCD，DBCDCA，CABC=DCDB，得 AC=DBDCBC=273.1.已知：如图所示，从 R RtABC 的两直角边 AB，AC 向外作正方形 ABFG 及 ACDE，CF，BD 分别交 AB，AC 于 P，Q.求证：AP=AQ.证明证明BAC+BAG=90+90=180,C,A,G 三点共线.同理 B,A,E 三点共线.ABGF,ACED,GFAP=CGCA，EDAQ=BEBA，即 AP=CGGFCA，AQ=BEEDBA.又CA=ED=AE，GF=BA=AG，CG

7、=CA+AG=AE+BA=BE.AP=AQ.2.如图所示，ABC 是O 的内接三角形，且 AB=AC，AP 是BAC 的外角的平分线，弦 CE 的延长线交 AP 于点 D.求证：AD2=DEDC.证明证明连接 AE，则AED=B.AB=AC，B=ACB.QAC=B+ACB，又QAP=PAC，DAC=B=AED.又ADE=CDA，ACDEAD，从而ADCD=DEAD，即 AD2=DEDC.3.（20082008南京第二次质检）南京第二次质检）如图所示，圆 O 的两弦 AB 和 CD 交于点 E，EFCB，EF 交 AD 的延长线于点 F，FG 切圆 O 于点 G.（1）求证：DFEEFA；（2）

8、如果 EF=1，求 FG 的长.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（1）证明证明EFCB，DEF=DCB.DCB=DAB，DEF=DAB.DFE=EFA，DFEEFA.（2）解解DFEEFA，FAEF=EFFD.EF2=FAFD.FG 切圆于 G，FG2=FAFD.EF2=FG2.EF=FG.EF=1，FG=1.4.已知：如图所示，在ABC 中，AB=AC，O是ABC 的外心，延长 CA 到 P，再延长 AB到 Q，使 AP=BQ.求证：O，A，P，Q 四点共圆.证明证明连接 OA，OC，OP，OQ.O 是ABC 的外心，OA=OC.OCP=OAC.由于等腰三角形

9、的外心在顶角的平分线上，OAC=OAQ，从而OCP=OAQ，在OCP 和OAQ 中，由已知 CA=AB，AP=BQ，CP=AQ.又 OC=OA，OCP=OAQ，OCPOAQ，CPO=AQO，O，A，P，Q 四点共圆.5.（20082008徐州模拟）徐州模拟）如图所示，已知 D 为ABC 的 BC 边上一点，O1经过点 B，D，交 AB 于另一点 E，O2经过点 C，D，交 AC 于另一点 F，O1与O2交于点 G.（1）求证：EAG=EFG；（2）若O2的半径为 5，圆心 O2到直线 AC 的距离为 3，AC=10，AG 切O2于 G，求线段 AG的长.（1）证明证明连接 GD，因为四边形 B

10、DGE，CDGF 分别内接于O1，O2，AEG=BDG，AFG=CDG，又BDG+CDG=180，AEG+AFG=180.即 A，E，G，F 四点共圆，EAG=EFG.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（2）解解因为O2的半径为 5，圆心 O2到直线 AC 的距离为 3，所以由垂径定理知 FC=22235=8，又 AC=10,AF=2,AG 切O2于 G，AG2=AFAC=210=20,AG=25.一、填空题一、填空题1.如图所示，在ABC 中，AD 是高线，CE 是中线，DC=BE，DGCE 于 G，EC 的长为 8，则 EG=.答案答案42.如图所示，已知AB

11、C 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点，BE 的延长线交 AC 于点 F，则 AF=AC.答案答案313.如图所示，在半圆 O 中，AB 为直径，CDAB，AF 平分CAB交 CD 于 E，交 CB 于 F，则图中相似三角形一共有对.答案答案54.(2008(2008广东理广东理,15),15)已知 PA 是圆 O 的切线，切点为 A，PA=2，AC 是圆 O 的直径，PC 与圆 O 交于点 B，PB=1，则圆 O 的半径 R=.答案答案35.如图所示，矩形 ABCD 中，AB=12，AD=10，将此矩形折叠使点B 落在 AD 边上的中点 E 处，则折痕 FG 的长为.htt

12、p:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网答案答案6656.如图所示，已知 AP 是圆 O 的切线，P 为切点，AC 是圆 O的割线，与圆 O 交于 B，C 两点，圆心 O 在PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点.则OAM+APM 的大小为.答案答案907.如图所示，圆 O 的直径 AB=6，C 为圆周上一点，BC=3.过 C 作圆的切线 l，过 A 作 l 的垂线 AD，AD 分别与直线l、圆交于点 D、E，则DAC=，线段 AE 的长为.答案答案3038.（20082008徐州质检）徐州质检）如图所示，锐角ABC 内接于O，ABC=60，BAC=36，作 OEAB 交劣

13、弧于点 E，连结 EC，则OEC=.答案答案12二、解答题二、解答题9.已知：如图所示，在ABC 中，D 是 BC 的中点，F 是 BA 延长线上的点，FD 与 AC 交于点 E.求证：AEFB=ECFA.证明证明过 A 作 AGBC，交 DF 于 G 点.AGBD，FBFA=BDAG.又BD=DC，FBFA=DCAG.AGCD，DCAG=ECAE.FBFA=ECAE.AEFB=ECFA.10.已知：如图所示，在 R RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，DEAC 于 E，DFBC 于 F.求证：AEBFAB=CD3.证明证明ACB=90,CDAB,CD2=ADBD，故 CD4=AD

14、2BD2.又R RtADC 中，DEAC，R RtBDC 中，DFBC，AD2=AEAC，BD2=BFBC.CD4=AEBFACBC.又ACBC=ABCD，CD4=AEBFABCD，即 AEBFAB=CD3.11.（20082008苏南四市二检）苏南四市二检）从O 外一点 P 引圆的两条切线 PA，PB 及一条割线 PCD，A，B 为切点.求证：BCAC=BDAD.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网证明证明PA 为O 的切线，PAC=PDA，而APC=DPA，PACPDA，则ADAC=PDPA.同理BDBC=PDPB.PA=PB，ADAC=BDBC.BCAC=BD

15、AD.12.（20082008宁夏）宁夏）如图所示，过圆 O 外一点 M 作它的一条切线，切点为 A，过 A 点作直线 AP 垂直于直线 OM，垂足为 P.（1）证明：OMOP=OA2；（2）N 为线段 AP 上一点，直线 NB 垂直于直线 ON，且交圆 O 于 B 点.过 B 点的切线交直线 ON 于 K.证明：OKM=90.证明证明(1)因为 MA 是圆 O 的切线,所以 OAAM.又因为 APOM,在 R RtOAM 中,由射影定理知,OA2=OMOP.（2）因为 BK 是圆 O 的切线，BNOK，同（1），有 OB2=ONOK，又 OB=OA，所以 OPOM=ONOK，即OPON=OK

16、OM.又NOP=MOK，所以ONPOMK，故OKM=OPN=90.13.（20082008江苏）江苏）如图所示，设ABC 的外接圆的切线AE 与 BC 的延长线交于点 E，BAC 的平分线与 BC 交于点 D.求证：ED2=ECEB.证明证明如图所示，因为 AE 是圆的切线，所以ABC=CAE.又因为 AD 是BAC 的平分线，所以BAD=CAD.从而ABC+BAD=CAE+CAD.因为ADE=ABC+BAD，DAE=CAE+CAD，所以ADE=DAE，故 EA=ED.因为 EA 是圆的切线，所以由切割线定理知，EA2=ECEB，而 EA=ED，所以 ED2=ECEB.14.已知：如图所示，ABC 内接于O，过点 A 的切线交 BC的延长线于点 P，D 为 AB 的中点，DP 交 AC 于 M.求证：22PCPA=MCAM.证明证明如图所示，过点 B 作 BNCM，交 PD 的延长线于点 N，则N=AMD，NBD=DAM.又 AD=DB，BNDAMD.BN=AM.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网CMBN，CMBN=CPBP.PCBP=MCAM.由切割线定理，得 PA2=PCPB.22PCPA=2PCPBPC=PCBP，故22PCPA=MCAM.